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MATEMÁTICAS II
HOJAGENERAL Nº 1
Matrices nilpotentes
Dada una matriz cuadrada A y un número natural k , se dice que A es nilpotente de grado k cuando se
verifica que A
k
= O , siendo O la matriz nula.
- Dada la matriz 𝐴 = (
a. Comprueba que es una matriz nilpotente de grado 3.
- Considera la matriz 𝐶 = (
a. Calcula la potencia enésima de la matriz.
b. A partir de esa relación, sin recurrir al cálculo de determinantes, calcula |C|.
c. Resolver la ecuación (x y z) · C = (5 4 4)
Matrices idempotentes
Dada una matriz cuadrada A , se dice que A es idempotente cuando se verifica que A
2
= A.
- Dada la matriz 𝐴 = (
a. Comprueba que es una matriz idempotente.
b. Calcula la potencia enésima de la matriz A.
c. Calcula la potencia enésima de la matriz 𝐶 = (
- Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Justifica si son ciertas las siguientes
afirmaciones.
a) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 c) (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴
2
2
b) 𝐴
2
2
d) (𝐴 − 𝐵)
2
- Discute y resuelve cuando sea posible los siguientes sistemas por Gauss y por Rouché.
¿Qué camino te parece mejor y por qué?
- Discuta y resuelva los siguientes sistemas:
a. (
) b. { 2 𝑥 − 𝑦 + 3 𝑧 = 1 }
MATEMÁTICAS II
- Discute y resuelve los siguientes sistemas cuando sean compatibles.
a) {
c) {
- Una empresa empaqueta cuatro tipos de cajas de herramientas y las reparte a tres tiendas
diferentes A , B y C. La siguiente matriz M muestra el número de cajas de cada tipo que
debe repartir en cada tienda.
Caja
Caja
Caja
Caja
A 15 25 20 30
B 5 10 5 25
C 30 35 15 20
Cada tipo de caja contiene destornilladores, llaves y brocas según la siguiente distribución
determinada por la matriz N.
Caj
a 1
Caj
a 2
Caj
a 3
Caj
a 4
Destornillador
es
Llaves 25 40 30 25
Alicates 3 5 2 2
Nota: Puede resultarte útil recordar las propiedades de la matriz traspuesta.
a) Indica cuáles de los siguientes productos se pueden realizar matemáticamente:
M · N M · N
t
M
t
· N M
t
·N
t
N · M N · M
t
N
t
· M N
t
· M
t
b) De los productos anteriores que se pueden realizar, indica los que tienen algún sentido práctico e
indica cuál es.
- Dado el siguiente sistema, contesta:
a. Discute el sistema según el valor del parámetro k.
b. Añade una nueva ecuación en el sistema de forma que resulte un sistema
equivalente al anterior en el que, por tanto, la discusión no cambie.
MATEMÁTICAS II
- Jorge ha estado estudiando Matemáticas muy en serio el último año. Para practicar
probabilidad se ha comprado dos urnas y las ha rellenado con bolas azules y blancas y ha
estado realizando el siguiente experimento: “Tiro un dado de 6 caras. Si sale 5 o más, saco
una bola de la urna 1; si no, saco una bola de la urna 2”. Ha repetido el experimento
muchísimas veces hasta convencerse que la probabilidad de que la bola extraída sea
blanca es de 0,6. Si la urna 1 tiene 2 bolas azules y 4 blancas y la urna 2 tiene en total 30
bolas, ¿cuántas bolas blancas hay en la urna 2?
18. Se tienen tres aleaciones diferentes de oro (Au) y plata (Ag). La primera tiene un
60 % de oro y su precio es de 25 €/g, la segunda contiene la misma cantidad de
oro que de plata y su precio es de 20 €/g y la tercera contiene un 60 % de plata
siendo su precio de 15 €/g. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada aleación para
conseguir una aleación de 10 g con el 52 % de oro y que cueste 21 €/g?
19. Demuestra que para que el sistema siguiente sea compatible tiene que suceder que c=a+b.
- [ 20 - 2 1.1.2] (2 puntos) Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo, pero se los ha estudiado a la perfección. El examen se
realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser
examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que:
a. [0,75 p.] el alumno apruebe.
b. [0,75 p.] el alumno se supiera los dos temas si sabemos que ha aprobado el examen.
c. [0,5 p.] ¿Cuántos temas debería haber estudiado, para asegurarse una probabilidad del
90% de aprobar?
- [20- 2 1.1.2] (2 puntos) Una compañía de autobuses conoce que el retraso en la llegada sigue una
distribución normal de media 5 minutos. Conoce también que el 68.26% de los autobuses llega
con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos:
a. [1p] ¿Cuál es la desviación típica?
b. [0.5p] Suponiendo una desviación típica de 2 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que un
autobús llegue puntual o antes de la hora?
c. [0.5p] Suponiendo la misma desviación típica del apartado anterior, ¿cuál es la
probabilidad de que un autobús llegue con un retraso de más de 10 minutos?
- [EVAU 2022] De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el
sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 3 blancos, 5
negros y 8 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un
pañuelo de otro cajón que contiene 4 pañuelos blancos, 8 negros y 12 con cuadrados
blancos y negros.
a. Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el
del sombrero.
b. Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el
pañuelo ha sido de cuadros.
