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Efectos de la esbeltez
CONSIDERACIONES GENERALES
El diseño de las columnas consiste básicamente en seleccionar una sección transversal adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu y momentos (de primer orden) mayorados Mu, incluyendo la consideración de los efectos de la esbeltez de la columna (momentos de segundo orden).
La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación de esbeltez kℓu/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), ℓu es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud.
A los fines del diseño, el término "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una resistencia igual a la calculada para su sección transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un análisis para combinación de flexión y carga axial. Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden (momentos de segundo orden). Según estas definiciones, una columna con una determinada relación de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con métodos de análisis y diseño más precisos, es posible diseñar secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos más esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseño confiables y racionales para las columnas esbeltas se convierte así en una consideración importante en el diseño de columnas.
Una columna corta puede fallar a causa de una combinación de momento y carga axial que supere la resistencia de la sección transversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material." A modo de ejemplo, consideremos la columna ilustrada en la Figura 11-1. Debido a la carga, la columna tiene una deformación ∆ que provocará un momento adicional (de segundo orden) en la columna. En el diagrama de cuerpo libre se puede ver que el momento máximo en la columna ocurre en la sección A-A, y es igual al momento aplicado más el momento debido a la deformación del elemento, que es M = P (e + ∆).
La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva de interacción de resistencias, dependiendo de la combinación del momento y la carga axial aplicada. Como se mencionó anteriormente, se producirá alguna deformación y habrá una "falla del material" cuando una combinación particular de carga P y momento M = P (e + ∆) interseque la curva de interacción de resistencias.
Si la columna es muy esbelta, podría llegar a una deformación debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformación aumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en la curva de interacción de resistencias.
Figura 11-1 – Interacción de las resistencias en columnas esbeltas
El concepto básico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya más de 200 años. El concepto establece que un elemento fallará por pandeo bajo la carga crítica Pc = π^2 EI/(ℓe) 2 , siendo EI la rigidez flexional de la sección transversal del elemento y ℓe la longitud efectiva, que es igual a kℓu. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo será mayor que la resistencia al aplastamiento por compresión directa (correspondiente a la falla del material). En los elementos que son más esbeltos (es decir, elementos para los cuales el valor de kℓu/r es más elevado), la falla puede ocurrir por pandeo (falla de estabilidad), con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez (ver Figura 11-2).
Figura 11-2 – Carga de falla en función de la esbeltez de una columna
Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una típica curva de interacción de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 11-3. El diagrama de interacción de resistencias para kℓu/r = 0 corresponde a las combinaciones de momento y carga axial donde la resistencia no se ve afectada por la esbeltez del elemento (resistencia de columna corta).
Figura 11-3 – Diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas
A A
M
M = Pe
P
P
P
M = Pe
P
P
M
Pe
M = P (e+∆)
∆
P∆
columna corta falla del material
falla de estabilidad
com presión pandeo
P
Pc = ( )
π A
2 2 u
EI k
kℓu/r
30 60 100 130
M
P
kℓu /r = 0
Si por algún motivo no resulta práctico realizar un análisis más exacto, la sección 10.10.2 permite considerar los efectos de la esbeltez mediante un método aproximado de amplificación de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos comprimidos en los cuales la relación de esbeltez (kℓu/r) es mayor que 100 (ver Figura 11-4), para considerar los efectos de la esbeltez se debe utilizar un análisis más exacto según lo definido en 10.10.1.
10.11 EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ
Se usa el factor de amplificación de momentos δ para amplificar los momentos de primer orden y así tomar en cuenta el aumento de los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificación de momentos δ depende de la relación entre la carga axial aplicada y la carga crítica o de pandeo de la columna, de la relación entre los momentos aplicados en los extremos de la columna, y de la geometría deformada de la columna.
