Llista d'exercicis 1, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Llista d'exercicis 1 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Matem`atiques per Economistes I

Llista de problemes

I. An`alisi d’una variable

Departament d’Economia i d’Historia Economica

1 Introducci´o.

1.1 a) Demostreu que √ 2 6 ∈ Q. b) Suposeu que no conegu´essiu quina quantitat es´ π, ´es a dir no sab´essiu que π = 3. 14159 .... Com far´ıeu per obtenir-ne una aproximaci´o. 1.2 Trobeu el conjunt de nombres reals soluci´o de cada una de les seg¨uents equa- cions o inequacions:

a) 3x − 4 > 0 b) (x + 1)(x − 3) > 0 c) 5x + 9 < 0 d) (^) xx 2 + 1 (^) − 4 < 0 e) − 4 x + 3 > 0 f ) |x^2 − 1 | ≤ 1 g)^35 x + 6 > 2 h)^1 x + (^1) −^1 x > 0 i) 3x − 5 > 6 x − 7 j) (x − π)(x + 5)(x − 3) > 0 k) 8x − 1 < 9 x + 3 l) (x − 21 /^3 )(x − 21 /^2 ) > 0 m) 2x^2 − 7 x + 6 ≤ 0 n) 3x^2 + 2x − 1 < 0 o) (^) x 2 −x 1 > (^) x + 7x p) 3x^2 + 26x ≥ 9 q) (^2) −x 4 x ≤ (^56)

1.3 Sigui I = (a, b) un interval obert. Trobeu els valors de x 0 i r per tal que I = B(x 0 , r). 1.4 Siguin x, y, z ∈ IR. Verificar

a) |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualtat triangular) b) |x| · |y| = |x · y| c) ||x| − |y|| ≤ |x − y| d) Usant (a) demostreu que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

1.8 Determineu si les seg¨uents proposicions s´on certes o falses donant una pro- va rigurosa o un contraexemple segons correspongui. Els conjunts A i B representan conjunts qualsevol d’un cert espai.

A ∪ B = A ∪ C =⇒ B = C (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc^ (on el superindex c vol dir complementari) (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc

1.9 Siguin A = { 2 n/n ∈ N}, B = { 2 n + 1/n ∈ N}, C = {n^2 /n ∈ N}. Troba els elements que formen els seg¨uents conjunts: a)A ∪ B b)A ∩ B c)Ac^ ∪ C d)(A ∪ C)c e)(B ∩ C)c

1.10 Usant la definici´o de conjunt acotat superiorment i inferior, classifiqueu els seg¨uents conjunts en acotats (especificant si ho estan superiorment o inferior) i no acotats. Digueu tamb´e si s´on oberts o tancats.

a)A = B(0, 1010 ) b)B = Z c)C = {x ∈ IR tal que x = n

n + 1 per algun^ n^ ∈^ N} d)D = {x ∈ IR tal que x = 1/n per algun n ∈ N} e)G = A ∩ B

1.11 Sigui A ⊂ IR. Diem que x 0 ∈ A ´es un punt a¨ıllat de A si existeix una bola B(x 0 , r) complint que B(x 0 , r) \ {x 0 } ∩ A = ∅. Demostreu que el conjunt Z ⊂ IR t´e tots els seus punts a¨ıllats.

1.12 Sigui A ⊂ IR. Diem que x 0 ∈ IR ´es un punt d’acumulaci´o de A si per tot radi r l’entorn B(x 0 , r) compleix que B(x 0 , r) \ {x 0 } ∩ A 6 = ∅. Demostreu que x 0 = 0 ´es un punt d’acumulaci´o del conjunt A = {x ∈ R t.q. x = 1 /n per algun n ∈ N}.

