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Benito López Baños.
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PROLOGO.
“Sin duda se sabe que la fórmula del área de un círculo (
A = 2 π R) es ALGEBRA. Y quizá se advierta, por lo anterior,
que un aspecto en que el ALGEBRA difiere de la ARITMETICA
es el siguiente: En tanto que en ésta se resuelve un problema
concreto cada vez, en el ALGEBRA se da una regla General
para resolver muchos problemas de un cierto tipo. Así cuando
hallamos el área de un rectángulo cuya base es 4 cm y su
altura es 2 cm y obtenemos 8 cm
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como resultado, esto es
ARITMETICA. Pero al escribir (1) A = a b que dice que para
hallar el área, A, de cualquier rectángulo, hay que multiplicar
la altura, a, por la base, b, esto es ALGEBRA. …” “Y así se sabe
pues, que el ALGEBRA es una especie de ARITMETICA
Generalizada, con la que problemas mas difíciles pueden ser
resueltos. Que la GEOMETRIA es no solo el estudio de diversas
figuras en dos y tres dimensiones, sino que también es una
ciencia ejemplar, cuya estructura toda se construye a partir
de unos pocos postulados, y es, por lo tanto, un “modelo”
para cualquier sistema del pensamiento. Que la GEOMETRÍA
ANALITICA es una combinación del ÁLGEBRA y la GEOMETRÍA, que
ha demostrado ser muy útil. Y que el CALCULO INFINITESIMAL
es un poderoso instrumento para realizar el estudio de
nuestro mundo dinámico.
Se sabe también que la Matemática es útil no solo como
técnica, sino también como tipo o modelo del método de
pensar: es clara, precisa, breve, multiforme. Que un estudio
fructuoso de siquiera una pequeña parte de las matemáticas,
Benito López Baños.
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puede arrojar bastante luz en muchas controversias, aun con
un mínimo empleo de la técnica matemática… Quizá llegue a
decirse ¿Qué más se puede pedir?. Pero el hecho es que
todas las ramas de la matemática que se han mencionado
Benito López Baños.
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(Springer et al.
Dentro de este contexto la ESTADISTICA como rama de las Matemáticas es sin duda una
de las más evolucionadas. En los últimos 100 años el crecimiento o desarrollo de otras
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áreas de las Matemáticas como: La teoría de Probabilidad, la teoría de Conjuntos, el
Álgebra de Matrices ya tenía sus bases teóricas, pero faltaba un detonante que le
permitiera un desarrollo pleno, el advenimiento de las computadoras personales permitió
se lograra este crecimiento y la METODOLOGIA ESTADISTICA o ANALISIS
ESTADISTICO aplicado a la BIOLOGIA como ciencia (BIOESTADISTICA) tiene sus bases
en la teoría de Probabilidad, la teoría de Conjuntos, el Álgebra de Matrices, entre otras. Y
es, gracias a ellas, que hoy podemos hablar en el rubro del Diseño Experimental; de
Análisis de Varianza (Diseño Completamente Aleatorizado, Diseño de Bloques al Azar,
Diseño en Cuadrado Latino, Experimentos Factoriales, Diseño de Parcelas Divididas,
Diseño Jerárquico, Análisis de Covarianza, etc.) en Modelos de Efectos Fijos, Aleatorios y
Mixtos. En el rubro del Análisis Multivariado de: Correlaciones Canónicas, Componentes
Principales, Análisis de Clasificación (Cluster), etc.
Todo ello, nos lleva a pensar que el Médico Veterinario Zootecnista (MVZ) tiene mucho
camino por recorrer en el campo de la Estadística entre otros, y que los programas y
planes de estudio de la carrera de MVZ, de los posgrados; como las especialidades, las
maestrías y los doctorados, deberían incentivar mas a los alumnos a comprender y aplicar
la Bioestadística, de tal manera que la vean como una poderosa arma en la toma de
decisiones de su quehacer cotidiano, en su práctica profesional y no como un mero
requisito que hay que alcanzar para llegar a una meta.
