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de dos variables reales
Definición Sea D una región del plano. Sea f : D → R.
- Se dice que f alcanza su valor máximo absoluto M en un punto P = (x , y ) 0 0 ∈D cuando M = f (x , y ) 0 0 ≥ f (x, y) ∀(x,y) ∈ D.
- Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto P = (x , y ) 0 0 ∈ D cuando f (x , y ) 0 0 ≥ f (x, y) ∀(x,y) perteneciente a un entorno de (x , y ) 0 0.
- Se dice que f alcanza su valor mínimo absoluto m en un punto P = (x , y ) 0 0 ∈D cuando m = f (x , y ) 0 0 ≤ f (x, y) ∀(x,y) ∈ D.
- Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto P = (x , y ) 0 0 ∈ D cuando f (x , y ) 0 0 ≤ f (x, y) ∀(x,y) perteneciente a un entorno de (x , y ) 0 0.
de dos variables reales
Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes
máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las
cotas del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada). No
tienen porqué existir, sin embargo, lo mismo que el teorema de Weierstrass nos garantizaba
la existencia de máximo y mínimo absolutos de una función y = f(x) continua en [ a, b ]⊂ R,
puede demostrarse que z = f(x,y) continua alcanza su valor máximo y su valor mínimo
absolutos en una región D cerrada (incluye el borde) y acotada del plano.
de dos variables reales
Fórmula de Taylor para una función de dos variables Sea una función z=f(x,y) continua con derivadas parciales continuas hasta el orden, n+1, inclusive, en un entorno del punto P(a,b). Entonces f se puede representar, al igual que en el caso de una variable, como la suma de un polinomio de grado n en dos variables y un resto.
Para n=2 la fórmula de Taylor sería: f(x,y)=f(a,b) + f x(a,b)(x-a) + f y(a,b)(y-b)
- 1 f (^) xx (a, b)(x a) 2 2f (^) xy (a, b)(x a)(y b) f (^) yy(a, b)(y b)^2 2!
3 2 2 3 xxx 1 xxy 2 xyy 3 yyy
(^1) f (c , b)(x a) 3f (c , b)(x a) (y b) 3f (c , b)(x a)(y b) f (a, d)(y b) 3!
+ ^ − + − − + − − + −
siendo
c 1 , c 2 , c 3 (a, x), o bien, (x,a) d (b, y), o bien, (y, b)
- La expresión f(a,b)+ fx (a,b)(x-a)+ f (^) y(a,b)(y-b) es la aproximación lineal de f
- 1 fxx (a, b)(x a)^2 2fxy (a, b)(x a)(y b) f (^) yy(a, b)(y b)^2 2!
− + − − + − es el término cuadrático y
sumada a la anterior constituye la aproximación cuadrática, o de orden 2.
- (^1) f (^) xxx (c , b) 1 3f (^) xxy (c , b)(x 2 a) (y^2 b) 3f (^) xyy (c , b)(x 3 a)(y b)^2 f (^) yyy(a, d)(y b)^3 3!
(^) + − − + − − + − es el
término complementario o resto y lo designaremos R 2****.
- Para n>2 la fórmula de Taylor sería totalmente análoga. Demostración: Desarrollaremos, en primer lugar, f(x,y) por Taylor considerando x constante.
f(x,y)=f(x,b)+ fy (x,b)(y-b)+ yy
f (x, b) 2!
(y-b)^2 + yyy
f (x, d) 3!
(y-b)^3 siendo d ∈ (y,b) ó (b,y) (1).
Consideramos ahora los desarrollos de Taylor en x=a de f(x,b), f (^) y(x,b), f (^) yy(x, b) , f (^) yyy(x, d).
f(x,b)=f(a,b)+ (^) f (^) x(a,b)(x-a)+ f^ xx^ (a, b)^ (x a) 2 f^ xxx^ (c , b)^1 (x a)^3 2! 3!
− + − con c 1 ∈( ,a x ) ó (x,a).
f y (x,b)= f (^) y(a,b)+ xxy (^2 ) xy 2
f (c , b) f (a, b)(x a) (x a) con c (a, x) 2!
− + − ∈ ó (x,a).
f yy (x, b) = f (^) yy(a, b) + f (^) xyy (c , b)(x 3 − a) con c 3 ∈ (a, x)ó (x,a). f yyy (x, d) = f (^) yyy(a, d). Sustituyendo en (1) :
f(x,y) = f(a,b) + fx (a,b)(x-a) + f^ xx^ (a, b)^ (x a) 2 f^ xxx^ (c , b)^1 (x a)^3 2! 3!
− + − + f y(a,b) + f (^) xy(a, b)(x −a)
f (^) xxy (c , b) (^2) (x a) 2 2!
