¡Descarga Llista de problemes. y más Ejercicios en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!
Problemes d’Electromagnetisme. Full 1
1.1. Demostreu que ∇ ·~ (∇ ∧~ ~a) = 0 i que ∇ ∧~ ∇~f = 0.
1.2. Si ~r ´es el vector de posici´o d’un punt respecte de l’origen de coordenades i A~ un vector constant, demostreu que ∇~( A~ · ~r) = A~.
1.3. El vector R~ = ~r − ~r 1 es dirigeix del punt P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) al P (x, y, z). Si el punt P 1 ´es fix i P variable demostreu que el gradient de 1/R val
∇^ ~ 1
|~r − ~r 1 |
~r − ~r 1 |~r − ~r 1 |^3
R~
R^3
Si el punt P ´es fix i P 1 variable demostreu que el gradient de 1/R val
∇^ ~ 1 1
|~r − ~r 1 |
~r − ~r 1 |~r − ~r 1 |^3
R~
R^3
1.4. La for¸ca sobre una part´ıcula que segueix una traject`oria el·l´ıptica 4x^2 + y^2 = 16, ´es
f^ ~ = xy ~ex + x^2 ~ey + y^2 ~ez
Calculeu l’energia adquirida per la part´ıcula al rec´orrer la traject`oria entre les punts (2, 0 , 0) i (0, 4 , 0), amb x ≥ 0.
1.5. Avalueu ∫ 2 y ~ex · ~n ds
sobre la superf´ıcie d’un cub de costat a centrat en la posici´o (a/ 2 , a/ 2 , a/2)
1.6. Demostreu que ∇ ·~ ~r = 3 i calculeu quant val el flux de ~r a trav´es d’una superf´ıcie esf`erica de radi R.
1.7. Un fluid gira al voltant de l’eix z. Si la velocitat angular ω ´es constant, trobeu el valor del rotacional de ~v. Quin ser`a el valor de ∇ ∧~ ~v si ω = K/ρ^2 (K ´es una constant)?
1.8. Sigui una circumfer`encia de radi R centrada en l’origen i en el pla z = 0. Calculeu la integral de l´ınia del gradient de la funci´o (expressada en coordenades cil´ındriques)
f = ρ sin ϕ + 2ρ cos ϕ
en la l´ınia recta que va del punt (0, −R, 0) a (0, R, 0). Repetiu el calcul si el cam´ı ´es la semicircum- ferencia amb x > 0 que uneix el mateixos punts.
1.9. Siguin els camps vectorials
A^ ~ 1 (x, y, z) = a~ex + b~ey + c~ez A^ ~ 2 (ρ, ϕ, z) = a~eρ + b~eϕ + c~ez A^ ~ 3 (r, θ, ϕ) = a~er + b~eθ + c~eϕ
on a, b i c s´on constants. S´on aquests camps vectorials constants en l’espai? Trobeu la diverg`encia i el rotacional de tots ells.
1.10. Demostreu que el diferencial de longitud en coordenades cil´ındriques es pot escriure
d~l = dρ ~eρ + ρ dϕ ~eϕ + dz ~ez
Amb l’ajuda d’aquesta expressi´o i tenint en compte que df = ∇~f · d~l, trobeu el gradient en coordenades cil´ındriques.
1.11. Considereu el camp vectorial A~ = −yz~ex + xz~ey + z^2 ~ez per a comprovar el teorema de la diverg`encia utilitzant el cilindre definit per les superf´ıcies
x^2 + y^2 = 4, z = 3, z = 0
Feu-ho en coordenades cartesianes i cil´ındriques. Si la base inferior estigu´es situada a z = −3, quin seria el flux d’ A~ a trav´es de la superf´ıcie del cilindre? Per qu`e?
1.12. Demostreu que el camp
F^ ~ (x, y, z) = (2xy + z^3 ) ~ex + x^2 ~ey + 3xz^2 ~ez
´es conservatiu. Quin ´es el potencial associat?
1.13. Demostreu que ∇~f ´es un vector perpendicular a la superf´ıcie f (x, y, z) = K, a on K ´es una constant.
Trobeu el vector perpendicular a la superf´ıcie x^2 + y^2 + z^2 = 9 (esfera) en el punt (2, − 1 , 2), i a la superf´ıcie z = x^2 + y^2 − 3 (paraboloide de revoluci´o) en el mateix punt. Calculeu l’angle que formen les dues superf´ıcies anteriors en el punt (2, − 1 , 2).
1.14. Amb la definici´o de diverg`encia
∇ ·^ ~ A~ ≡ lim ∆V → 0
∆V
S
A^ ~ · ~n ds
i fent la integral en un paral·lelep´ıpede diferencial fixat pels plans: x = x 0 ±dx, y = y 0 ±dy, z = z 0 ±dz, demostreu l’expressi´o de la diverg`encia d’un camp en el punt (x 0 , y 0 , z 0 ), en coordenades rectangulars.
1.15. Amb la definici´o de diverg`encia
∇ ·^ ~ A~ ≡ lim ∆V → 0
∆V
S
A^ ~ · ~n ds
i fent la integral en una superf´ıcie diferencial fixada per les superf´ıcies: ρ = ρ 0 ± dρ, ϕ = ϕ 0 ± dϕ, z = z 0 ± dz, demostreu l’expressi´o de la diverg`encia d’un camp en el punt (ρ 0 , ϕ 0 , z 0 ), en coordenades cil´ındriques.
