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Página 30

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”? ¿No

es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?

Represéntalas gráficamente y obser-

va que se trata de la misma recta.

Se trata de la misma recta.

Pon otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la segunda

ecuación sea, en esencia, igual que la primera. Interprétalo gráficamente.

Gráficamente son la misma recta:

x + y = 1

3 x + 3 y = 3

2 x + y = 5

4 x + 2 y = 10

SISTEMAS

DE ECUACIONES.

MÉTODO DE GAUSS

UNIDAD 1

x + y = 1

3 x + 3 y = 3

1

1

4 x + 2 y = 10

2 x + y = 5

1

1

Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que

inventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.

Observa que lo que dicen ambas

ecuaciones es ahora contradictorio y

que se representan mediante rectas

paralelas.

Rectas paralelas:

4. Fíjate ahora en este sistema formado por tres ecuaciones:

Representa las tres rectas y observa

que la tercera no pasa por el punto

en el que se cortan las otras dos.

Modifica el término independiente

de la recta que inventaste en el ejer-

cicio 2. Observa que lo que dice des-

pués del cambio es contradictorio

con las dos primeras ecuaciones y

que, al representarla, no pasa por el

punto de corte de ellas.

2 x + y = 5

x – y = 1

7 x – y = 0

2 x + y = 5

x – y = 1

x + 2 y = 0

x + y = 1

3 x + 3 y = 0

x + y = 1

3 x + 3 y = 0

1

1

x + 2 y = 0

x – y = 1

2 x + y = 5

1 2

1 (2, 1)

x – y = 1 2 x + y = 5

1 2

(^1) (2, 1)

7 x – y = 0

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1. Sin resolverlos, ¿son equivalentes estos sistemas?

a) b) c) d)

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía-

mos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda

ecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El

resto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda

ecuación la primera.

Página 35

1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:

a) b) c) d)

a)

1 – 2 x = 3 – x → x = – 2, y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2-ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = – 6 + 10 = 4

Solución: x = – 2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).

b)

Solución: x = 5 – 2 λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.

c) Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.

El sistema es incompatible.

Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

x + y + z = 6

x + y + z = 0

x – z = 0

x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2 z

y = 1 + z

x + y = 6 – z

y = 1 + z

La 3-ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras;

podemos prescindir de ella.

x + y + z = 6

y – z = 1

x + 2 y = 7

→ y = 1 – 2 x

→ y = 3 – x

2 x + y = 1

3 x + 2 y = 4

x + y = 3

x + y + z = 6

y – z = 1

z = 1

x + y + z = 6

x + y + z = 0

x – z = 0

x + y + z = 6

y – z = 1

x + 2 y = 7

2 x + y = 1

3 x + 2 y = 4

x + y = 3

x + y – z = 11

y = – 4

z = 2

x + y = 7

z = 2

x + y = 7

x + y = 5

3 x = 12

x + y – z = 11

x + 2 y – z = 7

x + y – z = 5

x + y = 7

2 x + 2 y – z = 12

x + y – z = 5

x + y = 7

x + y = 5

2 x – y = 7

b)

Solución: x = 3, y = – 29, z = 11

c)

Soluciones: x = 3 + λ, y = – 29 – 19 λ, z = 11 + 6λ, t = λ

d)

Solución: x = 1, y = , z =

2. ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:

a) b)

c) d)

a)

Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

b)

Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3 λ, z = 2λ

c)

Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2 λ – μ, t = μ

x = 2 + y

z = 3 – y – t – 2 – y = 1 – 2 y – t

x = 2 + y

x + z = 3 – y – t

x + y + z + t = 3

x – y = 2

z x = 2 + — 2

3 z y = 7 – z – x = 5 – — 2

2 x = 4 + z

x + y = 7 – z

x + y + z = 7

2 x – z = 4

z = 1

t = 3 – z = 2

y = 4 – 3 z + 2 t = 5

x = 5 + z – 2 t = 2

2 z = 2

z + t = 3

y + 3 z – 2 t = 4

x – z + 2 t = 5

z + t = 3

y + 3 z – 2 t = 4

2 z = 2

x – z + 2 t = 5

2 y + z = 1

2 y = 1

x + 2 y + 2 z = 1

x + y + z + t = 3

x – y = 2

x + y + z = 7

2 x – z = 4

z + t = 3

y + 3 z – 2 t = 4

2 z = 2

x – z + 2 t = 5

x = 1

• 2 x – 2 z = —— = — 3 3

7 – x + z 16 y = ———— = — 3 9

4 x = 4

2 x + 3 z = 0

x + 3 y – z = 7

2 x + 3 z = 0

x + 3 y – z = 7

4 x = 4

x = 3 + t

z = 5 x – 4 + t = 11 + 6 t

y = 7 – x – 3 z = – 29 – 19 t

2 x = 6 + 2 t

5 x – z = 4 – t

x + y + 3 z = 7

2 x – 2 t = 6

x + y + 3 z = 7

5 x – z + t = 4

x = 3

z = 5 x – 4 = 11

y = 7 – x – 3 z = 7 – 3 – 33 = – 29

2 x = 6

5 x – z = 4

x + y + 3 z = 7

2 x = 6

x + y + 3 z = 7

5 x – z = 4

d)

Solución: x = 0, y = , z = 0

Página 37

3. Transforma en escalonados y resuelve:

a) b)

a)

Solución: x = 1, y = 2, z = – 1

b)

(Podemos prescindir de la 3-ª, pues es igual que la 2-ª)

Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ

4. Transforma en escalonado y resuelve:

x – y + 3 z = 0

y – 14 z + 7 w = – 32

3 y – 4 z + 3 w = 18

• 2 y – 2 z + 2 w = – 26

1-ª 2-ª – 3 · 1-ª 3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

x – y + 3 z = 0

3 x – 2 y – 5 z + 7 w = – 32

x + 2 y – z + 3 w = 18

x – 3 y + z + 2 w = – 26

x – y + 3 z = 0

3 x – 2 y – 5 z + 7 w = –

x + 2 y – z + 3 w = 18

x – 3 y + z + 2 w = –

x = 6 – z – y = 6 – z – 5 + z = 1

y = 5 – z

x + y = 6 – z

y = 5 – z

x + y + z = 6

y + z = 5

1-ª 2-ª : (–2)

x + y + z = 6

• 2 y – 2 z = – 10
  • 2 y – 2 z = – 10

1-ª 2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1--ª

x + y + z = 6

x – y – z = – 4

3 x + y + z = 8

z = – 1

y = 3 + z = 2

x = – 4 + y – 3 z = 1

x – y + 3 z = – 4

y – z = 3

• z = 1

1-ª 2-ª

3-ª – 3 · 2--ª

x – y + 3 z = – 4

y – z = 3

3 y – 4 z = 10

1-ª

2-ª : 2 3-ª

x – y + 3 z = – 4

2 y – 2 z = 6

3 y – 4 z = 10

1-ª

2-ª – 1-ª 3-ª – 1--ª

x – y + 3 z = – 4

x + y + z = 2

x + 2 y – z = 6

x + y + z = 6

x – y – z = – 4

3 x + y + z = 8

x – y + 3 z = –

x + y + z = 2

x + 2 y – z = 6

y = — 2

z = 1 – 2 y = 0

x = 1 – 2 y – z = 0

2 y = 1

2 y + z = 1

x + 2 y + z = 1

2 y + z = 1

2 y = 1

x + 2 y + 2 z = 1

2. Resuelve mediante el método de Gauss:

a) b) c)

a)

x = 2 – 2 z + – = –

Soluciones: x = – 7 λ, y = – 3 λ, z = 2λ

b)

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c)