La Bioestadística en este manual, es una introducción al maravilloso mundo de las
matemáticas donde por medio de conceptos básicos de estadística sin una excesiva
carga de ecuaciones y fórmulas, nos lleva a entender mejor los fenómenos biológicos que
enfrenta el MVZ en su práctica profesional y con ello se facilite su modificación, esperando
desde luego, sea para bien del mundo que nos rodea (Ecosistemas), en especial la
especie humana.
Dr Benito López Baños
Benito López Baños.
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son igualmente de interés permitiendo el desarrollo de otra rama llamada
Estadística no Paramétrica.
Por todo lo anterior expuesto, este manual tiene como principal propósito exponer
a los estudiantes de la carrera de MVZ (Medicina Veterinaria y Zootecnia) una
serie de procedimientos, procesos y métodos de análisis estadísticos para
interpretar de la mejor manera posible lo que un fenómeno, suceso o experimento
le ofrece al investigador y a partir de ello, tomar la decisión más adecuada, basado
en la teoría de probabilidad.
Así este manual contiene en un principio (Capítulo 2), algunos aspectos
importantes de estadística descriptiva como es manejo de datos (numéricos) sin
agrupar y agrupados, asumiendo que son una muestra aleatoria de una población,
se estima
tres principales medidas de tendencia central como la Media Aritmética (𝑋𝑋
), Mediana
y Moda a partir de un ejemplo, así también, tres medidas de dispersión como la
Varianza (S
2
), la Desviación Estándar (S) y el Coeficiente de Variación (CV).
El siguiente capítulo (3), plantea una introducción a la Teoría de Probabilidad,
manejando algunos conceptos históricos y otros que sirven de apoyo como la
teoría de conjuntos para una mejor compresión de conceptos básicos de
probabilidad, usando ejemplos de veterinaria que motiven al estudiante para su
mejor entendimiento. Pasando a otro capítulo de Distribución de Probabiliormaldad
(capitulo 4) en el que se revisa conceptos básicos de las tres distribuciones más
importantes por su aplicación en la carrera; la Binomial, la de Poisson y la Normal,
apoyados con ejercicios enfocados a la veterinaria.
Otro capítulo interesante en este manual, es el de Muestreo Aleatorio Simple e
Intervalos de Confianza (5). Se ha visto que muchos trabajos de investigación
(artículos y tesis) e inclusive en textos de estadística, refieren haber usado el
muestreo Aleatorio como algo rutinario, más sin embargo, cuando se les pregunta
al o los autores, denotan ignorancia en dicho muestreo, ya que confunden el
concepto de aleatorio con lo común o rutinario. De ahí la importancia de este
capítulo donde se plantea básicamente como hacer dicho muestreo en
poblaciones finitas usando una tabla de números aleatorios o generando dichos
número con una calculadora científica, también en este capítulo se propone y
discute conceptos de estimación, confianza, precisión, tamaño de muestra, todo
ello vinculado a la teoría de probabilidad.
Las pruebas de hipótesis, tanto las “t” como las “z” en diferentes modalidades
están presente en el capítulo 6. Las pruebas de X
2
están explicadas en un capítulo
aparte, como prueba de homogeneidad y como prueba de independencia (capitulo
En el capítulo 8, se describe conceptos e importancia de la Correlación y la
Regresión lineal simple, su aplicación en veterinaria usando ejemplos y ejercicios
propios de esta carrera, que permiten una buena comprensión del tema.
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Las pruebas de ANDEVA (Análisis de Varianza) se contemplan en el capítulo 9, y
solo se discuten por su utilidad común y su sencillez en veterinaria, 4 de los tantos
arreglos que se tienen con esta técnica estadística. Primero se describe el arreglo
Totalmente Aleatorizado, balanceado y desbalanceado. Se continúa con el arreglo
de Bloques al Azar, después los arreglos Factoriales r x c, y finalmente el arreglo
Anidado. Así también para los supuestos en que se determine diferencias entre
Medias, la prueba de Tukey. Todo lo anterior mencionado en este capítulo, se
aborda en la medida de lo posible usando ejemplos y ejercicios sencillos pero
vinculados a la práctica profesional de la carrera de veterinaria.