1.16. Amb la definici´o de rotacional
(∇ ∧~ A~) · ~eϕ ≡ lim ∆S→ 0
∆S
C
A^ ~ · d~l
i fent la integral en el circuit tancat fixat per les 4 l´ınies: (r, θ 0 ± dθ, ϕ 0 ) i (r 0 ± dr, θ, ϕ 0 ), demostreu l’expressi´o de la component ~eϕ d’un camp en el punt (r 0 , θ 0 , ϕ 0 ), en coordenades esf`eriques.
1.17. Sigui la superf´ıcie donada pel tros de pla 2x + 3y + 6z = 12 situat en el primer octant (x, y i z positius).
(a) Trobeu els punts de tall del pla amb els eixos x, y i z. (b) Trobeu l’equaci´o de la recta que d´ona la intersecci´o amb el pla z = 0. (c) Calculeu el vector unitari (~n) perpendicular al pla. (d) Demostreu que un diferencial de superf´ıcie (ds) del pla es pot escriure
ds =
dx dy ~n · ~ez (e) Avalueu la integral del vector A~(x, y, z) = 6z~ex − 4 ~ey + y~ez sobre aquesta superf´ıcie ∫ A^ ~ · ~n ds
1.18. Trobeu el gradient de f (r, θ, ϕ) = Ar cos θ sin^2 ϕ, i comproveu si compleix l’equaci´o de Laplace (∇^2 f = 0).
2.7. Calculeu el camp el`ectric i el potencial que crea un pla infinit amb densitat superficial σ, constant:
(a) Utilitzant el teorema de Gauss. (b) Per integraci´o directa.
2.8. Calculeu el camp el`ectric a tot l’espai creat per dues plaques infinites paral·leles
(a) Si totes dues tenen la mateixa densitat de carrega σ constant. (b) Si les densitats de carrega de cada placa s´on σ i −σ respectivament.
2.9. Una l´ınia de carrega de longitud l i amb densitat λ = constant, esta sobre l’eix z amb els extrems en z = z 0 i z = z 0 + l. Demostreu que la for¸ca total exercida sobre tota la l´ınia per una distribuci´o de carrega esferica i uniforme centrada a l’origen i radi a < z 0 ´es
F^ ~ = λρa
(^3) l 3 0 z 0 (z 0 + l)
~ez
2.10. Calculeu E~ i φ creat per les seg¨uents distribucions de c`arrega en tots els punts de l’espai
(a) Esfera buida de radi a i densitat de c`arrega σ constant
Soluci´o: E~(r > a) =
σ 0
a^2 r^2
~er ; E~(r < a) = 0
φ(r > a) =
σ 0
a^2 r
; φ(r < a) =
σ 0
a
(b) Esfera de radi a i densitat vol´umica ρ = Kr^2
Soluci´o: E~(r > a) = K a^5 5 0 r^2
~er ; E~(r < a) = K r^3 5 0
~er
φ(r > a) = K a^5 5 0 r
; φ(r < a) =
K
a^4 − r^4 5
2.11. Considereu dos conductors cil´ındrics, coaxials i infinitament llargs, un de radi a i l’altre de radi b (b > a). El cilindre intern pot ser mass´ıs o buit, tant se val. Suposeu que el cilindre intern esta carregat amb una densitat superficial de c`arrega −σ i l’extern amb σ. Trobeu E~ a tot l’espai, mitjan¸cant el teorema de Gauss en coordenades cil´ındriques.
Soluci´o: E~(r < a) = 0; E~(a < r < b) =
−aσ 0 r
~er ; E~(r > b) =
σ(b − a) 0 r
~er
2.12. Una esfera de radi R 2 , amb densitat de carrega ρ constant, t´e una esfera buida de radi R 1 al seu interior. La distancia entre els centres ´es d. Calculeu el camp E~ dins l’esfera buida.
2.13. Un cub ´es un cos amb un alt grau de simetria. Es pot fer servir el teorema de Gauss per a trobar facilment el camp electric creat per una distribuci´o de c`arrega c´ubica uniforme? Escriviu la integral per la cara perpendicular a ~ex per a mostrar-ho expl´ıcitament.
2.14. Un pla infinit paral·lel al pla yz esta carregat uniformement amb una densitat de carrega σ. Recobrint la part dreta del pla hi ha una capa de gruix d carregada uniformement amb una densitat vol´umica ρ tamb´e uniforme. Trobeu el camp el`ectric i el potencial a tot l’espai, prenent com a origen de potencial el centre de la capa de gruix d.
2.15. Un disc de plastic de radi R t´e una carrega repartida uniformement en la seva superf´ıcie amb densitat superficial de carrega σ. Calculeu el camp electric en un punt de l’eix del disc que dista x del seu centre.
2.16. Dos fils rectilinis i uniformes separats una distancia d = 2a estan carregats amb una densitat de carrega constant, λ i −λ respectivament. Demostreu que el potencial en tots els punts de l’espai ´es
φ =
λ 2 π 0 ln
r 2 r 1
a on r 2 ´es la dist`ancia del punt a la l´ınia amb −λ i r 1 la corresponent a λ. Quines s´on les superf´ıcies equipotencials?
