¡Descarga Limites de todo tipo y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
1. En los apartados siguientes, usar la gráfica de las funciones para hallar el límite si existe:
(a) (b) (c) x d 3
lim ( 4 − x )
x d 1
lim ( x^2 + 2)^
x d 2
lim f ( x ); f ( x ) =
4 − x , x! 2
0, x = 2
(d) (e) (f) x d 1
lim f ( x ); f ( x ) =
x^2 + 1, x! 1
1, x = 1 x d^5
lim
x − 5
x − 5 x^ limd 3
1 x − 3
2. Calcula los siguientes límites:
(a) (b) (c) (d) x d 2
lim
x − 2
x^2 − x − 2 x^ limd 2
x − 2
x^2 − 4 x^ limd 0
x + 3 − 3
x x d^ lim −^3
1 − x − 2 x + 3
(e) (f) x d 3
lim
1 x + 1 −^ 1 4
x − 3 x^ limd 4
x x + 1 −^ 4 5 x − 4
3. Determina gráficamente los límites x d lim c + f ( x ), x dlim c − f ( x ), x limd c f ( x ) de las siguientes
funciones:
1 2 3
2
3
4
5
1
-
1
2
3
4
1 2 3 4
c = 1
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
c = 2 c = - f(x) g(x)^ h(x)
4. Hallar, si existen, los siguientes límites :
( a )
x d 5 +
lim
x − 5
x^2 − 25 ;^ ( b )^ x d^ lim 4 −^
x − 2
x − 4 ;^ ( c )^ x d^ lim 2 +
2 − x x^2 − 4
( d )
x d 1 −
lim x
(^2) − 2 x + 1
x − 1 ;^ ( e )^ x^ limd 0
x
x ;^ ( f )^ x^ limd 2
x − 2 x − 2
( g )
x d 3
lim f ( x ), donde f ( x ) =
x + 2
2 ,^ x^ [^3
12 − 2 x
3 ,^ x^ >^3
( h )
x d 2
lim f ( x ), donde f ( x ) =
x^2 − 4 x + 6, x < 2
− x^2 + 4 x − 2, x m 2
( i )
x d 1
lim f ( x ), donde f ( x ) =
x^3 + 1, x < 1
x + 1, x m 1
( j )
x d 1
lim f ( x ), donde f ( x ) =
x , x [ 1
1 − x , x > 1
5. Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
( a ) f ( x ) =
− x^3
2 ;^ ( b )^ f ( x ) =^
x^2 − 1
x ;^ ( c )^ f ( x ) =^
x^2 − 1
x + 1 ;^ ( d )^ f ( x ) =^
1 x^2 − 4
( e ) f ( x ) =
1
x − 1 ;^ ( f )^ f ( x ) =^
x
x^2 + 1 ;^ ( g )^ f ( x ) =^
x + 2 x^2 − 3 x − 10
( h ) f ( x ) =
− 2 x + 3, x < 1
x^2 , x m 1
( i ) f ( x ) =
− 2 x , x [ 2
x^2 − 4 x + 1, x > 2
6. Hallar a tal que la función f ( x ) = sea continua.
x^3 , x [ 2
ax^2 , x > 2
7. Hallar a y b de modo que hagan continua la función f ( x ) =
2, x [ − 1 ax + b , − 1 < x < 3 −2, x m 3
8. Calcular de las siguientes funciones:
x d − 3 +
lim f ( x ) y
x d − 3 −
lim f ( x )
( a ) f ( x ) =
1
x^2 − 9 ( b )^ f ( x ) =^
x
x^2 − 9 ( c )^ f ( x ) =^
x^2 x^2 − 9
9. Calcular de las funciones:
x d− 2 +
lim f ( x ) y
x d− 2 −
lim f ( x )
( a ) f ( x ) = (^1
x +2)^2
( b ) f ( x ) = x +^12
10. Hallar las asíntotas verticales (si hay) de las funciones:
f ( x ) =
1
x^2 ;^ f ( x ) =^
x^2 − 2
x^2 − x − 2 ;^ f ( x ) =^
x^3
x^2 − 1 ;^ f ( x ) =^1 −^
4 x^2
f ( x ) =
4
( x −2)^3 ;^ f ( x ) =^