2 Funci´o real de variable real

2.1 Calculeu el domini de les seg¨uents funcions: a) f (x) = x^2 − 1 b) f (x) = x

(^3) − x x c) f (x) = e

x x^2 + x + 1 d)^ f^ (x) = tan^ x e) f (x) =

1 − x^2 f ) f (x) = √ 1 − x + √x − 2 g) f (x) = ln(^1 −^ x

2 √ 1 − x 2 )^ h) f (x) =

e^1 /x, si x < 0 ln x, si x ≥ 0 i) f (x) =

1 − x^2 j) f (x) = ex−ln^ x k) f (x) = ln

x^2 − 1 l) f (x) = √cos x m) f (x) =

x + 1 x − 1 2.2 Considerem les seg¨uents funcions, f (x) = x^2 g(x) = ex^ h(x) = ln x k(x) = tan x a) Creieu que podem prendre qualsevol permutaci´o d’elles i considerar la composici´o? estara sempre ben definit? b) Es cert que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) almenys en els punts on t´e sentit fer ambdues composicions? Es generalitzable aquest fet a altres com- posicions arbitraries de funcions? c) Calculeu les expressions expl´ıcites de (h ◦ f ◦ f )(x), (g ◦ k)(x), (k ◦ f ◦ g)(x). d) Expresseu les funcions l 1 (x) = ex^2 i l 2 (x) = tan(ln x^2 ) com a composici´o d’algunes de les funcions f , g, h, k.

2.6 Sigui g(x) = x^2 i sigui

h(x) =

0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ I = IR \ Q.

1. Per quins n´umeros reals y es compleix h(y) ≤ y?
2. Per quins n´umeros reals y es compleix h(y) ≤ g(y)?
3. Quina funci´o ´es g(h(y)) − h(y)? 2.7 Sigui r una recta de pendent m i p un punt exterior a r.
4. Comproveu de manera gr`afica que hi ha infinites rectes perpendiculars a r. Quantes d’aquestes passen per p?
5. ´es conegut que totes les rectes perpendiculars a r tenen una propietat com´u; tenir pendent − m^1. Usant aquesta propietat constru¨ıu un metode per calcular la distancia entre el punt (1, 1) i la recta x + y = 0. 2.8 Considereu la grafica de la funci´o f (x) = x^3. Usant aixo doneu la grafica de les seg¨uents funcions: (c ´es un n´umero real que pot ser,obviament positiu, negatiu o zero. Considereu els diferents casos)

a) g(x) = f (x) + c b) g(x) = f (x + c) c) g(x) = cf (x) d) g(x) = (^) f (^1 x) e) g(x) = f ( x^1 ) f ) g(x) = f (|x|) g) g(x) = |f (x)| h) g(x) = max{f, 0 } i) g(x) = min{f, 0 }

2.9 Feu el mateix que el problema anterior per a la funci´o f (x) = ex.

2.10 Considereu totes les diferents funcions obtingudes en els dos problemes precedents. Obtingueu, mitjanant el coneixement que teniu de la grafica de totes elles, els maxims i m´ınims locals i globals tant en la recta real IR com en l’interval [− 1 , 1].

2.11 D’entre totes les relacions-funcions que un pot descriure entre el conjunt IR i si mateix, n’hi ha algunes que s´on privilegiades per la seva importancia. La majoria es poden expressar per f´ormules algebraiques senzilles i cal saber reconeixer-les i dibuixar-les graficament sense necessitat de grans calculs (dir´ıem que cal coneixer-les per _cultura matematica)_. Fonamentalment aque- stes s´on: polinomis de grau 1 (rectes) i 2 (paraboles), exponencials i log- ar´ıtmes. Aix´ı doncs, feu un esboc¸ de les seg¨uents funcions amb el m´ınim de calculs possibles.

a) f (x) = 4x + 3 b) f (x) = − 3 x − 1 c) f (x) = 4x^2 d) f (x) = x^2 − 1 e) f (x) = ln x f ) f (x) = ex g) f (x) =^1 x h) f (x) = (^) x^12 i) f (x) = √x

2.12 Penseu sobre el concepte de funci´o sense prejudicis matematics (´es a dir, una funci´o ´es una correspondencia entre dos conjunts de tal manera que cada element del conjunt de sortida t´e, com a maxim, una imatge en el conjunt d’arribada) i doneu exemples de funcions que descriguin fenomens de la naturaleza pero sense emprar, necessariament, la notaci´o matem`atica.