10.11.1 Propiedades de la sección para el análisis del pórtico
De acuerdo con 10.11.1, las cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M 1 y M2) y las deformaciones laterales de piso, ∆o, se deberán calcular usando un análisis elástico de primer orden del pórtico, considerando la presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos cálculos no es factible desde el punto de vista económico, aún para estructuras pequeñas. Por lo tanto, para considerar la fisuración en el análisis se pueden usar las propiedades de la sección dadas en 10.11.1 y resumidas en la Tabla 11-1. Los valores de E, I y A han sido seleccionados a partir de los resultados obtenidos en ensayos y análisis de pórticos de acuerdo con la Referencia 10.28. Es importante observar que para analizar la estructura a nivel de la carga de servicio resulta satisfactorio multiplicar los momentos de inercia especificados en la Tabla 11- por 1/0,70 = 1,43 (R10.11.1). Además, los momentos de inercia se deben dividir por (1 + βd) en el caso que sobre la estructura actúen cargas horizontales de larga duración (por ejemplo, las cargas horizontales provocadas por las presiones del suelo) o para verificación de la estabilidad frente a cargas gravitatorias realizadas de acuerdo con 10.13.6.
Tabla 11-1 – Propiedades de las secciones para el análisis de pórticos
Módulo de elasticidad Momento de inercia †^ Área Vigas 0,35 lg Columnas 0,70 Ig Tabiques no fisurados 0,70 l (^) g Tabiques fisurados 0,35 l (^) g Placas planas y losas planas
Ec de 8.5.
0,25 lg
1,0 Ag
† (^) Dividir por (1 + β d ) cuando actúen cargas de larga duración, o para las verificaciones de estabilidad realizadas de acuerdo con 10.13.6. Para los análisis a nivel de la carga de servicio multiplicar por 1/0,70 = 1,43.
10.11.2 Radio de giro
En general el radio de giro, r, es I (^) g / Ag. En particular, para los elementos de sección rectangular r se puede tomar igual a 0,
por la dimensión en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de sección circular se puede tomar igual a 0,25 por el diámetro de la sección, como se ilustra en la Figura 11-5.
Figura 11-5 – Radio de giro, r
10.11.3, 10.12.1 Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos
La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) ℓu de una columna, definida en 10.11.3, es la distancia libre entre apoyos laterales, como se ilustra en la Figura 11-6. Observar que la longitud ℓu puede ser diferente para el pandeo respecto de cada uno de los ejes principales de la sección transversal de la columna. La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como Pc = π^2 EI/(ℓe) 2 , siendo ℓe la longitud efectiva kℓu. Las ecuaciones básicas para el diseño de columnas esbeltas fueron desarrolladas para extremos articulados y, por lo tanto, se las debe modificar para considerar los efectos de las condiciones de vínculo. La longitud efectiva de la columna, kℓu, y no la longitud real sin apoyo lateral ℓu, es la que se utiliza para estimar las resistencias de las columnas esbeltas. Esta longitud efectiva considera tanto las condiciones de vínculo como la condición de sistema indesplazable o desplazable.
Figura 11-6 – Longitud sin apoyo lateral, ℓu
Cuando se produce la carga crítica definida por la ecuación de Euler, un elemento originalmente recto pandea con una forma de semionda sinusoidal, como se ilustra en la Figura 11-7(a). Con esta configuración, en cada sección actúa un momento adicional P- ∆, siendo ∆ el desplazamiento lateral en el punto específico considerado a lo largo de la columna. Este desplazamiento lateral continúa aumentando hasta que la tensión por flexión provocada por el momento (P-∆), más la tensión de compresión original provocada por las cargas aplicadas, excede la resistencia a la compresión del hormigón y la columna falla. La longitud efectiva ℓe (= kℓu) es la longitud entre los apoyos articulados, entre puntos de momento nulo o entre puntos de inflexión. Para la condición de ambos extremos articulados ilustrada en la Figura 11-7(a), la longitud efectiva es igual a la longitud sin apoyo lateral o no soportada, ℓu. Si el elemento está empotrado en ambos extremos (restringido contra la rotación), el pandeo se producirá en la forma ilustrada en la Figura 11-7(b); habrá puntos de inflexión en los puntos indicados, y la longitud efectiva ℓe será igual a la mitad de la longitud sin apoyo lateral, ℓu. La carga crítica de pandeo Pc para la condición de extremos empotrados es cuatro veces mayor que para la condición de extremos articulados. En las estructuras reales rara vez las columnas son perfectamente articuladas o empotradas, sino que sus extremos están parcialmente restringidos contra la rotación por los elementos solidarios a la columna. En consecuencia, la longitud efectiva está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, como se indica en la Figura 11-7(c), siempre que esté impedido el desplazamiento lateral de un extremo de la columna respecto del otro. El valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a los extremos superior e inferior de la columna.
b
h
r = 0,3b r = 0,25 D
r = 0,3h
D
r =
I
A (^) g
g
Dirección
analizada
ℓu ℓu^ ℓ
u
Figura 11-9 – Pórtico rígido (condición desplazable)
Resumiendo, se pueden hacer los siguientes comentarios.