2 + x
x − 2 ;^ f ( x ) =^
− 4 x
x^2 + 4 ;^ f ( x ) =^
− 2 ( x −2)^2
11. Hallar los siguientes límites:
x d 2 +
lim
x − 3
x − 2 ;^ x d^ lim 1 +^
2 + x
1 − x ;^ x d^ lim 4 +
x^2
x^2 − 16 ;^ x^ limd 4
x^2
x^2 + 16 ;
x d 0 −
lim (1 +
1
x );^ x d^ lim 0 − ( x^2 −^
1
x );^ x^ limd 1
x^2 − x
( x^2 +1).( x −1) ;^ x^ limd 1
x^3 − 1 x^2 + x + 1
12. Determina las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
( a ) f ( x ) = 3 x
2
x^2 + 2 ;^ ( b )^ f ( x ) =^
2 x x^2 + 2
; ( c ) f ( x ) = x 2 x + 2
( d ) f ( x ) = 2 +
x^2
x^4 + 1 ;^ ( e )^ f ( x ) =^
− 6 x
4 x^2 + 5 ;^ ( f )^ f ( x ) =^5 −^
1 x^2 + 1
13. Halla los siguientes límites:
( a ) lim ( x d∞^33 xx −+^24 )
4 x − 2
( b ) x limd−∞ x
(^2) − 2 x 3 x^2 + 5
5 x
( c ) lim x d∞ 4 x − 3 x^2 + 5 x
( d ) x limd−∞ 4 x^2 + 5 + 2 x ( e ) x limd−∞ 5 x −^3
3 x^2 + 2
( f ) lim x d∞ 5 x
(^2) − 2 x 5 x^2 + 2 x
3 x^2
( g )
x d 3
lim
2 x − 5 x^2 − 9
x^2 − 9 ( h )^ lim x d 0
4 x + 16 − 4
3 x^2 − 2 x ( i )^ lim ( x d 1
3 x − 2
4 x + 2 )^
− 5 ( x −1)^2
(p) (r) x d 3
lim
( x −3)^2 x d−∞ lim
4 x − x^2 + 3 x 2 x − 2
(s) (t) x d 2
lim
2 x^2 + 3 x − 14 x^3 − (^8) x^ limd− 1
x^3 − 3 x − 2 2 x^3 + 5 x^2 + 4 x + 1
(u) (v) x d 4
lim
x^2 − 16 x − (^2) x d 3 lim
3 x − 3 2 − 2 x − 2
(w) (x) x d 0
lim
x + 4 − 2 x^2 + 3 x^ lim x d 2
x^2 − 2 x^2 + 4 x 3 x − 2 − 2
(y) (z) x d∞ lim x^2 − 3 x − x x d∞ lim 2 x − 4 x^2 − 2 x + 3
22. Calcula los siguientes límites:
(a) x d∞ lim 2 x
(b) x d∞ lim 4 x
− 2 x − 2 x + 2
(c) (d) x d∞ lim
2 x + 3 2 x − 3
3 x − 1 x d∞ lim 1 −
2 x − 1
4 x + 5
(e) (f) x d∞ lim
x + 3 2 x − 3
3 x − 1
x d 3
lim
x + 3 2 x
1 x − 3
(g) (h) x d 1
lim
x + 1
x^2 + 2 x x^2 + 3 x − 4 x d∞ lim
2 x − 1 2 x + 1
x^2 + 4 x x + 2
(i) (j) x d∞ lim
2 x + 3 2 x − 3
2 x + 1
x d∞ lim
2 x 3 x
(k) (l) x d∞ lim
2 x + 1 2 x − (^1) x^ limd−∞^
2 x + 1 2 x − 1
23. Comprueba si son continuas o no las funciones siguientes en los puntos que se indican:
(a) f ( x ) = x^3 − 3 x + 5 en x =2.
(b) f ( x ) = en x = 3.
2 x − 3
(c) f ( x ) = en x = 2.
2 x − 5, x! 2
4, x = 2
(d) f ( x ) = en x = -1.
3 x + 5, x < − 1
− 2 x + 4, x m − 1
(e) f ( x ) = en x = 1.
x^2 + x − 3, x < 1
2 x − 3, x > 1
(f) f ( x ) = en x =1 y en x =2.
x^2 − 1
x − 1 ,^ x^ <^1
3 x − 2, 1 < x [ 2
x^2 − 5 x + 6
x − 2 , 2^ <^ x
Soluciones
1. (a) (b) (c)
x d 3
lim ( 4 − x ) = 1
x d 1
lim ( x^2 + 2)^ = 3
x d 2
lim f ( x ) =
x d 2
lim ( 4 − x ) = 2! f ( 2 ) = 0
(d) x d 1
lim f ( x ) =
x d 1
lim ( x^2 + 1 ) = 2! f ( 1 ) = 1
(e) f ( x ) = , no existe el límite.