2.17. Calculeu el camp electric i la diferencia de potencial respecte del seu centre, [∆φ = φ(r) − φ(0)] d’un cilindre infinitament llarg de radi a i densitat de carrega ρ constant
Soluci´o: E~(r > a) = ρ
a^2 2 0 r
~er ; E~(r < a) = ρ
r 2 0
~er
∆φ(r > a) = −ρ
a^2 2 0
ln r + ρ
a^2 2 0
ln a −
; ∆φ(r < a) = −ρ
r^2 4 0
2.18. Una bombolla de sab´o de 10 cm de radi i un gruix de paret de 3. 3 × 10 −^6 cm es carrega mitjan¸cant un potencial de 100 V. Demostreu que si es desfa i cau com una gota esferica, el potencial de la gota ´es de 10000 V. (Nota: Considereu l’aigua sabonosa com una subst`ancia conductora).
2.19. Dues gotes id`entiques de mercuri es carreguen amb el mateix potencial φ 1. Trobeu el nou potencial si les dues gotes s’uneixen formant-ne una sola.
2.20. Calculeu el potencial, el camp electric, E~, i la capacitat per unitat de longitud d’un condensador format per dos cilindres concentrics de longitud infinita i de radis a i b (a > b).
2.21. Calculeu el potencial, el camp electric, E~, i la capacitat d’un condensador format per dues esferes concentriques de radis a i b (a > b).
2.22. Una esfera conductora de radi a esta connectada a terra. A una distancia d (d > a) del centre hi ha una carrega puntual q. Trobeu el valor i la posici´o de la carrega imatge. Calculeu la densitat superficial de c`arrega indu¨ıda sobre l’esfera.
2.23. Dos plans conductors connectats a terra, formen un angle de 90 graus, un esta en posici´o horitzontal i l’altre vertical. Considereu una carrega puntual a una distancia a una distancia a del pla horitzontal i a b del pla vertical. Trobeu el camp electric.
2.24. Connectem en paral·lel dos condensadors plans C 1 i C 2 que tenen la mateixa superf´ıcie S i, inicialment, la mateixa separaci´o entre plaques d. Carreguem tots dos a una diferencia de potencial V mitjan¸cant una bateria i despr´es desconnectem aquesta. Si mecanicament separem les plaques de C 1 fins una distancia 2d, com varia la diferencia de potencial entre les plaques?
2.25. Un esfera conductora buida de radi R = 1 metre cont´e una carrega en el centre de 10−^6 coulombs. Es connecta l’esfera a terra, quin ´es el potencial dins i fora de l’esfera? Si l’esfera es posa a un potencial de 20000 V, quina sera la carrega en la seva superf´ıcie? Trobeu l’energia electrica del sistema.
2.26. Un tub cil´ındric de radi a i longitud l esta carregat amb una densitat superficial uniforme σ. Si el tub esta centrat a l’origen i es fa coincidir el seu eix amb l’eix z,
(a) Calcula el camp el`ectric a l’eix z. (b) Com es modifica el resultat si s’afegeix un pla conductor infinit connectat al terra perpendicular a l’eix z situat a z = −l?
3.12. Disposem de dos condensadors plano-paral·lels identics de superf´ıcie S i separaci´o entre plaques d connectats en paral·lel. Una vegada carregats a una diferencia de potencial V 0 i desconnectats de la bateria es produeix una fractura en el dielectric d’un dels condensadors formant-se una fissura plana i paral·lela a les plaques amb un gruix d/100. Si la permitivitat relativa del dielectric situat entre les plaques ´es r = 100,
(a) Calculeu E~ abans i despr´es de la fractura en cada condensador. (b) Es pot detectat la fractura mesurant la difer`encia de potencial del sistema?
3.13. Dues plaques conductores infinites en les direccions y, z estan localitzades a x = −d i x = d. L’espai entre les plaques s’omple amb un diel`ectric que t´e una permitivitat depenent de l’espai com:
( (^) x d
La placa que esta a x = d es mant´e a una diferencia de potencial V 0 respecte de l’altra placa.
(a) Trobeu el camp electric i el potencial φ(x) entre les plaques. (b) Trobeu la polaritzaci´o P~ i la densitat de carrega de polaritzaci´o ρP.
Soluci´o:
Ex = Dx 4 0
[(
x d
]
; φ(x) = −Dxd 4 0
[
( (^) x d
x d
]
Px = Dx 4
[
( (^) x d
) 2 ]
; ρP = xDx 2 d^2
; on Dx = −
3 0 V 0
2 d
3.14. L’espai entre dos conductors cil´ındrics coaxials i posats horitzontalment, de longitud l = 25 cm s’omple fins a la meitat amb un l´ıquid dielectric de constant dielectrica relativa r = 8. Els cilindres tenen radis de 0.5 cm i 2 cm i estan connectats a una bateria de 100 V:
(a) Trobeu els camps E~ i D~ a la regi´o amb aire i a la que t´e dielectric. (b) Trobeu la densitat de carrega superficial indu¨ıda al conductor interior tant a punts adjacents a aire com a dielectric. (c) Trobeu la carrega total al conductor intern, i la capacitat del sistema.