Otro tema que se considera de interés en nuestra carrera es el de transformar los
datos a otra escala que permita reducir las diferencias entre una medición y otra,
(heterogeneidad de varianza) para así poder usar el modelo o la técnica
estadística mas apropiada. Todo esto se discute en el capítulo 10.
Finalmente, en el capítulo 11, se revisa algunas pruebas estadísticas que entran
en la clasificación de No paramétrica, como es la prueba de…….
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Tabla 1. Pesos de 12
cerdos
sin
ordenar.
Tabla 2. Pesos Ordenados
de 12 cerdos.
Ya con los datos ordenados podemos darnos cuenta que el cerdo mas pequeño
de este lote pesó 71 y el más grande 108 Kg. El lector podrá argumentar que en el
ejemplo anterior es relativamente fácil encontrar los cerdos de menor y de mayor
peso y que no vale la pena perder tiempo en ordenarlos, pero deberá imaginarse
si es igual de fácil, encontrarlos en un lote de 120 o más cerdos. Además de que,
ordenando los datos, se facilita estimar algunas medidas estadísticas de interés.
Medidas de Tendencia Central. Las medidas de tendencia central son valores
numéricos que tienden a buscar la parte media o centro de un conjunto de datos.
Las principales o más comunes en la práctica de la Medicina Veterinaria y
Zootécnia son: Media Aritmética o Promedio, Mediana y Moda.
Aunque existen otras medidas estadísticas como: la Media Geométrica y la
Armónica que también son consideradas de tendencia central pero que en
Veterinaria son de poco uso. Por lo que solo se describirán las tres primeras.
Orden Cerdos Pesos
(Kg)
Pesos
(Kg.)
Cerdos
n
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Media Aritmética. Es poco usual encontrar un alumno a nivel de licenciatura que
no este familiarizado con el término “Promedio”, que es el nombre común de la
media aritmética y es también la mas popular en cuanto a su uso. Simbólicamente
la podemos expresar como:
Xi
X
i 1 ...............................................
n
Donde: X = Media Aritmética o Promedio
Xi = Valor numérico de cada medida i = 1, 2, 3, ..., n
n = Total de datos de la muestra
= Sumatoria
Lo que implica que para calcular la Media Aritmética del ejemplo anterior si se
utiliza los datos de la Tabla 2, se tendría que hacer la siguiente operación:
X =
Nótese que en la Ecuación 1, Xi es el valor numérico de cada uno de los datos
(peso de los cerdos) donde la i denota el orden en que estos se encuentran y va
de 1 hasta 12, siendo este último el máximo valor de i = n = 12. La sumatoria ∑
sustituye al signo +. Por lo que la operación aritmética que se hace para calcular
el promedio sería: sumar el primer dato que es 71 mas el segundo que es 77, mas
el tercero que es 84 y así sucesivamente hasta el doceavo dato que es el último y
tiene como valor 108. La sumatoria de los doce datos es 1111 misma que al
dividirla entre el total de datos (n = 12) se obtiene el promedio de 92.6.
Moda. La moda por definición es el valor que se repite con mayor frecuencia.
Aunque vale la pena mencionar que en un conjunto de datos puede suceder que
ningún dato se repita más de una vez, o con mayor frecuencia que los otros,
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Varianza. La Varianza en un conjunto de datos, es una expresión cuadrática de la
dispersión que existe entre estos alrededor de su Media Aritmética y normalmente
se representa con la letra S
2
y está definida por la ecuación siguiente:
S
2
n
( Xi X )
2
i 1
n 1
Donde Xi es cada uno de los datos, X es la Media Aritmética, n el total de datos,
Σ sumatoria y se lee: Varianza es igual a la sumatoria de Xi menos X barra al
cuadrado; desde que i es igual a 1 hasta n , entre n-.