x − 5
x − 5 =^
1, x > 5
−1, x < 5
x d 5 +
lim 1 = 1! − 1 =
x d 5 −
lim (− 1 )
(f) x d 3 −
lim
1
x − 3 = −∞,^ x^ limd 3 +^
1
x − 3 = +∞
2. (a)
x d 2
lim
x − 2
x^2 − x − 2 =^ lim x d 2
x − 2
( x −2)$( x +1) =^ lim x d 2
1
x + 1 =^
1 3
(b) x d 2
lim
x − 2
x^2 − 4 =^ lim x d 2
1
x + 2 =^
1 4
(c) x d 0
lim
x + 3 − 3
x =
x d 0
lim
1
x + 3 + 3 =^
1 2 3
(d) x d− 3
lim
1 − x − 2
x + 3 = x^ limd− 3
− 1
1 − x + 2 =
− 1 4
(e) x d 3
lim
1 x + 1 −^
1 4
x − 3 =^ lim x d 3
− 1
4 ( x + 1 ) =^
− 1 16
(f) x d 4
lim
x x + 1 −^
4 5
x − 4 =^ lim x d 4
1
5( x +1)^ =^
1 25
3. (a)
x d 2 −
lim f ( x ) = 3 =
x d 2 +
lim f ( x )
(b) x d 1 −
lim g ( x ) = − 2!
x d 1 +
lim g ( x ) = 3
x d − 2 −
lim f ( x ) = +∞! −∞ =
x d − 2 +
lim f ( x )
(e) f(x) presenta en x = 1 una discontinuidad inevitable.
x d 1 −
lim f ( x ) = −∞! +∞ =
x d 1 +
lim f ( x )
(f) f(x) es continua en su dominio que es R.
(g) f(x) presenta en x = 5 una discontinuidad inevitable y en x = -2 una discotinuidad evitable.
x d 5 −
lim f ( x ) = −∞! +∞ =
x d 5 +
lim f ( x )
y f(-2) no existe. x d − 2
lim
x + 2
( x +2)( x −5) = −^
1 7
(h) f(x) es continua en R, ya que es continua también en x = 1.
x d 1 −
lim (− 2 x + 3)^ = 1 =
x d 1 +
lim x^2 = f ( 1 )
(i) f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x = 2.
x d 2 −
lim (− 2 x ) = − 4 = f ( 2 )! − 3 =
x d 2 +
lim ( x^2 − 4 x + 1)
6. Para que f(x) sea continua ha de serlo en x = 2, ya que en el resto de los puntos del dominio por estar
definida como una polinómica ya lo es.
f continua en x = 2 w (como los tres valores han de ser iguales)
f ( 2 ) = 8
x d 2 −
lim x^3 = 8
x d 2 +
lim ax^2 = 4 a
w
8 = 4 a e a = 2
7. Para que f(x) sea continua ha de serlo en x = -1 y en x =3, ya que en el resto de los puntos del
dominio por estar definida como una polinómica ya lo es.
f continua en x = -1 w
f (− 1 ) = 2
x d − 1 −
lim 2 = 2
x d − 1 +
lim ax + b = − a + b
w − a + b = 2
f continua en x = 3 w
f ( 3 ) = − 2
x d 3 −
lim ax + b = 3 a + b
x d 3 +
lim − 2 = − 2
w 3 a + b = − 2
Resolviendo el sistema
− a + b = 2
3 a + b = − 2
e a = −1, b = 1
8. (a)
x d − 3 +
lim
1
x^2 − 9 =−∞^ y^ x d^ lim − 3 −^
1
x^2 − 9 =+∞
(b) x d − 3 +
lim
x
x^2 − 9 = +∞^ y^ x d^ lim − 3 −
1
x^2 − 9 = −∞
(a) x d − 3 + lim x^2 x^2 − 9 = −∞^ y^ x d^ lim − 3 −
x^2 x^2 − 9 = +∞
9. (a)
x d− 2 +
lim ( x +^1 2) 2 =+∞ y
x d− 2 −
lim ( x +^1 2) 2 =+∞
(b) x d− 2 +
lim
1
( x +2) = +∞^ y^ x^ limd− 2 −^
1
( x +2) = −∞
10. (a) f ( x ) = posee como asíntota vertical la recta x = 0.
1 x^2
(b) f ( x ) = posee como asíntotas verticales las rectas x = 2 y x = -1. x^2 − 2 x^2 − x − 2
(c) (^) f ( x ) = x posee como asíntotas verticales las rectas x = 1 y x = -1.
3 x^2 − 1
(d) f ( x ) = 1 −posee como asíntota vertical la recta x = 0.