Soluci´o:
E(r) =
K
r
; K ≡
ln 4 σaire = 0
0 .005 ln 4
; σdielectric = 8 0
0 .005 ln 4 Q = 9 0 π
ln
; C = 9 0 π
ln 4
3.15. En un condensador de plaques plano-paral·leles, amb un dielectric de permitivitat , suposem que una d’elles es separa del dielectric, quedant una capa de buit de 10−^4 d 0 , on d 0 ´es la separaci´o inicial. Calculeu quina ´es la permitivitat aparent del sistema amb la placa separada i trobeu el l´ımit quan:
(a) el dielectric t´e una permitivitat molt elevada, (b) el dielectric t´e una permitivitat petita.
3.16. L’espai entre les dues plaques d’un condensador pla s’omple amb un dielectric de permitivitat variable donada per = 0 (1 + αx), a on d ´es la separaci´o entre les plaques i x la distancia a la placa inferior. Calculeu
(a) La capacitat del condensador per unitat de superf´ıcie. (b) L’expressi´o de la polaritzaci´o. (c) Les densitats vol´umica i superficial de c`arrega lligada.
3.17. Un electr´o rapid (energia cinetica = 3. 0 × 10 −^17 J) entra en una regi´o de l’espai que cont´e un camp electric constant E = 1000 V/m. El camp ´es paral·lel al moviment de la part´ıcula i el seu sentit ´es tal que el desaccelera. Quina distancia recorrer`a l’electr´o abans d’aturar-se? (q = 1. 60 × 10 −^19 C)
3.18. Considereu una esfera, de radi R, amb una c`arrega Q distribu¨ıda uniformement en tot el seu volum.
(a) Calculeu la seva energia a partir de l’expressi´o: W = (^12)
ρφ dr^3. (b) Torneu a calcular l’energia, ara fent servir el camp el`ectric mitjan¸cant: W = (^12)
0 E^2 dr^3.
3.19. Un condensador ideal pla d’area S = ab i separaci´o entre plaques l es carrega amb una diferencia de potencial V 0 , i a continuaci´o s’a¨ılla.
(a) Calculeu l’energia emmagatzemada i la for¸ca exercida per una placa sobre l’altra. (b) Si entre les plaques s’introdueix una lamina metal·lica conductora no carregada, de gruix d, d’igual area que les plaques i paral·lela a elles: i. calculeu la for¸ca exercida en aquest cas sobre les plaques ii. determineu si la for¸ca sobre la lamina introdu¨ıda a la regi´o entre plaques ´es cap a dintre o cap a fora d’aquesta iii. esbrineu si hi ha for¸ca sobre la l`amina en direcci´o perpendicular a la mateixa.
3.20. Hi ha dues capes esferiques conductores concentriques, carregades i a¨ıllades. Si s’uneixen mitjan¸cant un fil conductor, comproveu que el sistema evoluciona a un estat de menor energia, i raoneu qu`e ha passat amb l’energia dissipada.
3.21. Sigui un condensador de plaques quadrades (de costat a), paral·leles i separades una distancia d a. Es carrega el condensador a una diferencia de potencial φ, es desconnecta de la bateria, i es posa damunt un l´ıquid dielectric (lineal, homogeni i isotrop) de permitivitat . El l´ıquid puja fins una altura h. Tot plegat est`a en un lloc a on l’acceleraci´o de la gravetat ´es g. Trobeu
(a) El camp electric dins el condensador. (b) L’energia electrostatica. (c) La densitat del l´ıquid (Ajuda: el guany d’energia potencial gravitatoria sera igual a la perdua d’energia electrostatica).
3.22. Hi ha dues superf´ıcies conductores planes, paral·leles, de grans dimensions i carregades amb unes densitats de carrega σ 1 = 2 nC/m^2 i σ 2 = −1 nC/m^2 , respectivament, que estan separades 2 cm. En la zona entre les dues superf´ıcies introdu¨ım una placa de dielectric, de 2 cm de gruix, fins a la meitat. La constant diel`ectric de la placa val 3. Calculeu:
a) El camp electric en l’espai entre les dues superf´ıcies. b) La diferencia de potencial entre les dues superf´ıcies. c) L’energia electrostatica emmagatzemada per unitat de volum entre les superf´ıcies, dins i fora del diel`ectric.
3.23. Considereu una carrega lliure Q en el centre d’una esfera de radi R, on la constant dielectrica varia com
= 0
r R
(a) Trobeu les expressions de E~, D~ i P~ per tot l’espai i representeu-les graficament en funci´o del radi. (b) Comproveu que el dielectric com a conjunt continua neutre. (c) Calculeu i representeu la funci´o potencial.
(c) demostreu que en la zona propera al punt mig de l’eix, la inducci´o magn`etica ´es gaireb´e constant.
4.12. Per una espira de 2 m de di`ametre situada sobre el pla horitzontal circula un corrent de 5/π A. Per un fil infinit situat en el mateix pla, a 1 m del centre de l’espira, passa un corrent de 5 A. Trobeu el valor de B~ al centre de l’espira.
4.13. Un solenoide de secci´o transversal circular de radi a t´e n voltes per unitat de longitud i condueix un corrent d’intensitat I. Si el solenoide ´es molt llarg, trobeu la inducci´o magn`etica axial.