Lo que implica que para estimar la Varianza ( S
2
) del ejemplo de los pesos de los
doce cerdos habría que desarrollar los pasos que se muestran en la Tabla 3.
Tabla 3. Procedimiento para estimar la Varianza
De los Pesos Ordenados en forma ascendente de
12 cerdos cuyo Promedio es 92.6 Kg.
Orden Cerdos Pesos
(Kg)
Xi X ( Xi X )
2
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n
( Xi X )
2
i 1
S
2
O lo que es lo mismo:
2
2
2
2
S
2
Cabe mencionar que si utilizamos los datos de los cerdos ordenados o no,
llegaremos al mismo resultado y que tan solo la propuesta de ordenarlos es
hacernos de un hábito en el manejo de los mismos.
Otra manera de estimar la Varianza es usar la expresión conocida como ecuación
de mínimos cuadrados, que resulta ser más fácil de usar con la ayuda de una
calculadora:
X
2
X
2
S
2
n
n 1
S 2
1
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S
n
Como se puede notar, las dos ecuaciones (2 y 3) llevan al mismo resultado para la
Varianza, solo que la última ecuación es más práctica ya que en su estimación no
se requiere conocer la Media Aritmética.
Desviación Estándar. La Desviación Estándar representada por la letra “S” no es
mas que, la raíz cuadrada de la Varianza y puede considerarse como un promedio
de dispersión del conjunto de datos respecto a su Media Aritmética por lo que :
S =
Así para el ejemplo de los cerdos, la Desviación Estándar sería:
S = 11.
Error Estándar. Se usa el término Error Estándar cuando involucrando el
muestreo aleatorio expresamos la desviación estándar de una distribución de
muestreo, generalmente se representa por las letras mayúsculas E.E. y se estima
con la ecuación siguiente:
E.E. =
Así también para el ejemplo de los cerdos, el Error Estándar sería:
E.E. =
1
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Coeficiente de Variación. El Coeficiente de Variación (C.V.) es una de las
medidas estadísticas mas comúnmente usada en Medicina Veterinaria y
Zootécnia, ya que permite comparar la variación o variabilidad de diferentes
variables o series de datos, independientemente de la unidad de medida y del
tamaño de la muestras, es una medida expresada en porcentaje (%) y se calcula
con la ecuación siguiente:
C.V. =
S
X
Con el ejemplo de los cerdos el Coeficiente de Variación sería:
C.V. =
100 12.7 %
Deducción algebraica de la ecuación 3 a partir de la 2.
Tomando la ecuación 2, la podemos expresar:
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n
Xi
Sustituyendo X por
i 1 y considerando que:
n
n
2
n
2
n
Xi
Xi
( X
2
) n X
2
n
i 1
i 1 Por lo tanto:
i 1
n
n
n
n
2
n
n
Xi
Xi
S
2
Xi
2
Xi
i 1
i
1 ……………….. (2.5)
n 1
i 1
i 1
n
n
Simplificando esta última ecuación tenemos:
n
2
n
2
n
Xi
Xi
S
2
Xi
2
i 1
i 1 …………………….. (2.6)
n 1
i 1
n n
La que finalmente sería:
n
2
Benito López Baños.
n
2
n
Xi
2
Xi
Xi
2
i 1
S
n
Xi
2
i 1
i 1
n...........................................
n 1
i
1
n
n 1
Fácilmente se puede notar que la ecuación 2.7 es igual a la 3, sí la simplificamos.
EJERCICIOS.
BOVINOS.
Estime para cada ejercicio: Media Aritmética, Moda, Mediana, Rango, Varianza,
Desviación Estándar, Error Estándar y Coeficiente de Variación.
Compare las cinco variables y ordénelas por su variación.
2.1 Ganancia Diaria de Peso en kg (GDP) de 25 bovinos de engorda entre 300-
450 kilos
de peso vivo.