2.13 Concentrem ara la nostra atenci´o en la funci´o f (x) = ax + b, a, b ∈ IR. Observeu que la seva gr`afica sempre ´es una recta. Obtingueu els valors de a i b per tal que la recta compleixi cadascuna de les seg¨uents condicions: a) Sigui horitzontal i passi per l’origen de coordenades b) Tingui pendent 2 i passi pel punt (1,-1) c) Sigui horitzontal i passi pel punt (3,3) d) Passi per l’origen de coordenades i pel punt (1,-2) e) Passi pel punt (1,-2) i cada cop que augmenta una unitat la variable x tamb´e augmenta una unitat la variable y

3.5 Els problemes que precedeixen en aquest requereixen d’un domini m´es o menys acurat de la noci´o de l´ımit. Ara proposem un calcul molt m´es sis- tematic basat en “les regles”de calcul de l´ımits conegudes per vosaltres. No obstant, potser cal pensar una mica sobre el que fem per tal de reconeixer la noci´o de l´ımit dels problemes anteriors en aquestes “regles”m´es o menys misterioses (´es a dir, substituir x per x 0 quan fem limx→x 0 ). Calculeu, doncs, els l´ımits seg¨uents. a) lim x→ 1

1 − x −^

1 − x^3

b) (^) x→lim+∞^ x

(^2) − 5 x + 1 3 x + 7 c) (^) x→lim+∞^ (2x^ + 3)

(^3) (3x − 2) 2 x^5 + 5 d)^ xlim→−^1

x^2 − 1 x^2 + 3x + 2 e) (^) x→lim+∞

x^2 + 1 − √x f ) lim x→ 1 x

(^3) − 3 x + 2 x^4 − 4 x + 3 g) lim x→ 0 (1 + x)^1 /x^ h) lim x→ 0

( (^) x (^2) − 1 x + 3

i) (^) x→lim+∞^ x

2 10 + x√x j)^ x→lim+∞

√ 2 x + 1 − √ 2 x (^2) + x + 1

k) (^) x→lim+∞

( (^) x (^2) + 3 x^2 + 2

)x l) lim x→ 1 e x−^11 m) (^) xlim→∞(1 + x^1 )x^ n) (^) x→−∞lim ln x^2 o) (^) xlim→∞ sin x p) (^) xlim→∞ x sin x q) (^) xlim→∞^ x

2 x − 1 r)^ xlim→∞

x^2 − 3 x^6 + 2x s) (^) xlim→∞

√x − x + 1 √x + x − 1 t) lim x→ 0

sin^2 x −^

x^2

u) lim x→ (^0) x^1 (ex^ − 1) v) lim x→ 0

( (^) sin x x

w) (^) xlim→∞^2 x

(^2) − 3 x − 4 √x (^4) + 1 x) (^) xlim→∞

( (^) x + 2 2 x + 1

) x 22

y) lim x→ 0 x^2 cos

(x (^2) + 2 x

z) (^) xlim→∞^3 x

(^3) − 2 x (^2) + x − 6 2 x^2 + 3x + 5 aa) (^) xlim→∞^3 x

x^2 − 3 x + 4 bb) lim^ x→^2

x^2 − 4 x^2 − 3 x + 2

3.6 Considereu la funci´o, h(x) =

0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ IR \ Q Calculeu, si existeixen, els l´ımits seg¨uents: a) lim x→ 0 h(x) b) lim x→ 1 h(x) c) (^) xlim→∞ h(x) 3.8 El calcul de l´ımits de funcions de IR en IR permet descriure el l´ımit de una funci´o en un punt x 0 usant els l´ımits laterals. La idea que hi ha darrera no ´es altra que tenir present a l’hora de calcular el l´ımit si m’estic acostant per valors m´es grans o m´es petits que x 0 (suposem x → x 0 ). L’interes de fer l´ımits laterals ´es l’estudi de la continu¨ıtat de una funci´o en un punt com veurem m´es endavant. Calculeu, doncs, els l´ımits laterals seg¨uents: a) (^) xlim→ 1 + x −^1 1 b) (^) xlim→ 0 − 1 +^1 e 1 /x c) (^) xlim→ 0 + 1 +^1 e 1 /x d) (^) xlim→ 0 − |x| e) (^) xlim→ 2 −^ |x^ − x 2 | f ) (^) xlim→ 0 −^ x^ sin |x|^ x g) (^) xlim→ 0 − x^12 h) (^) xlim→ 0 + ln x i) (^) xlim→ 0 + |x|

j) (^) xlim→ 0 + f (x) on f (x) =

ln(x^2 + 1), si x < 0 1 + x, si x ≥ 0 3.9 Considereu les funcions f (x) =

x, x ≤ 0 ln(x^2 + 1), x > 0 g(x) =

|x| x ≤ − 1 e−x, x > − 1 Obtingueu els seg¨uents l´ımits laterals: a) (^) xlim→ 0 + f (x) b) (^) x→−lim 1 − g(x) c) (^) xlim→ 0 +(f (x) − g(x))