1-ª 2-ª

3-ª + 4ª 4-ª

1-ª 2-ª

3-ª – 1-ª 4-ª – 2 · 1-ª

2 x – y + w = 9

x – 2 y + z = 11

5 x – y + z + w = 24

5 x – 2 y – z + 2 w = 0

x = 0

z = 0

y = 0

w = 0

2 x – y + w = 0

x – 2 y + z = 0

4 x = 0

x – z = 0

1-ª 2-ª 3-ª + 4ª

4-ª

1-ª 2-ª 3-ª – 1-ª

4-ª – 2 · 1-ª

2 x – y + w = 0

x – 2 y + z = 0

5 x – y + z + w = 0

5 x – 2 y – z + 2 w = 0

7 z

2

3 z

2

x = 2 – 2 z + y

5 – 3 z 5 3 z y = ———^ = —^ – 1 = — 2 2 2

x – y = 2 – 2 z

2 y = 5 – 3 z

x – y + 2 z = 2

2 y + 3 z = 5

1-ª 2-ª + 1-ª 3-ª – 1--ª

x – y + 2 z = 2

• x + 3 y + z = 3

x + y + 5 z = 7

2 x – y + w = 9

x – 2 y + z = 11

5 x – y + z + w = 24

5 x – 2 y – z + 2 w = 0

2 x – y + w = 0

x – 2 y + z = 0

5 x – y + z + w = 0

5 x – 2 y – z + 2 w = 0

x – y + 2 z = 2

- x + 3 y + z = 3

x + y + 5 z = 7

x = z = x + 18 = y = = w = 9 – 2 x + y =

Solución: x = , y = , z = , w =

Página 41

1. Discute, en función del parámetro k , estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a)

( )

( )

( )

• Si k = 3, queda:

( )

→ x = = –

z = x – 2 + y = – 2 + y = = +

Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = – λ, y = 2λ, z = + λ

• Si k ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x + y – z = 2

4 x + 2 y = k

( k – 3) x = (3 – k )

y

2

• 5 + 2 y

4

3 – 2 y

4

y

2

3 – 2 y

4

x – z = 2 – y

4 x = 3 – 2 y

x + y – z = 2

4 x + 2 y = 3

4 2 0 k

1 1 – 1 2

0 0 0 0

4 2 0 k

1 1 – 1 2

k – 3 0 0 3 – k

1-ª

2-ª 3-ª – 1-ª

4 2 0 k

1 1 – 1 2

k + 1 2 0 3

1-ª

2-ª 3-ª + 2--ª

4 2 0 k

1 1 – 1 2

k 1 1 1

4 x + 2 y = k

x + y – z = 2

kx + y + z = 1

4 x + 2 y = k

x + y – z = 2

kx + y + z = 0

4 x + 2 y = k

x + y – z = 2

kx + y + z = 1

x + z – 11

2

2 x – y + w = 9

x – 2 y + z = 11

4 x = – 3

x – z = – 18

( )

• Si k = – 3, queda:

( )

Sistema incompatible.

• Si k ≠ – 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x =

z = k – 2 x =

y = – x – z =

Solución: x = , y = , z =

b)

( )

( )

( )

• Si k = – 1, queda:

( )

Sistema incompatible.

• Si k ≠ – 1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

z = =

y + k (^) ( ) = 1 → y = 1 – = =

1 – k + k

2

1 + k

1 + k – 2 k + k

2

1 + k

2 k – k

2

1 + k

2 – k

1 + k

2 – k

1 + k

k – 2

• 1 – k

x + y + z = 1

y + kz = 1

(– 1 – k ) z = k – 2

0 1 k 1

0 0 – 1 – k k – 2

1-ª

2-ª 3-ª – 2-ª

0 1 k 1

0 1 – 1 k – 1

1-ª 2-ª 3-ª – 1--ª

0 1 k 1

1 2 0 k

x + y + z = 1

y + kz = 1

x + 2 y = k

k^2 – k – 16

k + 3

• k^2 – k + 8

( k + 3)

