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Problemas de Matemática Discreta Emilio Bujalance José A. Bujalance Antonio F. Costa Ernesto Martínez U.N.E.D. SANZ Y TORRES Introducción Es éste un libro de problemas pensado y elaborado para servir de complemento al de “Elementos de Matemática Discreta” de los autores. Aquí, el lector puede encontrar la solución de los problemas propuestos en el libro citado más otros nuevos, que pueden ayudarle a profundizar en la materia y comprobar su grado de dominio de la misma. La resolución de ejercicios es quizás la tarea más importante en el estudio de cualquier disciplina matemática. El método de estudio recomendado para conseguir el mejor resultado es el siguiente: - en primer lugar, lea cuidadosamente el enunciado del problema, - trate de resolverlo sin leer la solución, - sí consigue resolverlo sin ayuda, ¡enhorabuena!, quiere decir que comienza a dominar el tema. De todos modos, lea la solución del ejercicio, pues puede ser que descubra dificultades que pasó por alto en su resolución, - sí no es capaz de encontrar la solución, comience a leer la solución escrita en el texto y según se ofrecen indicaciones intente acabar de resolver el problema sin leer el resto. Todos los problemas están completamente resueltos. Los grados de dificultad son variados, desde cuestiones de sencillo planteamiento hasta otras que requieren mayor esfuerzo de comprensión teórica de los principios básicos. Los destinatarios de este libro son, principalmente, los alumnos de Indice - puna Sl: 2 EI E Teoría Elemental de Números 1.- Algoritmos de División y Euclides 1 2.- Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética 15 3.- El Principio de Inducción 25 4.- Ecuaciones Diofánticas 35 5.- Congruencias 49 6.-Sistemas de Numeración y Criterios de Divisibilidad 63 Introducción a la Teoría de Grafos 7.- Grafos, Digrafos y Multigratos 73 8.- Grafos eulerianos y hamiltonianos 85 9.- Exploración de Grafos 105 10.- Mapas y Coloraciones 123 Métodos Combinatorios 11.- Técnicas básicas 143 vii Índice General 12.- Permutaciones, Variaciones y Combinaciones 153 13.- Teorema del Binomio 171 14.- Principio de Inclusión-Exclusión 185 15.- Recursividad y Relaciones Reccurrentes 195. vit Problemas de Matemática Discreta b=(b-a)+a, entonces IbI-tal 0 Ibl-lal=11b1-1lall 0, entonces existen enteros q y r únicos tales que a=bq+r donde 2b 1, pruébese que GO sun entero. Solución Por el Algoritmo de División todo número n se puede escribir de la forma n=6q +r con 0 1 y a” Ib” entonces al b. Solución Sea d = m.c.d.(a, b), entonces a=d.q y b=d.q', con m.c.d.(q, q) =1. Como al 1bF, se tiene que 12 Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética GRO . EN Problema 1 Estúdiese a) Si para cada m entero 2m y 4m +3 son primos entre sí. b) Si para cada m entero 2m + 1 y 3m +2 son primos entre sí. Solución a) 2m y 4m + 3 no siempre son primos entre sí ya que si m=3, 6 y 15 no son primos entre sí. b) Puesto que E3i2m+ 1) +23m+2)=1, entonces 2m +1 y 3m +2 son primos entre sí. AAA Rc Problema 2 Supóngase que al aplicar el Algoritmo de Euclides para encontrar el m.c.d.(a, b), se obtiene que uno de los restos r, es primo. Demuéstrese que m.c.d.(a,b)=r,; Ó m.c.d.(a,b)=1. Solución Si al aplicar el Algoritmo de Euclides se encuentra que 15 