3.10 Raoneu si s´on certes o no les seg¨uents implicacions:

a) lim x→a f (x) = l =⇒ f (a) = l b) f (a) = l =⇒ (^) xlim→a f (x) = l

3.13 Sigui h(x) = f (x) + g(x). Raoneu si s´on certes o no les seg¨uents implica- cions: a) Si h(x) ´es cont´ınua =⇒ f (x) i g(x) s´on cont´ınues b) Si h(x) ´es cont´ınua i g(x) tamb´e ´es cont´ınua =⇒ f (x) cont´ınua

3.14 Vegeu per a quins valors dels par`ametres a, b les seg¨uents funcions s´on cont´ınues (cal que imposeu que els dos l´ımits laterals coincideixin amb el valor de la funci´o en el punt conflictiu): a) f (x) =

{ (^) x (^2) − 4 x− 2 ,^ si^ x^6 = 2 a, si x = 2 b)^ f^ (x) =

ax^2 + 1, si x ≤ 1 a, si x > 1

c) f (x) =

ex, si x ≤ 0 ax + b, si x ∈ (0, 1] ln(bx), si x > 1

d) f (x) =

sin (^ πx a^ )^ , si x ≤ 0 , a 6 = 0 x − a, si x ∈ (1, 2) e x−^2 a, si x ≥ 2 e) f (x) =

ln(x + a), si x ∈ (0, 1) bx + a, si x ≥ 1 f^ )^ f^ (x) =

ex^2 +ab, si x ≤ 1 x^2 + ab, si x > 1

g) f (x) =

a, si x < − 2 x^2 − b, si − 2 ≤ x ≤ 1 ax + b, si x ≥ 1

h) f (x) =

ln(x + 1) + a, si x ∈ [− 1 , 1] ex^ + 2bx^2 , si 1 < x < 2 sin πx + (a + 1)x, si x ≥ 2 i) f (x) =

x √^2 + ax + b, si x ≤ 0 x + ab, si x > 0 , a, b > 0

3.15 Definim la funci´o signe, sgn(x), de la seg¨uent forma:

f (x) =

− 1 , si x < 0 0 , si x = 0 1 , si x > 0. Estudieu la continu¨ıtat de les seg¨uents funcions: a) f (x) = sgn(x) b) f (x) = x sgn(x)

3.16 Doneu un exemple d’una funci´o f que no sigui cont´ınua en cap punt, per`o tal que |f | sigui cont´ınua en tots els punts.

3.17 Si una funci´o ´es cont´ınua en [0, 1] i nom´es pren valors racionals, de quin tipus de funci´o es tracta?

3.18 Estudieu les seg¨uents afirmacions decidint si s´on certes o falses. Cas que siguin certes digueu quin argument feu servir i cas que siguin falses doneu un contraexemple. a) Tota funci´o cont´ınua en un interval obert ´es acotada. b) Si f ´es una funci´o cont´ınua en un interval obert (a, b) llavors ∃x 0 ∈ (a, b) tal que f (x 0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ (a, b) c) Sigui f una funci´o cont´ınua en l’interval tancat [2, 3]. Suposem que f (2) = 7 i f (3) = 9. Llavors ∃x 0 ∈ (2, 3) amb f (x 0 ) = 8 d) Suposem que f ´es una funci´o cont´ınua a IR i que f (0) = 0. Llavors ∃x 0 ∈ IR i x 1 ∈ IR tal que f (x 0 ) < 0 i f (x 1 ) > 0.