8 + 2 k

k + 3

• k

2

• k + 8

( k + 3)

k

2

• k – 16

k + 3

8 + 2 k

k + 3

( k + 3) x = 8 + 2 k

x + y + z = 0

2 x + z = k

k + 3 0 0 8 + 2 k

1 1 1 0

2 0 1 k

1-ª + 2 · 3-ª 2-ª 3-ª

x = 1 – y – z = 1 – – = =

Solución: x = , y = , z =

Página 46

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

1 Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos gráfica-

mente:

a) b)

Los resolvemos por el método de Gauss:

a)

Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Que-

daría:

4 y = – 1 → y =

x – y = 1 → x = 1 + y = 1 – =

Solución: ( , )

El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( , ).

b)

De la 2-ª ecuación, obtenemos y = ; de la 3-ª ecuación, obtenemos y =.

Luego, el sistema es incompatible.

El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún

punto común a las tres.

1-ª 2-ª – 2 · 1-ª 3-ª – 5 · 1--ª

1-ª – 3 · 2-ª 2-ª

3-ª – 5 · 2-ª 4-ª – 2 · 2-ª

x + 2 y = 1

2 x – y = 3

5 x + y = 8

3 x + y = 2

x – y = 1

5 x – y = 4

2 x + 2 y = 1

2 – k

1 + k

1 – k + k^2

1 + k

• 2 + 3 k – k^2

1 + k

• 2 + 3 k – k

2

1 + k

1 + k – 1 + k – k

2

• 2 + k

1 + k

2 – k

1 + k

1 – k + k

2

1 + k

b)

z = y = z – 1 = x = =

Solución: (^) ( , , (^) )

c)

Soluciones: (–5 + 3λ, 4 – λ, λ, – 3 + 2λ)

d)

y = x = = z = – 2 x + 3 y =

Solución: (^) ( , , (^) )

5 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales:

a) b)

a)

( )

( )

( )

( )

Solución: (–2, 4, 6)

b)

( )

( )

( )

( )

1-ª 2-ª

• 2 · 3-ª + 2-ª

1-ª 2-ª – 5 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

3-ª

2-ª 1-ª

3 x + 2 y + z = 1

5 x + 3 y + 3 z = 3

x + y + z = 0

x = – 2

y = 2 – x = 4

z = 4 – x = 6

• 3 x = 6

x + y = 2

x + z = 4

1-ª – 5 · 2-ª 2-ª

3-ª

1-ª 2-ª : 3

3-ª

1-ª

2-ª + 2 · 3-ª 3-ª

2 x + 5 y = 16

x + 3 y – 2 z = – 2

x + z = 4

3 x + 2 y + z = 1

5 x + 3 y + 3 z = 3

x + y + z = 0

2 x + 5 y = 16

x + 3 y – 2 z = –

x + z = 4

y

3

2 x – 3 y + z = 0

3 x – y = 0

2 y = 1

z = λ

y = 4 – z

t = 1 – y + z = 1 – (4 – z ) + z = – 3 + 2 z

x = 2 – y + t = 2 – (4 – z ) – 3 + 2 z = – 5 + 3 z

x + y – t = 2

y + z = 4

y + t – z = 1

3 + y – z

3

• y + z = 1

9 z = 2

3 x – y + z = 3

S

→ z = y = = – 2 x = – y – z =

Solución: (^) ( , – 2, (^) )

6 Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

a) ( ) →^ ( ) →

x = y = 2 x – 7 =

Solución: (^) ( , (^) )

b)

( )

( )

( )

( )

→ z = y = z – 1 = x = 2 + 2 y + z =

Solución: (^) ( , , (^) )

7 Resuelve:

a) b)

a)

( )

( )