4.14. Considereu una bobina finita de radi r i longitud l amb una densitat de voltes n voltes/m. En un dels seus extrems s’afegeixen N voltes molt juntes entre s´ı. Si considerem iguals el radi mig de la bobina i el de les espires,
(a) determineu quin ha de ser el n´umero de voltes afegit per a que la inducci´o magnetica sobre l’eix de revoluci´o a l’extrem de la bobina sigui dues vegades la del centre de la bobina en absencia de les N voltes suplement`aries (b) calculeu el n´umero d’espires en el cas en que l = 2r. Quin ´es el resultat en el l´ımit l r? (c) si la bobina t´e un radi d’1 cm, una longitud de 10 cm i 1000 voltes, quantes voltes hem d’afegir per a complir les condicions de l’apartat (a)?
4.15. Un camp magnetic B~ esta donat en coordenades cil´ındriques com
B^ ~ =
0 per a 0 < r < a
μ 0 I 2 πr
r^2 − a^2 b^2 − a^2
~eϕ per a a < r < b
μ 0 I 2 πr ~eϕ per a b < r
Trobeu la densitat de corrent J~ en tot l’espai. Com es podria produir una B~ d’aquesta forma?
4.16. Per un conductor llarg rectilini, de secci´o transversal circular de radi R, circula un corrent I. A l’interior del conductor existeix un espai buit cil´ındric, de radi a, amb el seu eix paral·lel al del conductor i amb el seu centre a una distancia b del centre del conductor. Trobeu el camp magnetic B~ a tot l’espai.
4.17. Si considereu una bobina de forma toro¨ıdal, quin sera el valor de la inducci´o magnetica que produeix en passar-hi un corrent el`ectric I?
4.18. Un solenoide de 15 cm de llargada esta bobinat amb dues capes de fil, cadascuna de 100 voltes. La primera capa t´e un radi de 2 cm i la segona 2.05 cm. Si per aquesta bobina passa un corrent de 3 A, trobeu la inducci´o magnetica en qualsevol punt de l’eix. Representeu la grafica de la inducci´o magnetica axial en funci´o de la dist`ancia al centre, fins a un dels extrems del solenoide.
4.19. Considereu un fil cil´ındric de radi a situat sobre l’eix z, pel que circula una densitat de corrent J~ = ra ~ez.
Trobeu, a tots els punts de l’espai, la inducci´o magn`etica B~ que crea aquest corrent.
4.20. Considereu el sistema format per un corrent I en la direcci´o positiva de l’eix z i un altre corrent paral·lel −I, ´es a dir, en la direcci´o negativa de l’eix z. Tots dos corrents estan separats per una dist`ancia 2a. Trobeu el potencial vector A~ a qualsevol punt de l’espai.
4.21. Per un quadrat de costat 2a i en el pla xy, circula un corrent I en el sentit antihorari. Trobeu el potencial vector A~ en tots els punts de dintre del quadrat. Quant val A~ al centre?
4.22. Una esfera de radi a cont´e una carrega total Q distribu¨ıda uniformement en el seu volum. L’esfera gira al voltant d’un dels seus diametres a velocitat angular constant ω. Trobeu el potencial vector A~ en qualsevol punt sobre l’eix de rotaci´o.
Problemes d’Electromagnetisme. Full 5
5.1. Un circuit pla que condueix un corrent I es construeix sobre el pla xy de la seg¨uent manera: comen¸cant a ϕ = 0, la distancia a l’origen ve donada per r = r 0 ϕn^ on r 0 ´es una constant i n > 1. Es forma aix´ı una espiral. Continuem el proc´es fins a un valor de l’angle azimutal ϕ 0. A partir d’aqu´ı es fa que el corrent segueixi una l´ınia recta que torna a l’origen. Trobeu el moment dipolar magnetic d’aquesta distribuci´o de corrent.
5.2. Un cilindre de radi a i longitud l cont´e una carrega Q distribu¨ıda uniformement en el seu volum. Fem girar el cilindre al voltant del seu eix a una velocitat angular constant ω. Suposeu que la distribuci´o de carrega no ´es afectada per la rotaci´o i trobeu el moment dipolar magn`etic d’aquest sistema.
5.3. Una esfera dielectrica de radi a t´e una densitat superficial de carrega σ =const. en tota la seva superf´ıcie. La fem girar al voltant d’un dels seus diametres a velocitat angular constant ω. Suposeu que la distribuci´o de carrega no es modifica amb la rotaci´o i trobeu el moment dipolar magn`etic de l’esfera.
5.4. Una esfera de radi R t´e una carrega Q repartida uniformement al llarg de la seva superf´ıcie. Si la semiesfera superior gira al voltant del diametre vertical amb velocitat angular ω 1 ~ez i la semiesfera inferior gira amb velocitat angular −ω 2 ~ez al voltant del mateix di`ametre vertical, calculeu:
(a) El moment magnetic del sistema. (b) Com s’hauria de distribuir la carrega entre ambd´os hemisferis perque el moment magnetic del sistema fos 0?.