(y-b)+ f yy(a, b)+ fxyy (c , b)(x 3 − a) (y-b)^2 + f (^) yyy(a, d) (y-b)^3.
de dos variables reales
Desarrollando y agrupando por el orden de las derivadas: f(x,y) = f(a,b)+ f (^) x(a,b)(x-a)
- f (^) y(a,b)(y-b) + 1 fxx (a, b)(x a)^2 2fxy (a, b)(x a)(y b) f (^) yy(a, b)(y b)^2 2!
3 2 2 3 xxx 1 xxy 2 xyy 3 yyy
(^1) f (c , b)(x a) 3f (c , b)(x a) (y b) 3f (c , b)(x a)(y b) f (a, d)(y b) 3!
siendo
c 1 , c 2 , c 3 (a, x), o bien, (x,a) d (b, y), o bien, (y, b)
Teorema 2. Condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos. Criterio de la derivada segunda Sea z=f(x,y) una función definida en D ⊂ R^2 y P(x o ,yo ) ∈ D. Supongamos que f tiene derivadas parciales de primer y segundo orden continuas en D y que P(xo ,yo ) es un punto
crítico de f, es decir f (^) x (xo ,yo )=0 y f (^) y (xo ,yo )=0, entonces se verifica que:
1º) f tiene un máximo en P(xo ,yo ) si:
f xx (x , y )o 0 < 0 y xx o o xy o o xy o o yy o o
f (x , y ) f (x , y ) (^0) f (x , y ) f (x , y )
2º) f tiene un mínimo en P(x o ,yo ) si:
f xx (x , y )o 0 > 0 y xx^ o^ o^ xy^ o^ o xy o o yy o o
f (x , y ) f (x , y ) 0 f (x , y ) f (x , y )
3º) f no tiene ni máximo ni mínimo en P(xo ,yo ) pues crece en unas direcciones y decrece en otras, diremos que f presenta un punto de silla , si:
xx o o xy o o xy o o yy o o
f (x , y ) f (x , y ) 0 f (x , y ) f (x , y )
4º) Si xx^ o^ o^ xy^ o^ o xy o o yy o o
f (x , y ) f (x , y ) 0 f (x , y ) f (x , y )
= , entonces no podemos asegurar que exista o no extremo
en f. Será preciso realizar un estudio más detallado.
Demostración: Para analizar si f presenta, o no, un extremo en P(x (^) o,yo) debemos estudiar si permanece constante, o no, el signo de f(x,y) - f(x (^) o,yo), siendo (x,y) (^) ∈E(x (^) o,yo) (^) ⊂ D.
Designamos (x,y)=(x o+h,yo+k), entonces x-x o=h, y-yo=k.
de dos variables reales
f xx (x (^) o,yo) 2 f (^) xx (x , y )ho o + 2 2f (^) xy (x , y )hko o + f (^) yy (x , y )ko o = (^) ( )
2 f (^) xx (x , y )ho o + f (^) xy (x , y )ko o ≥ 0 ,
cabe la posibilidad de que la expresión f (^) xx (x , y )ho o 2 + 2fxy (x , y )hko o + f (^) yy (x , y )ko o^2 =0 y no
se puede deducir nada acerca del signo(f(x,y)-f(x (^) o,yo))
Nota
En el teorema anterior f (^) xy= f (^) yxen D y xx^ xy yx yy
f f f f
= xx^ xy xy yy
f f f f
. Éste último determinante recibe el
nombre de Hessiano de f.
El número (^) ( )
2 f (^) xx f (^) yy − fxy se denomina, a veces, discriminante de f.
Ejemplos: f(x,y) = 5-x 2 -y^2 f(x,y) = x 2 +y^2
f(x,y) = xy f(x,y) = x 2 y^2
de dos variables reales
Cálculo de máximos y mínimos absolutos de una función Si z=f(x,y) es una función continua en una región D cerrada y acotada, ya hemos dicho que f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos.
Según lo que acabamos de ver, estos valores se alcanzarán en:
- Puntos frontera de D
- Puntos críticos de f (puntos interiores de D en los que f (^) x= fy =0, o alguna de ellas no
exista). Calculando f en todos ellos y eligiendo los valores mayor y menor tendremos los valores máximo y mínimo absoluto respectivamente.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
Proposición Sea z = f(x,y) una función continuamente diferenciable en un abierto U de R^2.
Sea r (t) ((x(t),y(t))
→ = la ecuación de una curva plana C enteramente contenida en U que posee
en cada punto vector tangente r ′(t)=(x′(t),y′(t))
→ .
Si el punto (x , y ) 0 0 ∈ r hace máxima ó mínima f(x,y) sobre C, entonces
f (x , y ) 0 0 (f , f )x y (x ,y ) 0 0
→ ∇ = es perpendicular a dicha curva en (x , y ) 0 0.
Demostración:
Sea t 0 ∈ Rtal que r (t ) 0 (x , y ) 0 0
→ =. La función compuesta:
z f ( r (t)) x^ t y t
, que tiene como
gráfica la curva sobre la superficie, posee un máximo (ó mínimo) en t 0. Por tanto, d [f ( r (t))] 0 dt
→ = en t = t 0.
