Matem´aticas I: Grupo A, Control 1, Octubre de 2011
Instrucciones: Este control tiene un total de 5 preguntas y califica sobre 10 puntos. Constituye
el 10 % de su calificaci´on. Entregarlo no implica figurar como presentado en la convocatoria.
Conteste a las preguntas en un cuadernillo aparte. Solamente puede entregar un cuadernillo. No
entregue esta hoja de enunciados. La duraci´on es 75 minutos.
1. [3 puntos] Represente la funci´on f(x) = √1 + x2. Considere solamente la raiz positiva. En par-
ticular debe calcular:
(a) [1 punto] el dominio,
(b) [1 punto] los subconjuntos del dominio en los que la funci´on es creciente o decreciente,
c´oncava o convexa,
(c) [1 punto] imagen.
Soluci´on:
Omitimos la representaci´on, que forma parte de la respuesta. El dominio es Rpuesto que
1 + x2≥0 para todo x∈R. La primera y la segunda derivada es, respectivamente: f0(x) =
x(1 + x2)−1/2yf00 (x) = (1 + x2)−3/2. Por tanto, el signo de f0(x) es el de x,f00 (x)>0
para todo x. La funci´on es decreciente para x < 0 y creciente para x > 0, la derivada es
cero para x= 0, y es estrictamente convexa. En la representaci´on puede usarse la simetr´ıa
f(x) = f(−x). La imagen es [1,∞), para verlo basta notar que la funci´on es cont´ınua, tiene
un m´ınimo en x= 0, f(0) = 1 y tiende a ∞cuando |x|aumenta.
2. [2 puntos] Dada la funci´on f(x) = ln (1 + x), se pide:
(a) [1 punto] calcular la funci´on inversa, f−1, y el dominio de ambas funciones.
(b) [1 punto] utilizar el resultado sobre derivaci´on de funci´on inversa para calcular f−10(0), es
decir, la derivada de la funci´on inversa en la ordenada y= 0.
Soluci´on:
Partiendo de y=f(x), despejamos xpara obtener f−1, tenemos f−1(y) = ey−1. Los dominios
de fyf−1son [−1,∞) y R, respectivamente. El resultado de derivaci´on de funci´on inversa
establece que f−10(0) = 1
f0(f−1(0)) . Tenemos: 1
f0(f−1(0)) =1
f0(0) = 1.
3. [2 puntos] Dada la funci´on f(x) = ln (x+ 1), se pide hallar:
