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EQUILIBRIO GENERAL
Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi
CRITERIO DE PARETO
Si se tienen dos estados sociales A y B, A es preferible a B si por lo menos una persona está mejor en A que en B sin que ninguna de las otras personas esté peor que en B. En este caso, se dice que A es pareto superior.
Si, en cambio, la única forma de mejorar la situación de un individuo es empeorando la de otro, se dice que esa situación constituye un óptimo de pareto (no es posible mejorar la situación de un individuo sin empeorar la de otro).
ÓPTIMO DE PARETO EN PRODUCCIÓN
Supuesto básico:
Los recursos con los cuales se producen los bienes están dados. Se tratará de resolver cómo se distribuye el stock de factores entre los distintos sectores de la economía.
Características de la economía:
Se consideran dos bienes: y 1 y y 2 , y dos factores de producción: capital y trabajo.
y 1 = f^1 › L (^) 1 , K 1 fi
y 2 = f^2 › L (^) 2 , K 2 fi
Dados: L = L (^) 1 + L (^) 2 K = K 1 + K 2
Se supone, o bien que el mercado de los bienes y 1 y y 2 está en competencia perfecta, o bien que se trata de una economía pequeña y, por lo tanto, las empresas son tomadoras de precios: y 1 Ì p 1
y 2 Ì p 2
Problema:
¿Cómo se distribuyen eficientemente esos recursos? Para contestar esta pregunta se debe maximizar el producto dado el stock de recursos. De esta forma se asegura que no haya recursos ociosos. Se debe recordar que la eficiencia no significa equidad.
max p 1. f^1 › L (^) 1 , K 1 fi + p 2. f^2 › L (^) 2 , K 2 fi sujeto a: L (^) 1 + L (^) 2 = L
K 1 + K 2 = K
Ï max¢ = p 1. f^1 › L (^) 1 , K 1 fi + p 2. f^2 › L (^) 2 , K 2 fi? V (^) L › L? L (^) 1? L (^) 2 fi + V (^) K › K? K 1? K 2 fi
Ï › 1 fi /¢ / L (^) 1
= p 1 / f
(^1) › L (^) 1 , K 1 fi / L (^) 1
? V L = 0
Ï › 2 fi /¢ / K 1
= p 1 / f
(^1) › L (^) 1 , K 1 fi / K 1
? V K = 0
Ï › 3 fi /¢ / L (^) 2
= p 2 / f
2 › L
1 , K 1 fi / L (^) 2
? V L = 0
Ï › 4 fi /¢ / K 2
= p 2 / f
(^2) › L (^) 1 , K 1 fi / K 2
? V K = 0
Ï › 5 fi /¢ / V (^) L
= L? L 1? L 2 = 0
Ï › 6 fi /¢ / V (^) K
= K? K 1? K 2 = 0
Interpretación de V :
Los V son los valores de la productividad marginal de los factores, que en competencia perfecta son iguales a los precios de los factores.
Soluciones óptimas:
De las condiciones de primer orden obtengo:
L (^) i = L (^) i^ D› p 1 , p 2 , L , K fi; i = 1,2....
Ki = Ki^ D› p 1 , p 2 , L , K fi; i = 1,2.... V (^) L = V (^) L^ D› p 1 , p 2 , K , L fi
V (^) K = V (^) K^ D^ › p 1 , p 2 , K , L fi
De esta forma, se obtiene cómo se van a distribuir esos factores de producción entre los distintos sectores de la economía de modo de hacer máximo el producto, dados los parámetros del modelo (precios=productividad marginal de los factores) y dada la dotación de factores de la economía.
De esta forma, se tienen las soluciones óptimas de cómo se distribuyen capital y trabajo entre los dos sectores de la economía y el precio de cada factor en el óptimo.
Si se tiene la distribución de factores L (^) i , Ki y se tiene la tecnología que utiliza cada sector, entonces se tiene el producto de cada sector, o sea, las funciones de oferta de cada uno en el óptimo: y 1 D^ = f^1 › L (^) 1 D, K 1 Dfi = y 1 D› p 1 , p 2 , L , K fi y 2 D^ = f^2 › L (^) 2 D, K 2 Dfi = y 2 D› p 1 , p 2 , L , K fi
Estas funciones de oferta en el óptimo son homogéneas de grado cero en precios.
Esto me permite multiplicar los precios por una constante t y el resultado no cambia.
Ï t = (^) p^1 2
Ï y 1 D^ = y 1 D^ p p^1 2
,1, L , K Ï y 1 D^ = y 1 D› p , L , K fi
y 2 D^ = y 2 D^ p p^1 2
,1, L , K Ï y 1 D^ = y 1 D› p , L , K fi
(3)(4) Ï
TMST (^) 2
/ f^2 › L (^) 2 , K 2 fi / L (^) 2 / f^2 › L (^) 2 , K 2 fi / K 2
= V^ L
V K
= wr
Ï TMST 1 = TMST 2 = V^ L
V K
= wr
w: retribución del factor productivo trabajo
r: retribución del factor productivo capital
TMST: tasa marginal de sustitución técnica entre factores.
GRÁFICA 2
En la Caja de Edgeworth se visualiza cada sector en un par de ejes (L,K).
Cada punto de la caja dice cómo se está distribuyendo capital y trabajo entre los sectores.