5.5. Considereu una espira rectangular plana de dimensions a, b en el pla yz, i amb vertexs a (0, ±a/ 2 , ±b/2). Es rota un angle ϕ al voltant de l’eix z, i s’hi fa circular un corrent I en sentit antihorari. L’espira esta sotmesa a un camp extern B~ 0 uniforme en la direcci´o x. Trobeu:
(a) El moment de torsi´o que s’hauria d’aplicar per a que l’espira no giri. (b) Considereu ara que l’espira esta en el pla yz i calculeu la inducci´o magnetica B~ en un punt de l’eix x. Feu-lo a partir del moment dipolar magnetic. (c) Repetiu l’apartat anterior pero calculant B~ a partir de la llei de Biot-Savart. D´ona el mateix resultat? Per qu`e?
5.6. Un anell de radi a centrat a l’origen i sobre el pla xy condueix un corrent I en sentit horari si es mira des d’un punt de l’eix z positiu. Un dipol puntual m~ = m ~ez est`a situat sobre l’eix z. Trobeu la component z de la for¸ca sobre m~.
5.7. Una esfera de radi a t´e una imantaci´o no uniforme donada per M~ = (α z^2 + β) ~ez , amb α i β constants. Trobeu les densitats de corrent d’imantaci´o J~M i K~M. Quines s´on les unitats de α i β?
5.8. Demostreu que els corrents d’imantaci´o no transfereixen carrega neta. (Pista: considereu la transferencia de c`arrega a trav´es d’un pla que talla un material imantat.)
5.9. Demostreu, a partir de J~M = ∇ ∧~ M~ , que la densitat superficial de corrent d’imantaci´o en un material magn`etic ´es K~M = M~ ∧ ~n.
5.10. Un cilindre de longitud l i radi a t´e el seu eix al llarg de la direcci´o ~ez i l’origen de coordenades al seu centre. Est`a imantat uniformement amb M~ = M ~ez. Trobeu:
(a) Els camps B~ i H~ en tots els punts de l’eix del cilindre. (b) A partir dels resultats anteriors calculeu B~ i H~ a l’interior d’un disc molt prim, ´es a dir, on l a.
5.11. Considereu un cable coaxial de radis a i b on a < b. Per l’interior del cilindre de radi a circula un corrent I uniformement distribu¨ıt i en la direcci´o de l’eix ~ez. En aquesta regi´o el material ´es diamagnetic amb susceptibilitat χm < 0 i homogeni, lineal i isotrop (h.l.i.). Per la capa exterior del cable circula un corrent igual i oposat a l’anterior. En la regi´o entre les capes externa i interna del cable el material ´es paramagn`etic (tamb´e h.l.i.), de susceptibilitat χ′ m.
(a) Calculeu H~, B~ i M~ en tot l’espai. (b) Verifiqueu les condicions de frontera per a cadascun dels camps anteriors i justifiqueu les discon- tinu¨ıtats trobades.
Problemes d’Electromagnetisme. Full 6
6.1. Un fil infinitament llarg que condueix un corrent I coincideix amb l’eix z. Una espira circular de radi a al pla xz, t´e el seu centre sobre l’eix x a una dist`ancia b de l’origen. Trobeu:
(a) El flux magn`etic que travessa l’espira. (b) Si ara l’espira es mou a velocitat constant ~v = v ~ex, calculeu la f.e.m indu¨ıda. Quina ´es el sentit del corrent indu¨ıt?
6.2. Per un conductor rectilini infinitament llarg, circula un corrent I = I 0 e−λt, amb I 0 i λ constants. En un pla que cont´e al conductor i a una dist`ancia d hi ha un altre conductor quadrat de costat a, i amb dos costats paral·lels al conductor infinit. Trobeu la f.e.m indu¨ıda al circuit quadrat i el sentit del corrent indu¨ıt.
6.3. Un disc conductor molt prim de radi a i conductivitat g esta situat al pla xy amb el seu centre a l’origen de coordenades. El disc esta sotm`es a una inducci´o uniforme en l’espai i donada per: B^ ~ = B 0 cos(wt + α) ~ez. Trobeu la densitat de corrent indu¨ıt al disc, J~.
6.4. Una barra metal·lica de longitud l gira a velocitat angular constant ω al voltant d’un eix que passa per un dels seus extrems. Si considereu una inducci´o magnetica uniforme i constant B~ perpendicular al cercle que descriu la barra, trobeu el voltatge indu¨ıt entre els seus extrems.
6.5. Amb fil conductor s’ha constru¨ıt un triangle equilater de costat l. En un mateix pla i paral·lel a un dels seus costats, a la distancia a =
3 l/6 hi ha un conductor infinit recorregut per un corrent d’intensitat I constant. Determineu: el flux magn`etic a trav´es de la superf´ıcie del triangle, i el coeficient d’inducci´o m´utua entre el fil i el triangle.
6.6. En un conductor cil´ındric molt llarg de radi b ´es forada un cilindre de radi a coaxial amb l’anterior. El corrent I que circula per aquest conductor esta uniformement distribu¨ıt en la seva secci´o. Trobeu l’energia magnetica associada a la inducci´o en un tros de longitud l dins el conductor. Calculeu tamb´e el coeficient d’autoinducci´o d’aquesta porci´o de conductor.
6.7. Una bobina toro¨ıdal amb N voltes enrotllades i un corrent I circulant per elles, t´e un radi central b i un radi a de la secci´o circular. Es demana:
(a) La seva autoinductancia. (b) L’energia magnetica d’aquesta bobina. (c) Si a b, demostreu que L coincideix amb la d’un solenoide molt llarg de longitud 2πb. ´Es raonable aquest resultat?