- Para los elementos solicitados a compresión en pórticos indesplazables, la longitud efectiva ℓe está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, siendo ℓu la longitud real sin apoyo lateral de la columna.
- Para los elementos solicitados a compresión en pórticos desplazables, la longitud efectiva ℓe siempre es mayor que la longitud real de la columna ℓu, y puede ser igual a 2ℓu o mayor. En este caso un valor de k inferior a 1,2 no sería realista.
- El uso de los nomogramas de las Figuras 11-10 y 11-11 (también en la Figura R10.12.1) permiten determinar gráficamente los factores de longitud efectiva para los elementos solicitados a compresión de pórticos indesplazables y desplazables, respectivamente. Si ambos extremos de una columna de un pórtico indesplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, y entonces k = 1,0. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, y k = 0,5. Si ambos extremos de una columna de un pórtico desplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, entonces k = ∞. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, entonces k = 1,0.
R10.12.1 presenta un método alternativo para calcular los factores de longitud efectiva para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables y desplazables. Para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables, se puede tomar como límite superior para el factor de longitud efectiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones, tomadas del documento 1992 British Standard Code of Practice (Referencias ACI 10.33 y 10.34):
k = 0, 7 + 0, 05 ( ψ (^) A + ψ (^) B)≤1, 0
k = 0,85 + 0, 05 ψ min ≤1, 0
donde ψA y ψB son los valores de ψ en los extremos de la columna y ψ (^) mines el menor de los dos valores.
Para los elementos comprimidos restringidos en ambos extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencia ACI 10.32):
m m m
Para 2, k 1 20
− ψ ψ < = + ψ
Para ψ m ≥ 2, k = 0,9 1+ ψm
donde ψ (^) mes el promedio de los valores de ψ en ambos extremos de la columna.
Pc Pc
Pc Pc
ℓe > ℓu
ℓu
Figura 11-10 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos indesplazables
Para los elementos comprimidos articulados en uno de sus extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencias ACI 10.33 y 10.34):
k = 2, 0 + 0,3ψ
donde ψ es la relación entre las rigideces de la columna y la viga en el extremo restringido.
Al determinar el factor de longitud efectiva, k, usando las Figuras 11-10 y 11-11, o usando las ecuaciones del Comentario, las rigideces (EI) de las vigas (o de las losas) y de las columnas se deben calcular en base a los valores dados en 10.11.1.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
2,
3,
4,
5,
10,
50,
0,
0,
0
0,
0,
0,
0,
1, 0, 0,
5,
2,
3,
10,
50,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
k
A
MA MA
B
P A
P
B
MB MB
ψA ψA
ψB ψB
c
∑ ψ = ∑
A
A
EI cols.
EI vigas
ψA ψB
∆o = desplazamiento relativo de primer orden entre la parte superior y la parte inferior del entrepiso debido a V (^) u
ℓc = longitud de la columna, medida entre los ejes de los nudos del pórtico
Observar que la Ecuación (10-6) no es aplicable cuando Vu = 0.
10.11.6 Factor de amplificación de momentos δ para flexión biaxial
Cuando en una columna hay flexión biaxial, se deben amplificar los momentos calculados para cada eje principal. Los factores de amplificación de momentos, δ, se calculan considerando la carga de pandeo, Pc , respecto de cada eje en forma separada, en base a las longitudes efectivas correspondientes y a la rigidez relativa de la columna y las vigas en cada dirección. En consecuencia, si las capacidades de pandeo respecto de los dos ejes son diferentes, los factores de amplificación de momentos en ambas direcciones también serán diferentes. Los momentos respecto de los dos ejes se amplifican de forma separada, y luego la sección transversal se dimensiona para una carga axial P (^) u y los momentos biaxiales amplificados.