1-ª 2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

x + y – z = 1

3 x + 2 y + z = 1

5 x + 3 y + 3 z = 1

3 x + 4 y – z = 3

6 x – 6 y + 2 z = –

x – y + 2 z = –

x + y – z = 1

3 x + 2 y + z = 1

5 x + 3 y + 3 z = 1

x – 2 y – z = 2

• y + z = 1

9 z = 2

1-ª

2-ª 3-ª + 5 · 2-ª

1-ª

2-ª 3-ª – 3 · 1-ª

2-ª 1-ª 3-ª

• y + z = 1

x – 2 y – z = 2

3 x – y + z = 3

2 x – y = 7

11 x = 4

1-ª

2-ª + 3 · 1-ª

2 x – y = 7

5 x + 3 y = – 17

- y + z = 1

x – 2 y – z = 2

3 x – y + z = 3

2 x – y = 7

5 x + 3 y = –

3 + 2 z

• 2

x + y + z = 0

• 2 y – 2 z = 3

2 z = 1

S

c) d)

a)

( )

( )

( )

y = 1 z = = 8 x = 9 – 2 y – z = – 1

Solución: (–1, 1, 8)

b) ( ) →^ ( ) →

Si hacemos z = 5λ, las soluciones son: (^) ( – 3 λ, – λ, 5 λ)

c)

( )

( )

( )

( )

La segunda ecuación es imposible: 0 x + 0 y + 0 z = 5

El sistema es incompatible.

d)

( )

( )

( )

2 x – 3 y + z = 0

3 x – y = 0

1-ª

2-ª 3-ª – 2 · 2-ª

1-ª 2-ª 3-ª + 1-ª

2 x – 3 y + z = 0

3 x – y = 0

4 x + y – z = 0

1-ª 2-ª + 2 · 3-ª

3-ª

1-ª 2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

3-ª

2-ª 1-ª

• x + 2 y – z = 1

2 x – 4 y + 2 z = 3

x + y + z = 2

7 z y = —^ – — 5 5

14 2 z 1 3 z x = 3 – z – 2 y = 3 – z – —^ + —^ = —^ – — 5 5 5 5

x + 2 y = 3 – z

5 y = 7 – z

1-ª

• 2-ª + 2 · 1-ª

x + 2 y + z = 3

2 x – y + z = – 1

19 – 3 y

2

x + 2 y + z = 9

3 y + 2 z = 19

• 7 y = – 7

1-ª

2-ª 2-ª + 2 · 3-ª

1-ª

• 2-ª + 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

x + 2 y + z = 9

x – y – z = – 10

2 x – y + z = 5

2 x – 3 y + z = 0

3 x – y = 0

4 x + y – z = 0

- x + 2 y – z = 1

2 x – 4 y + 2 z = 3

x + y + z = 2

Soluciones: (λ, 3λ, 7λ)

10 Resuelve por el método de Gauss:

a) b)

c) d)

a)

Solución: (–3, 6, 7)

b)

t = – z = 1 – t = 1 + = y = = 1 x = 1 – y – z – t = – 1

Solución: (–1, 1, , – )

2 t – 1

• 2

x + y + z + t = 1

• 2 y – 2 t = – 1

z + t = 1

• 2 t = 1

1-ª

2-ª – 1-ª 3-ª – 1-ª

4-ª – 1 ª

x + y + z + t = 1

x – y + z – t = 0

x + y – z – t = – 1

x + y + z – t = 2

y = – 8 + 2 z = – 8 + 14 = 6

x = 11 – 2 z = 11 – 14 = – 3

x + 2 z = 11

y – 2 z = – 8

z = 7

1-ª

2-ª 3-ª – 3 · 4 ª

4-ª

1-ª

2-ª 3-ª – 2 ª

4-ª – 2 ª

1-ª

2-ª – 1-ª 3-ª

4-ª – 1 ª

x + 2 z = 11

x + y = 3

y + z = 13

x + y + z = 10

x – 3 y – z = –

x + 5 y + 3 z = 3

x + y + z = 1

3 x + 7 y + 5 z = 5

2 x + y + 3 z = 0

4 x + 2 y – z = 0

6 x + 3 y + 2 z = 0

x + y + z + t = 1

x – y + z – t = 0

x + y – z – t = –

x + y + z – t = 2

x + 2 z = 11

x + y = 3

y + z = 13

x + y + z = 10

y = 3 x

z = – 2 x + 3 y = – 2 x + 9 x = 7 x

x = λ

S