6.8. Situem un a bobina circular de radi ra i longitud la amb Na voltes en l’interior d’una segona bobina de radi rb i longitud lb amb Nb voltes.
(a) Calculeu La, Lb i M (b) Quant val el coeficient d’acoblament si lb = 2la?
6.9. Una autoinductancia L, una resistencia R i una bateria de f.e.m. E estan connectades en s`erie.
(a) A partir de consideracions energ`etiques dedu¨ıu l’equaci´o diferencial que ha de complir el corrent I que circula per aquest circuit. (b) Suposeu ara que es desconnecta la bateria del circuit quan el corrent que circula ´es I 0. Trobeu el temps de relaxaci´o d’aquest sistema.
6.10. Una barra conductora de massa M i longitud l, es pot moure sense fregament sobre la superf´ıcie horitzontal d’una taula. En els seus extrem s’han unit dues molles exactament iguals, de constant elastica k, massa menyspreable i tamb´e conductores. Els extrems lliures de les molles tamb´e s’uneixen a una barra conductora de longitud l fixada a la taula, formant en conjunt un circuit de resistencia R. Hi ha un camp magn`etic constant i uniforme B~, perpendicular a la taula i sentit ascendent. Amb la barra paral·lela a si mateixa es despla¸ca una longitud d respecta a la posici´o d’equilibri i es deixa lliure. Trobeu l’equaci´o diferencial del moviment i els valors de B~ pels quals el sistema ´es oscil·latori.
6.11. Hi ha un circuit indeformable en forma de quadrat en el pla yz, que t´e una resistencia electrica R. En el semiespai z ≤ 0 hi ha un camp magnetic B~ = (B, 0 , 0). A l’instant t = 0, el quadrat t´e un costat a z = 0 i un altre a z = l, i una velocitat v = 0. Si el circuit t´e una massa m, una superf´ıcie l^2 i esta sotm`es a la for¸ca de la gravetat [ F~ = (0, 0 , −mg)]. Calculeu:
(a) La velocitat en funci´o del temps del quadrat, sense considerar els efectes deguts a la autoinducci´o. (b) La intensitat en funci´o del temps en el circuit.
6.12. Un alternador consisteix en una bobina de N voltes, d’area A, que gira amb una freq¨uencia f , al voltant del diametre, en un camp uniforme B, essent el diametre sempre perpendicular a B~ Calculeu quina ´es la f.e.m. indu¨ıda si N = 100 voltes, A = 100 cm^2 , B = 0.1 T i f = 2000 r.p.m.?
6.13. Una bobina de 100 voltes, de secci´o transversal circular, es construeix compactament, de forma que podem considerar que totes les voltes estan en un mateix pla. El radi mig de la bobina ´es de 3 cm. Fem rodar aquesta bobina a 900 r.p.m. al voltant d’un diametre col·locat verticalment. En aquestes condicions la f.e.m. indu¨ıda efica¸c ´es de 0,50 mV. Que podem dir respecte el camp magnetic terrestre en el lloc on s’est`a fent l’experiment?.
6.14. Considereu una bobina toro¨ıdal de N voltes. Si el radi mig de l’anell ´es b i el d’una espira a:
(a) Quin ´es el valor (en henrys) de l’autoinduct`ancia si N = 150 voltes, b = 4 cm. i a = 1, 5 cm? (b) Calculeu el coeficient d’inducci´o m´utua entre la bobina del problema i un segon debanat, sobre el mateix toroide, de N 2 = 50 voltes.
6.15. En un accelerador betatr´o, un i´o de carrega +q i massa m recorre unaorbita circular a una distancia R de l’eix de simetria de la maquina. El camp magnetic t´e simetria cil´ındrica; ´es a dir, la seva component z ´es Bz = B(r) en el pla de l’orbita, on r ´es la dist`ancia a l’eix de simetria.
(a) Demostreu que la velocitat del i´o ´es v = qB(R)R/m. (b) Si la magnitud del camp magnetic s’incrementa lentament, demostreu que la fem indu¨ıda a l’orbita del i´o ´es tal que accelera el i´o. (c) Demostreu que perque el i´o romangui en la mateixaorbita, la variaci´o radial del camp B a dins de l’orbita ha de satisfer la seg¨uent condici´o: la mitjana espacial de l’increment de B(r) (es fa la mitjana sobre l’area tancada per l’`orbita) ha de ser igual al doble de l’increment de B(R) durant el mateix interval de temps.
6.16. Feu les seg¨uents demostracions:
(a) Si els corrents (les fonts del camp magnetic) no varien, el canvi d’energia magnetica al introduir un objecte es pot escriure com:
Wm =
T ot Espai
( B~ · H~ 0 − B~ 0 · H~) d^3 r
a on els camps amb sub´ındex zero es refereixen a abans d’introduir l’objecte i sense sub´ındex a despr´es de col·locar l’objecte. Pot ser d’ajuda considerar que ∇ ∧~ ( H~ − H~ 0 ) = 0 (b) Si posem un medi magn`etic lineal en un camp, la f´ormula anterior es converteix en:
Wm =
Objecte
M^ ~ · B~ 0 d^3 r
6.17. Demostreu que l’energia magnetica d’un dipol magnetic permanent en presencia d’un camp magnetic extern ve donada per:
Wm = m~ · B~ 0
6.18. Considereu un electr´o en una orbita circular de radi R. Si apliquem un camp magnetic perpendicular a l’orbita i suposant que el radi no varia, trobeu el canvi en la seva velocitat. Aquest canvi de velocitat suposa un canvi del moment magnetic. Trobeu la susceptibilitat si hi ha n electrons per unitat de volum. (Es una explicaci´´ o cl`assica del diamagnetisme).