10.12.2, 10.13.2 Consideración de los efectos de la esbeltez
Para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando kℓu/r es menor o igual que [34 - 12 (M1/M 2 )], siendo M 2 el mayor de los momentos en ambos extremos y M 1 el menor de estos momentos. La relación M1/M 2 es positiva si la columna se deforma con curvatura simple, y negativa si el elemento se deforma con curvatura doble. Observar que M 1 y M 2 son los momentos mayorados en los extremos obtenidos a partir de un análisis de pórtico elástico, y que el término [34 - 12 (M1/M2)] no se debe tomar mayor que 40. Para los elementos comprimidos en pórticos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando kℓu/r es menor que 22 (10.13.2). El método del factor de amplificación de momentos se puede usar para columnas en las cuales la relación de esbeltez es mayor que estos límites inferiores.
El límite superior de la esbeltez de las columnas para que sea aplicable el método del factor de amplificación de momentos es kℓu/r igual a 100 (10.11.5). Si kℓu/r es mayor que 100 se deberá realizar un análisis de acuerdo con lo definido en 10.10.1, tomando en cuanta la influencia de las cargas axiales y los momentos de inercia variables sobre la rigidez del elemento y los momentos de los extremos empotrados, el efecto de las deformaciones sobre los momentos y las fuerzas, y los efectos de la duración de las cargas (efecto de las cargas sostenidas o de larga duración). En la Figura 11-4 se resumen los criterios para la consideración de la esbeltez de las columnas.
Los límites inferiores de la esbeltez permitirán despreciar los efectos de la esbeltez para una gran cantidad de columnas. Considerando la esbeltez kℓu/r en términos de ℓu/h para columnas rectangulares, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ℓu/h es menor que 10 para elementos comprimidos en pórticos indesplazables y con restricción nula en ambos extremos. Este límite aumenta a 18 para el caso de columnas con doble curvatura con momentos iguales en sus extremos y una relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas igual a 1,0 en ambos extremos. Para las columnas con poca o ninguna restricción en sus extremos, se debería utilizar un valor k = 1,0. Para las columnas robustas restringidas mediante losas planas, k está comprendido entre alrededor de 0,95 y 1,0 por lo cual se puede estimar conservadoramente igual a 1,0. Para las columnas de los pórticos formados por vigas y columnas, k varía entre alrededor de 0,75 y 0,90 por lo cual se puede estimar conservadoramente igual a 0,90. Si el cálculo inicial de la esbeltez en base a los valores k estimados indica que es necesario considerar los efectos de la esbeltez en el diseño, se debería calcular un valor de k más exacto y evaluar nuevamente la esbeltez. Para los elementos comprimidos en pórticos desplazables donde la relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas es igual a 1,0 en ambos extremos, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ℓu/h es menor que 5. Este valor se reduce a 3 si la rigidez de las vigas se reduce a un quinto de la rigidez de la columna en cada extremo de la misma. En consecuencia, las rigideces en la parte superior e inferior de las columnas de los edificios en altura en los cuales el desplazamiento lateral no está restringido mediante muros estructurales u otros elementos afectarán significativamente el grado de esbeltez de la columna.
El límite superior de la esbeltez indicado, kℓu/r = 100, corresponde a ℓu/h = 30 para un elemento comprimido en un pórtico indesplazable con restricción nula en ambos extremos. Este límite de ℓu/h aumenta a 39 cuando la relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas en ambos extremos es igual a 1,0.
10.12.3 Momentos amplificados – Pórticos indesplazables
Las ecuaciones para el diseño aproximado de columnas esbeltas indicadas en 10.12.3 para pórticos indesplazables se basan en el concepto de un factor de amplificación de momentos, δns, que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos
extremos del elemento comprimido. Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento amplificado Mc , siendo Mc :
Mc = δns M 2 Ec. (10-8)
donde
m ns u c
C
P
0, 75P
δ = ≥ −
Ec. (10-9)
( )
2 c (^2) u
EI
P
k
π
A
Ec. (10-10)
La carga crítica Pc se calcula para condición indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los cálculos se deben usar los valores de E e I de 10.11.1. Observar que el factor 0,75 de la Ecuación (10-9) es un factor de reducción de la rigidez (ver R10.12.3).