4 x^2
(e) f ( x ) = 4 posee como asíntota vertical la recta x = 2.
( x −2)^3
(f) f ( x ) = posee como asíntota vertical la recta x = 2. 2 + x x − 2
(g) f ( x ) = No tiene asíntotas verticales.
− 4 x x^2 + 4
(h) f ( x ) = (−^2 posee como asíntota vertical la recta x = 2.
x −2)^2
11. (a) (b)
x d 2 +
l i m x − 3 x − 2 =^ −^ ∞
x d 1 +
lim
2 + x
1 − x = −∞
(c) (d) x d 4 + lim x^2
x^2 − 16 = +∞^ x^ limd 4
x^2
x^2 + 16 =^
1 2
(b) f(1) = 3, f(3) = 0
(c).. x d 1
lim ( x − 3)^ = − 2! f ( 1 )
x d 3
lim ( x − 3)^ = 0 = f ( 3 )
15. y 16.
21. Calcula los siguientes límites:
(a) (b) x d∞ lim
2 + x − 3 x^2 x^2 − 1 = −^3 x^ limd− 1
− x ( x +1)^2
2 x − 1 = ∞
= 0
(c) (d) x d∞ lim
2 x^2 + 1 x^3 + 3 x − 1 =^0 lim x d 1
x^2 − 2 x + 1 x + 2
− 1 ( x −1)^2 = 0
= ∞
(e) (f) x d∞ lim
x^4 − 3 x + 2 x^2 + 4 x − 1 = +∞^ x^ lim (d∞ x
− 3 x )
1 − 2 x = ∞
= 0
(g) (h) x d∞ lim
x^3 + 3 x^2 − x + 1 x^2 + x + 1 = +∞^ x^ limd− 1 −^
3 x x + 1 = +∞!^ −∞^ = x d^ lim− 1 +^
3 x x + 1
(i) (j) x d−∞ lim
2 + x^2 − 3 x^4 x^2 + 4 x − 1 = −∞^ x^ limd∞^
x + 1 3 x − 4 =^0
(k) (l) x d∞ lim
1 + x 3 + 2 x
x^2 − 2 x x + 3 =
= 0 x d∞ lim
x^2 + 3 x + 2 x 3 x − 2 =^
3 =^1
(m) x d−∞
lim
x − 1 4 x − 1
2 x − 3
= ∞
(n) x d− 3 −
lim [ x
− 1]^
x − 2 x + (^3) = 8 ∞^ = ∞ x d− 3 +
lim [ x
− 1]^
x − 2 x + (^3) = 8 −∞^ = 0
(ñ) (o) x d 1
lim [2 x + 3]^
3 ( x −1)^2 = 5 ∞^ = ∞ x d∞ lim
( x −1)^2
2 x^2 − 1 = 1
(p) (r) x d 3
lim
( x −3)^2 = ∞ x d−∞ lim
4 x − x^2 + 3 x 2 x − 2 =^
(s) (t) x d 2
lim
2 x^2 + 3 x − 14 x^3 − 8 =^
(^12) x^ limd− 1
x^3 − 3 x − 2 2 x^3 + 5 x^2 + 4 x + 1 =^
− 1 =^3
(u) (v) x d 4
lim
x^2 − 16 x − 2 = 32 x d 3
lim
3 x − 3 2 − 2 x − 2
=
− 12 =−^1
(w) (x) x d 0
lim
x + 4 − 2 x^2 + 3 x =^
12 lim x d 2
x^2 − 2 x^2 + 4 x 3 x − 2 − 2
=
(y) (z) x d∞ lim x
− 3 x − x =
2 lim x d∞^2 x −^4 x
2 − 2 x + 3 =
1 2
22. Calcula los siguientes límites:
(a) x d∞ lim 2 x
(b) x d∞ lim 4 x
− 2 x − 2 x + 2 =
(c) (d) x d∞ lim
2 x + 3 2 x − 3
3 x − 1 = e
x d∞ lim 1 −
2 x − 1
4 x + 5 = e
(e) (f) x d∞ lim
x + 3 2 x − 3
3 x − 1
= 0 x d 3
lim
x + 3 2 x
1 x − 3 = e
(g) (h) x d 1
lim
x + 1
x^2 + 2 x x^2 + 3 x − (^4) = e − 3 10 x d∞ lim
2 x − 1 2 x + 1
x^2 + 4 x x + 2 = e
No es continua en x = 2 ya que:
f ( 2 ) = 4
x d 2 −
lim ( 3 x − 2 ) = 4
x d 2 +
lim
( x −2)( x −3)
x − 2 = −^1