6.19. Un feix d’atoms d’hidrogen a temperatura de 400 K (la seva energia cinetica sera 3/2 kT ) ´es enviat a trav´es dels pols d’un imant d’1 m de longitud i amb un gradient del camp magnetic de 10 T/m. A la sortida de l’imant hi ha dos feixos separats 5,6 mm. Trobeu la diferencia entre els dos possibles valors del moment magnetic dels `atoms d’hidrogen.
Problemes d’Electromagnetisme. Full 8
8.1. Considereu l’ona E~ = Em sin(ωt − βz) ~ex en el buit.
(a) Trobeu els camps D~, B~ i H~. (b) Dibuixeu E~ i H~ a t = 0. (c) Si E~ i H~ compleixen l’equaci´o d’ona, quin ´es el valor de β? (d) Calculeu la potencia mitjana que creua unaarea circular de radi 2.5 m en el pla z = c. 8.2. En un medi no conductor el camp el`ectric ve donat per l’expressi´o:
E^ ~ = E 0 cos ω(√μ z − t) ~ex − E 0 sin ω(√μ z − t) ~ey
on E 0 ´es una constant. Comproveu que compleix l’equaci´o d’ones, i trobeu B~ i el vector de Poynting.
8.3. Si la potencia radiada pel Sol ´es de 3. 8 × 1026 watts, calculeu: (a) La intensitat del camp electric, degut a la radiaci´o, a la superf´ıcie del Sol, si en un instant donat totes les ones estiguessin en fase. (b) El camp electric a la superf´ıcie de la Terra degut a la radiaci´o solar. (c) El vector de Poynting a la Terra. Algunes dades astronomiques ´utils per aquest problema i els seg¨uents s´on: radi del Sol = 7. 0 × 108 metres; distancia mitjana de la Terra al Sol = 1. 5 × 1011 metres; radi de la Terra = 6. 4 × 106 metres; massa del Sol = 2. 0 × 1030 kg. 8.4. Una ona electromagnetica ´es reflectida totalment per un metall. A partir de la densitat d’impuls del camp electromagnetic, trobeu la pressi´o que fa l’ona sobre el material (pressi´o de radiaci´o).
8.5. Per la llum solar el vector de Poynting a la superf´ıcie de la Terra ´es de ≈ 1400 watts/metre^2. Calculeu la pressi´o de radiaci´o a la superf´ıcie de la Terra i a la superf´ıcie del Sol. Trobeu la for¸ca de radiaci´o del Sol sobre la Terra si absorbeix totalment la radiaci´o. 8.6. Compareu les forces degudes a l’atracci´o gravitatoria i la pressi´o de radiaci´o del Sol sobre una part´ıcula de radi R i densitat relativa 5. Trobeu el valor de R pel que s’igualen les dues forces. Suposeu que la part´ıcula absorbeix tota la radiaci´o. (La constant gravitatoria t´e un valor de 6. 7 × 10 −^11 N · m^2 /kg^2 )
8.7. Trobeu la freq¨uencia en que la profunditat de penetraci´o en l’aigua del mar, μ = μ 0 i g ≈ 4. 3 siemens/metre, ´es de 1 m. 8.8. Una ona electromagnetica monocromatica en un medi no conductor d’´ındex de refracci´o n incideix perpendicularment al pla de separaci´o amb un altre medi no conductor d’´ındex de refracci´o n′. Hi haura una ona reflectida i una altra de transmesa. A partir de les condicions de contorn del camp electromagnetic, demostreu que la freq¨uencia de les tres ones ´es la mateixa, i trobeu la relaci´o entre el moduls del camp E~ reflectit i transmes respecte a l’incident (s´on els anomenats coeficients de Fresnel). 8.9. Igual que el problema anterior pero amb incidencia obliqua. A partir de que les condicions de contorn s’han de complir per qualsevol punt del pla demostreu les lleis de la reflexi´o i de la refracci´o.
8.10. Una ona electromagnetica de 3.0 MHz es propaga en l’espai lliure. L’amplitud del seu camp electric ´es de 100 mV/m. Trobeu el voltatge m`axim indu¨ıt en una bobina de 10 espires de 1 m^2 , orientada de manera que el pla format per una espira cont´e el vector de propagaci´o ~k, i el vector perpendicular al pla, n, forma un angle de 30 graus amb el vector E~.
8.11. Trobeu la relaci´o entre la densitat d’impuls i la densitat d’energia en una ona plana en el buit. Tenint en compte la relaci´o per una part´ıcula relativista E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4. Quina densitat de massa en repos seria la del camp electromagnetic?
8.12. Demostreu que en un conductor
H 0 E 0
ε μ
[
( (^) g ωε
) 2 ]^1 /^4
Predomina l’energia electrica o la magnetica?