De las condiciones de equilibrio se extrae que un punto es eficiente si surge de la tangencia de las isocuantas (por ejemplo el punto B del gráfico). De esta forma, un punto como el A, no es eficiente, ya que hay formas de cambiar el nivel de producción de un sector sin alterar el del otro.
Dado que la curva de contrato de la Caja de Edgeworth es la unión de todos los puntos de tangencia de las isocuantas, constituye el conjunto de los n posibles puntos eficientes. Cuál de estos puntos se elije depende de la dotación inicial de factores.
GRÁFICA 3
max U^1 › x 1 , y 1 fi sujeto a: U^2 › x 2 , y 2 fi = U^2
x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 2
Ï max¢ = U^1 › x 1 , y 1 fi + V U^2? U^2 › x 2 , y 2 fi + V (^) x › x? x 1? x 2 fi + V (^) y › y? y 1? y 2 fi
Ï › 1 fi /¢ / x 1
= / U^
(^1) › x 1 , y 1 fi / x 1
? V (^) x = 0
Ï › 2 fi /¢ / y 1
= / U^
(^1) › x 1 , y 1 fi / y 1
? V (^) y = 0
Ï › 3 fi /¢ / x 2
= / U^
(^2) › x 2 , y 2 fi / x 2
? V (^) x = 0
Ï › 4 fi /¢ / y 2
= / U^
(^2) › x 2 , y 2 fi / y 2
? V (^) y = 0
Ï › 5 fi /¢ / V
= U^2? U^2 › x 2 , y 2 fi = 0
Ï › 6 fi /¢ / V (^) x
= x? x 1? x 2 = 0
Ï › 7 fi /¢ / V (^) y
= y? y 1? y 2 = 0
(1)(2) Ï
/ U^1 › x 1 , y 1 fi / x 1 / U^1 › x 1 , y 1 fi / y 1
= V^ x V (^) y
(3)(4) Ï
/ U^2 › x 2 , y 2 fi / x 2 / U^2 › x 2 , y 2 fi / y 2
= V V^ x y
Ï
/ U^1 › x 1 , y 1 fi / x 1 / U^1 › x 1 , y 1 fi / y 1
/ U^2 › x 2 , y 2 fi / x 2 / U^2 › x 2 , y 2 fi / y 2
= V^ x V (^) y
Ï En un óptimo de pareto las dos curvas de indiferencia son tangentes.
GRÁFICA 4
Los óptimos de pareto se encuentran en los puntos de tangencia de las curvas de indiferencia de los individuos. La curva de contrato constituye la unión de todos los puntos óptimos de pareto.
Un punto como C (ver gráfica) no es pareto-óptimo porque se puede mejorar la situación del individuo 1 sin empeorar la del individuo 2. En ese caso, se llegará al óptimo en un punto entre A y B (sobre la curva de contrato), donde no se puede mejorar a uno sin empeorar al otro; por lo que estos puntos son óptimos de pareto. Depende de las dotaciones iniciales de x e y, el óptimo de pareto que se pueda alcanzar.
Los puntos A, B y todos los que están sobre la curva de contrato entre ellos son pareto-superiores a C.
Volviendo a las condiciones de primer orden:
(1)(2) Ï xi^ D^ = xi^ D› U^2 , x , y fi
(3)(4) Ï yi^ D^ = yi^ D› U^2 , x , y fi
También se puede hallar la frontera de posibilidad de la Utilidad:
Ï U^1 = U^1 › x 1 D, yi^ Dfi = U^1 › U^2 , x , y fi
(6) Ï /¢
/ V 2
= h › x , y fi = 0
(1)(2) Ï
/ U^2 › x 2 , y 2 fi / x 2 / U^2 › x 2 , y 2 fi / y 2
/ h › x , y fi / x 2 / h › x , y fi / y 2
(3)(4) Ï
/ U^1 › x 1 , y 1 fi / x 1 / U^1 › x 1 , y 1 fi / y 1
/ h › x , y fi / x 1 / h › x , y fi / y 1
/ h › x , y fi / x 1
= / h › x , y fi / x
1 „ / x / x 1
= / h › x , y fi / x
Lo mismo ocurre para x 2
/ h › x , y fi / y 1
= / h › x , y fi / y
1 „ / y / y 1
= / h › x , y fi / y
Lo mismo ocurre para y 2
Ï
/ U^2 › x 2 , y 2 fi / x 2 / U^2 › x 2 , y 2 fi / y 2
/ U^1 › x 1 , y 1 fi / x 1 / U^1 › x 1 , y 1 fi / y 1
/ h › x , y fi / x / h › x , y fi / y
La relación de sustitución entre los dos bienes deben ser iguales para los dos individuos, e iguales a la tangente de la frontera de posibilidades de producción en el óptimo.
Gráficamente:
GRÁFICA 5
Son esas curvas las que definen las dimensiones de la caja de Edgeworth.
Conclusión:
Una economía se encuentra en un óptimo global de pareto cuando la relación de sustitución entre los bienes es igual para los individuos e igual a la tangente de la frontera de posibilidades de producción. Esto significa que no se puede redistribuir de modo de mejorar la situación de una persona sin empeorar la de otras.
Los equilibrios competitivos (de competencia perfecta) representan óptimos globales de pareto, o sea que no hay forma de redistribuir para mejorar la situación de un individuo sin empeorar la de otros. Por lo tanto, los equilibrios competitivos representan un máximo de bienestar.