Para definir la carga crítica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parámetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuración, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva tensión- deformación del hormigón. Si no se realiza un análisis más exacto, EI se deberá tomar como:
( (^) c g s se)
d
0, 2E I E I
EI
Ec. (10-11)
o bien
c g d
0, 4E I
EI
Ec. (10-12)
La segunda ecuación es una aproximación simplificada de la primera. Ambas ecuaciones aproximan los límites inferiores de EI para las secciones habituales y, por lo tanto, son conservadoras. La Figura 11-12 ilustra la naturaleza aproximada de las ecuaciones para determinar EI, comparándolas con valores obtenidos de diagramas momento-curvatura para el caso que no hay carga sostenida (βd = 0).
Figura 11-12 – Comparación de EI obtenido mediante las ecuaciones con valores de EI obtenidos de diagramas momento-curvatura
0,6 0,7 0,8 0,
1
2
P /Pu o
0,6 0,
1
0, P /Pu o
0,
2
3
4
Ec. (10-11) Ec. (10-12)
EI Teórico EI Ec.(10-11)
EI Teórico EI Ec. (10-12)
ρ = 1% 5
ρ = 8%
ρ = 1%
ρ = 8%
10.13.3 Momentos amplificados – Pórticos desplazables
El diseño de los pórticos desplazables considerando los efectos de la esbeltez consiste esencialmente en tres pasos:
- Se calculan los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, de una de las tres manera siguientes:
a. Un análisis elástico de segundo orden del pórtico (10.13.4.1)
b. Un análisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2)
c. Un método aproximado en base a un factor de amplificación de los códigos ACI anteriores (10.13.4.3)
- Los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, se suman a los momentos Mns, no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral, en cada extremo de la columna (10.13.3):
M 1 = M1ns + δs M1s Ec. (10-15)
M 2 = M2ns + δs M2s Ec. (10-16)
Los momentos que no consideran el desplazamiento lateral, M1ns y M2ns, se calculan usando un análisis elástico de primer orden.
- Si la columna es esbelta y las cargas axiales que actúan sobre la misma son elevadas, se debe verificar si los momentos en los puntos entre los extremos de la columna son mayores que los momentos en dichos extremos. De acuerdo con 10.13.5, esta verificación se realiza usando el factor de amplificación δns para pórticos indesplazables, calculando Pc en base a k = 1,0 o menor.
10.13.4 Determinación de δs M s
Como se indicó anteriormente, existen tres maneras para calcular los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δsMs. Si para calcular δsMs se utiliza un análisis elástico de segundo orden, las deformaciones deben ser representativas del estado inmediatamente anterior a la carga última. Por este motivo en los análisis de segundo orden se deben usar los valores de EI dados en 10.11.1. Observar que I se debe dividir por (1 + βd), donde para pórticos desplazables βd se define de la siguiente manera (ver 10.0):
d
Máximo corte de larga duración mayorado en un entrepiso Máximo corte mayorado en el entrepiso
β =
Para cargas sísmicas βd = 0. Un ejemplo de un valor de βd diferente de cero puede ocurrir cuando los elementos están solicitados por presiones del suelo.
La sección 10.13.4.2 permite utilizar un análisis de segundo orden aproximado para determinar δsMs. En este caso, la solución de la serie infinita que representa el análisis iterativo P-∆ para los momentos de segundo orden es:
s s s s
M
M M
I Q
δ = ≥ −
Ec. (10-17)
donde
Q = índice de estabilidad de un entrepiso
u o u c
P
V
= ∑^ A
Ec. (10-7)
Observar que la Ecuación (10-7) predice en forma precisa los momentos de segundo orden en los pórticos desplazables para valores de δs menores que 1,5. Cuando se verifica δs > 1,5: δmMs se debe calcular usando 10.13.4.1 ó 10.13.4.3.