Aplicando la regla de la cadena:
x y
df (^) f dx (^) f dy f ( r (t)) r (t) 0 dt dt dt
→ → → = + = ∇ ⋅ ′ = en t = t 0 .Luego f (x , y ) 0 0 r (t ) 0
→ → ∇ ⊥ ′.
Como r (t ) 0
→ ′ es tangente a C en (x , y ) 0 0 , se tiene que f (x , y ) 0 0
→ ∇ es perpendicular a la curva
en (x , y ) 0 0.
x
y
y 0 x (^0)
( f (^) x, f (^) y )( x 0 , y 0 ) ( ' (x t 0 ), y ' ( t 0 )) c
de dos variables reales
Estos requisitos son equivalentes a los formulados anteriormente ya que: H (^) x = fx − λg (^) x= 0 ó bien fx = λgx H (^) y = f (^) y − λg (^) y= 0 ó bien fy = λgy H (^) λ = −g(x, y) = 0 ó bien g(x,y)= 0
Las primeras dos ecuaciones dan f g
→ → ∇ = λ ∇ , y la última g(x,y) = 0.
Nota Toda la teoría anterior puede extenderse (sin más que añadir una coordenada) a funciones de tres variables f(x,y,z). En este caso, tiene sentido plantearse el problema de hallar máximos ó mínimos de f condicionados por dos restricciones g(x,y,z) = 0 y h(x,y,z) = 0.
Se localizan los puntos P(x,y,z) que satisfagan simultáneamente las ecuaciones :
f g h
→ → → ∇ = λ ∇ + μ ∇ g(x,y,z) = 0 h(x,y,z) = 0
Se requiere que las funciones f, g y h tengan derivadas parciales primeras continuas.
La interpretación geométrica de las ecuaciones anteriores es sencilla: Sea C la curva diferenciable intersección de las dos superficies g = 0 y h = 0. A lo largo de esta curva buscamos los puntos donde f alcanza máximos ó mínimos relativos respecto a sus otros valores sobre la curva. Estos son los puntos donde f
→ ∇ es perpendicular a C, como
vimos anteriormente. Pero también g
→ ∇ y h
→ ∇ son perpendiculares a C en estos puntos, ya que
C está en las superficies g = 0 y h = 0. Por tanto, f
→ ∇ está en el plano determinado por g
→ ∇ y
h
→ ∇ , es decir,^ f g h
→ → → ∇ = λ ∇ + μ ∇ para ciertos^ λ yμ.
Como los puntos que buscamos están además en ambas superficies, sus coordenadas han de satisfacer las ecuaciones g(x,y,z) = 0 y h(x,y,z) = 0, que son los dos últimos requisitos que habíamos escrito.
Superficie h=
Superficie g=
90 °
∇h ∇g 90 °
de dos variables reales
OBTENCIÓN DE UNA FUNCIÓN A BASE DE DATOS EXPERIMENTALES SEGÚN EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Supongamos que se quiere establecer una relación funcional, y = f(x), entre dos variables x e y (ó bien z = f(x,y)), y que se conocen experimentalmente n valores de la función y (y , y ,...y ) 1 2 n para los valores correspondientes de x (x , x ,...x ) 1 2 n .(ó bien se conocen (z , z ,...z ) 1 2 n para los correspondientes ( (x , y ) 1 1 , (x , y ) 2 2 ,..., (x , y )n n )).
Estos puntos experimentales (x , y )i i , i = 1,...n, se disponen en el plano (ó bien (x , y , z )i i i , i =
1,...n en el espacio) de coordenadas y, a la vista de su disposición, se deducirá de qué forma ha de ser la función f buscada.
Por ejemplo, si la disposición fuera:
parece lógico pensar que la relación entre x, y, z ha de ser lineal, es decir: z = f(x,y) = ax + by +c
En cambio, si la situación fuera la siguiente:
sería natural buscar una función de la forma z = f(x)=aebx^ + c.
Una vez que, a la vista del gráfico, se ha elegido la forma de la función y = f(x,a,b,c,...) (ó bien z = f(x,y,a,b,c...)), el método de los mínimos cuadrados consiste en buscar los parámetros a, b, c, ... de forma que sea mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores y (^) i experimentales y los valores f (x , a, b, c,...)i (ó bien entre los valores zi y los valores f (x , y , a, b, c,...) i i ) de la función en los puntos f (x )i correspondientes (ó bien en f (x , y )i i ).
Es decir, han de elegirse a, b, c, ... para los cuales la función de varias variables n (^2) S(a, b, c,...) = (^) ∑i 1 = [yi −f (x , a, b, c,...)]i tenga un mínimo.
Por el teorema 1, se ha de cumplir:
x
y
z
- (^) • •^ • x (^1) x 2 x^3 x 4 x (^5) x (^6) x
y