3.19 Considerem la funci´o que a cada x real li fa correspondre el m´es gran enter que ´es m´es petit que ell. Es denota per f (x) = [x] i es denomina part entera de x. Per exemple: f (√2) = [√2] = 1 i f (− 4 .5) = [− 4 .5] = − 5. a) Doneu la gr`afica de la funci´o. b) Doneu els punts de discontinu¨ıtat i digueu de quin tipus s´on. En els punts de discontinu¨ıtat quin dels l´ımits laterals coincideix amb la imatge de la funci´o en el punt? c) Feu els dos apartats anteriors amb les funcions f (x) = x−[x] i f (x) = 1 ( (^1) x ).

3.20 Demostreu que les seg¨uents funcions tenen una arrel (´es a dir, f (x 0 ) = 0) en els intervals que s’indican

a) f (x) = ex^ − (x + 2) en [0, 10] b) f (x) = cosx − x^2 en [0, 2 π]

3.27 ( Dif´ıcil ) Demostreu que no hi ha cap funci´o cont´ınua f : IR → IR que prengui exactament dos vegades cada valor. Ind: Per comenc¸ar f´eu un dibuix.

3.28 ( Dif´ıcil ) Sigui f : [0, 1] → [0, 1] cont´ınua. Suposem que per algun z ∈ [0, 1] es compleix que f (f (z)) = z (´es a dir que hi ha un punt 2-periodic). Demostreu que llavors existeix c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c (´es a dir, hi ha un punt 1-periodic) Obs: De fet perque_ z _sigui 2-periodic ´es necessari que f (z) 6 = z ja que sino seria 1-periodic. El periode ´es la m´ınima iteraci´o que “torna el punt a ell mateix”.

3.29 ( Dif´ıcil ) Sigui f una funci´o cont´ınua en un interval I ∈ IR i siguin x 1... xn punts de I. Demostreu que existeix un c ∈ I tal que f (c) = f^ (x^1 ) +^ · · · n +^ f^ (xn).

3.30 Useu el resultat de l’exercici 3.29 per demostrar que si un cotxe recorre 100 Kil´ometres en 50 minuts llavors hi ha un minut en el que ha recorregut 2 Kil`ometres.

3.31 Demostreu que P (x) = 2x^4 − 14 x^2 + 14x − 1 t´e quatre arrels reals. Trobeu amb un error m´es petit que 10 −^1 l’arrel de valor absolut m´es gran Obs: De fet aquest polinomi nom´es t´e aquestes quatre arrels que heu trobat ja que, com provarem m´es endevant, un polinomi de grau n com a m`axim t´e n arrels.

4 Derivabilitat

4.1 Calculeu per mitj`a de la definici´o la derivada de les seg¨uents funcions en un punt x 0.

a) f (x) = xn^ b) f (x) = x^2 + 1 c) f (x) = 2x^2 − x + 1 d) f (x) = ln x

4.2 Demostreu les seg¨uents igualtats: a) (^) xlim→x 0 f^

(^2) (x) − f 2 (x 0 ) (x − x 0 ) = 2f^ (x^0 )f^

′(x 0 )

b)

f (x 0 )

= − f^

′(x 0 ) f 2 (x 0 ) 4.3 Demostreu que si f i g s´on funcions derivables en x 0 llavors es compleix que f g ´es derivable en x 0 i que la derivada ´es (f g)′(x 0 ) = f ′(x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g′(x 0 ) 4.4 Demostreu que tota funci´o derivable en un punt ´es tamb´e cont´ınua en aquest punt. Es cert el rec´ıproc? 4.5 Constru¨ıu un exemple d’una funci´o cont´ınua a tot IR i derivable nom´es en el conjunt {IR \ {a 1 ,... , an}} 4.6 Sigui f una funci´o cont´ınua en x 0 = 0. Considerem la funci´o g(x) = xf (x). Demostreu que g es derivable en´ x 0 = 0 i busqueu g′(0) 4.7 La noci´o de derivada en un punt es pot interpretar geom`etricament com el pendent de la recta tangent en el punt. Usant aquest fet calculeu l’equaci´o de la recta tangent a les seg¨uents funcions en els punts que s’indiquen. a) f (x) = ln(x^2 + 1) en el punt x 0 = 0 b) f (x) = 3 en el punt x 0 = 1 c) f (x) = sin(cos^2 (x)) cos(sin^2 (x)) en el punt x 0 = π

4.12 Considerem la funci´o

f (x) =

5 x^2 − 10 x, si − 2 ≤ x < 0 4 ex^ + k, si 0 ≤ x ≤ 2 Calcular el valor de k per tal que la funci´o sigui cont´ınua. Calcular per aquest valor de k la funci´o f ′(x). Es continua en qualsevol punt?