El código también permite determinar δsMs usando el procedimiento de amplificación de momentos incluido en los códigos ACI anteriores (10.13.4.3):
s s s s u c
M
M M
P
0, 75 P
δ = ≥ −
∑ ∑
Ec. (10-18)
donde
∑P (^) u = sumatoria de todas las cargas verticales en un piso
∑P (^) c = sumatoria de las cargas críticas para todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral de un piso
Es importante observar que, en las construcciones con desplazamientos torsionales significativos, el procedimiento de amplificación de momentos puede subestimar la amplificación de los momentos de las columnas más alejadas del centro de rotación. En estos casos se debería considerar un análisis de segundo orden tridimensional.
10.13.5 Ubicación del máximo momento
Al sumar los momentos no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral en los extremos de la columna con los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es el máximo momento de la columna. Sin embargo, en las columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el máximo momento puede ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En 10.13.5 se indica una manera sencilla de determinar si esto ocurre: si en un elemento individual comprimido
u u c g
r (^) P f ' A
A
Ec. (10-19)
el máximo momento ocurrirá en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En este caso, M2, definido en la Ecuación (10-16) se debe amplificar aplicando el factor de amplificación de momentos para pórticos indesplazables dado en la Ecuación (10- 9). Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc , donde Mc se calcula de la siguiente manera:
M (^) c = δ (^) ns M 2 Ec. (10-8)
m (^) ( (^) 2ns s 2s) u c
C
M M
P
0, 75P
= ^ + δ (^) −
Observar que k se determina de acuerdo con 10.12.1 y δns ≥ 1,0.
10.13.6 Estabilidad estructural bajo cargas gravitatorias
En los pórticos desplazables se debe investigar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral de la estructura en su conjunto. Esto se verifica de tres maneras diferentes, dependiendo del método usado para determinar δmMs:
- Cuando δsMs se determina mediante un análisis de segundo orden (10.13.4.1) se debe satisfacer la siguiente expresión:
RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE DISEÑO
Creemos que el siguiente resumen de ecuaciones para el diseño de columnas esbeltas bajo cargas permanentes, sobrecargas y cargas de viento, tanto en pórticos indesplazables como en pórticos desplazables, puede ser de utilidad para el diseñador. Los Ejemplos 11.1 y 11.2 ilustran la aplicación de estas ecuaciones para el diseño de columnas en pórticos indesplazables y pórticos desplazables, respectivamente.
- Determinar las combinaciones de cargas mayoradas de acuerdo con 9.2.
En los ejemplos que siguen se asume que el factor de carga para sobrecarga es 0,5 (es decir, se aplica la condición 9.2.1(a)) y que la carga de viento ha sido reducida aplicando el factor de direccionalidad (9.2.1(b)).
Observar que los momentos mayorados Mu,sup y Mu,inf en los extremos superior e inferior de la columna, respectivamente, se han de determinar usando un análisis de pórtico de primer orden, en base a las propiedades de la sección fisurada del elemento.
- Determinar Mc para cada combinación de cargas, siendo Mc el mayor momento mayorado que actúa en un extremo de la columna, incluyendo los efectos de la esbeltez (si fuera necesario). Observar que Mc se puede determinar mediante uno de los siguientes métodos:
a. Análisis de segundo orden (P-∆) (10.10.1)
b. Método del factor de amplificación de momentos (sólo si kℓu/r ≤ 100; ver 10.12 y el paso (3) siguiente)
Determinar la armadura requerida en la columna para la combinación de cargas crítica determinada en el paso (1) anterior. Cada combinación de cargas consiste en Pu y Mu.
- Método del factor de amplificación de momentos (10.12):
Los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando:
u 1 2
k M 34 12 r M
A
Ec. (10-7)
donde (^) [ 34 − 12M / M 1 2 ]≤ 40. El término M / M 1 2 es positivo si la columna se deforma con curvatura simple, y negativo si el elemento se deforma con curvatura doble.
Si es necesario considerar los efectos de la esbeltez, determinar Mc para cada combinación de cargas:
Mc = δns M 2 Ec. (10-8)
donde
M 2 = valor mayor entre Mu,inf y Mu,sup
≥ Pu (^) ( 0, 6 + 0, 03h) 10.12.3.
m ns u c
C
P
0, 75P
δ = ≥ −
Ec. (10-9)
( )
2 c (^2) u
EI
P
k
π
A
Ec. (10-10)
( (^) c g s se)
d
0, 2E I E I
EI
Ec. (10-11)
o bien
c g d
0, 4E I
EI
Ec. (10-12)
d
Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de cargas
β = 10.
1 m 2
M
C 0, 6 0, 4 0, 4
M
(sin cargas transversales) Ec. (10-13)
= 1,0 (con cargas transversales)
El factor de longitud efectiva se deberá tomar igual a 1,0 o bien se deberá determinar mediante análisis (por ejemplo, usando el nomograma o las ecuaciones dadas en R10.12). En este último caso, k se deberá basar en los valores de E e I usados en 10.11. (ver 10.12.1).
- Determinar las combinaciones de cargas mayoradas.
a. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas)
Todos los momentos (Mu,inf )ns y (Mu,sup ) (^) ns en la parte inferior y superior de la columna, respectivamente, se deben determinar usando un análisis de pórtico elástico de primer orden, en base a las propiedades de la sección fisurada de los elementos.
Los momentos M 1 y M 2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos (Mu,inf )ns y (Mu,sup ) (^) ns, respectivamente. Los momentos M1ns y M2ns son los momentos mayorados en los extremos correspondientes a los extremos en los cuales actúan M 1 y M 2 , respectivamente.
b. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas) más cargas de viento
Los momentos totales en la parte superior e inferior de la columna son Mu,sup = (Mu,sup ) (^) ns + (Mu,sup ) (^) s y Mu,inf = (Mu,inf ) (^) ns + (Mu,inf ) (^) s, respectivamente. Los momentos M 1 y M 2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos Mu,sup y Mu,inf , respectivamente. Observar que en esta etapa M 1 y M 2 no incluyen los efectos de la esbeltez. Los momentos M1ns y M1s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actúan en el extremo de la columna donde actúa M1, mientras que M2ns y M2s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actúan en el extremo de la columna donde actúa M2.
c. Cargas gravitatorias (permanentes) más cargas de viento
Para esta combinación de cargas los momentos se definen como se especifica en el punto 1(b).
d. En las combinaciones de cargas especificadas en los puntos 1(b) y 1(c) anteriores se deben considerar los efectos que se producen cuando las cargas de viento actúan en la dirección de análisis inicial y en la opuesta.
o bien
c g d
0, 4E I
EI
Ec. (10-12)
El factor de longitud efectiva, k, debe ser mayor que 1,0 y se debe basar en los valores de E e I indicados en 10.11.1. (ver 10.13.1).
- Determinar si el máximo momento ocurre en los extremos de la columna o en un punto ubicado entre los extremos (10.13.5). Si
u u c g
r (^) P f ' A
A
Ec. (10-19)
la columna se debe diseñar para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc , siendo
M (^) c = δns M 2
m (^) ( (^) 2ns s 2s) u c
C
M M
P
0, 75P
= ^ + δ −
En este caso, k se determina de acuerdo con los requisitos de 10.12.1 y δns ≥ 1,0.
- Verificar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral bajo cargas gravitatorias (10.13.6):
a. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.1:
Deformaciones laterales de segundo orden 2, Deformaciones laterales de primer orden
en base a una carga de 1,4PD y 1,7P (^) L más la carga horizontal.
b. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.2:
u o u c
P
Q 0, 60
V
= ∑^ ≤ A
en base a una carga de 1,4PD y 1,7P (^) L más la carga horizontal.
c. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.3:
0 < δs ≤2,
donde δs se calcula usando ∑P (^) u y ∑P (^) c correspondientes a una carga de 1,4PD y 1,7P (^) L.
En los tres casos βd se deberá tomar como:
d
Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada
β =
La referencia 11.1 contiene el desarrollo de las ecuaciones de diseño para los requisitos de esbeltez presentados en esta sección.
REFERENCIA
11.1 MacGregor, J. G., "Design of Slender Concrete Columns – Revisited," ACI Structural Journal , V. 90, No. 3, Mayo-Junio 1993, pp. 302-309.