4.13 Estudieu la continu¨ıtat i la derivabilitat de les seg¨uents funcions en els punts que s’indiquen (per les funcions definides a trossos considereu el punt on connecten ambdues expressions algebraiques).

a) f (x) = | ln(x)| en x 0 = 1 b) f (x) = |x x| en x 0 = 1

c) En x 0 = 0, f (x) =

x^2 sin(1/x), si x 6 = 0 0 , si x = 0 d) En x 0 = 0, f (x) =

ex, si x ≤ 0 1 , si x > 0 e) En x 0 = 1/ 2 , i segons els valors del par`ametre α f (x) =

x^2 + α, si x < 1 / 2 sin(x − π 2 ), si x ≥ 1 / 2

4.14 Considerem la funci´o

f (x) =

ex+a, si x ≤ − 1 x(x − 1) + b, si − 1 < x < 1 x^ c ,^ si^ x^ ≥^1. Estudieu la continu¨ıtat i la derivabilitat en els punts x 0 = − 1 i x 1 = 1 segons els valors dels par`ametres a, b, c.

4.15 Sigui h(x) tal que h(0) = 0 i h′(x) = cos(3x). Calculeu (f ◦ h)′(0).

4.16 Calculeu la funci´o derivada de les seg¨uents funcions:

a) f (x) = (x^2 + 1)cos^ x b) f (x) = ( tan ex^ x)^1 /^3

4.17 Fins aquest moment hem considerat la derivada com aquell n´umero al qual tendeixen els quocients incrementals, per tant ha estat considerada com una realitat local o “puntual”. No obstant aix`o, tothom ha sentit a parlar que la derivada de f (x) = x^2 ´es f ′(x) = 2x. s a dir, a cada funci´o (derivable) li fem correspondre una funci´o derivada. Cal pensar doncs que la funci´o derivada, f ′(x), ´es aquella funci´o que en cada punt x 0 pren el valor de la derivada de la funci´o f (x) en aquest punt. Equivalentment f ′(x)|x=x 0 = f ′(x 0 ). Calculeu la funci´o derivada (´es a dir, f ′(x) per les seg¨uents funcions usant les regles conegudes de derivaci´o) en els punts on aquesta existeix. a) f (x) = xn, n ∈ N b) f (x) = ln x c) f (x) = ex d) f (x) = sin x e) f (x) = ln x^2 f ) f (x) = exex g) f (x) = sin(cos x) h) f (x) = xx^ i) f (x) =

ln x

4.18 El seg¨uent resultat ´es conegut amb el nom de Teorema de Rolle: Sigui f _una funci´o cont´ınua en un interval tancat [a,b] i derivable en l’obert (a,b) que satisfa_ f (a) = f (b). _Llavors existeix un_ c ∈ (a, b) _tal que_ f ′(c) = 0. Useu aquest resultat per contestar els seg¨uents apartats a) Demostreu que l’equaci´o xn^ + xn−^1 + · · · + x = 1, n ∈ N t´e una **unica ´** arrel positiva b) Sigui f : [0, 1] → [0, 1] derivable i complint que f ′(x) > 0 ∀x ∈ (0, 1). Suposem a m´es que f (0) > 0 i f (1) < 1. Llavors existeix un **unic ´** c ∈ (0, 1) tal que f (c) = c c) Trobeu una funci´o f definida en [0, 1] que sense verificar les hipotesis del Teorema de Rolle satisfaci f ′(c) = 0 per a algun c ∈ (0, 1)

4.19 Considereu les funcions f (y) = y(1 − y), y(x) = √x i h(x) = f (y(x)). Utilitzeu (expl´ıcitament) la regla de la cadena per trobar els valors de x per als quals la funci´o h(x) ´es creixent i c`oncava

4.20 Considereu la funci´o f (x) = |x − 3 |. Verifica f el Teorema del valor mitj`a en l’interval [0, 5]?