Manual matemáticas UNAM, Ejercicios de Matemáticas

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MATEMÁTICAS UNAM

Cuadernillo de ejercicios

EJERCICIO 1. Operaciones con números enteros

   

a) b) c) d) e) f) g) h)

  

i) j)

II. Efectúa las siguientes operaciones:

a) b) c) d) e)

I. Simplifica las siguientes expresiones:

III. (^) Reduce las siguientes expresiones usando la jerarquía de operaciones:

f) g) h) i) j)

IDEAS O SUGERENCIAS

Cuando se requiere simplificar expresiones con

signos de agrupación, lo más conveniente es

empezar a reducir lo que se encuentra dentro

de los paréntesis y después multiplicar por el

término fuera de éste.

Recuerda que la jerarquía de operaciones

indica que primero se resuelven potencias y

raíces, después multiplicaciones y divisiones

(de izquierda a derecha) y, por último, sumas

y restas.

BLOQUE I. ARITMÉTICA

Cuadernillo de ejercicios/CURSO UNAM

Simplifica las siguientes expresiones usando la jerarquía de operaciones.

( )

12 4 12 − 8 + 17 − 5 + 3(70 − 10 + 60) ÷ 5(2 + 6 5⋅ −12)

13 − 4(2 − 7 + 12 ÷ 4 5⋅ ) − 12 − 34 + 16 + 10

250 ÷ 5(3 − 2) − 8(5 − 4 + 12 3 − 1 + 5 + 2 + 4) − 2(

14 −15(2 − 8 + 28 ÷14) + 2 4 − 80 ÷ 100

13 − 25 ÷ 25(5 30)(

12 − 34 + 169 ÷ 13 − 12 7⋅ + { 4 − 5 − 6 2 − 3 2

a) b) c) d) e) f)

÷ 3) =

− − 14 ÷ 7)=

2 3

2 − 7 − 12 + 15 + 6 − (12 ÷ 2 ⋅ 6) + 12 − 4(5 − 2 + 4 − 5)

g)

i)

− 5 − 3 ⋅ 7 + − 4(2 − − 6 − 7 + (5 − 2 ÷ 2) =

h) 45 − 25 + 12 − 3(12 − 4 + 34 − 10 2 +169) ÷ ( 25 + 10 + 2) =

EJERCICIO 2. Operaciones con números racionales

a)

b

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

+ 4 − 4 1 − 5 +^1 =

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

− ^   =

I. Efectúa las siguientes sumas y restas: II. Efectúa los siguientes productos:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

h)

f)

i)

÷ =

÷ =

− ÷ =

÷ =

− 5 4 ÷ =

III. Resuelve las siguientes divisiones: (^) IV. Efectúa las siguientes operaciones:

2 4 3 3 5 4 28 5 3 1 5 7 2 14 3 2 4 1 1 4 4 3 4 2 3 1 3 1 2 5 2 8 2 5 3 5 1 3 3 4 2 2 2 1 2 4 5 3 2 10 5 9 3 (^1) +  

 ÷

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

+ ^ − ÷  =

− ^ + − ^ − ^  =

^  ^5 

÷  −

+  − ÷  − −

i)

j)

− + ^112 + ^44 − 1 =

 ^ 

Matemáticas/Aritmética

j)

k)

l)

m)

n)

÷ =

 ÷  ÷ =

÷ =

− ÷ =

   ÷  

o)

p)

q)

r)

s)

− ^ − − ^ ÷ =

   ÷  

−  − + ÷ ^ + =

÷

t) ÷ (^1)

1 1 2

k) − ^ +   ^ − + ^ ÷ ^  =       (^1 3 1 2 1 ) 2 4 3 5 3

l) − ^ + ^ − +  +  − =   ^  

4 3 2 5 24 1 2 4 6 5 1 2

m)

n)

− ^   ^     −  − =

+ ^ ÷ ⋅ ^ − =

j) ^4 2 ^ ^1  =  5 ^ ^ 

ÁLGEBRA

TEMAS:

EJERCICIO 1. Operaciones con expresiones algebraicas

EJERCICIO 2. Binomio de Newton y teorema del residuo

EJERCICIO 3. Descomposición factorial

EJERCICIO 4. Simplificación de expresiones algebraicas

EJERCICIO 5. Ecuación de primer grado

EJERCICIO 6. Sistemas de ecuaciones simultáneas

EJERCICIO 7. Determinantes y sistemas de tres ecuaciones

EJERCICIO 8. Operaciones con números complejos

EJERCICIO 9. Ecuaciones de segundo grado

EJERCICIO 10. Desigualdades de primer y segundo grado

EJERCICIO 11. Funciones algebraicas

Operaciones con expresiones algebraicas

III. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

2 3 2

2 7 3

3 3

2 3 2 2 1

2 2 4 5 6 5 4 3 2 3

2 3 4 7 4 3 3 12 3 2 3 3

3

a)

b)

c)

d)

e) k)

l)

m)

f)

m n m m n m

x − y + z x z

x y x y

a b c ÷ 2 ab

w x y w x y

x y x y

a a xy^ x y xy a b c a b abc abc w x y w x y w x y w x y

x

5 12 − 3 − − 12 −

− + −

• y + − − − −

−

÷ =

÷ =

÷

÷ = +^ =

− x^2 + 10 x x

2

2 2

4

2 2

5 2 2

g)

h)

i)

j)

k)

x − x − x n mn m m − n am − am − a am + a n m mn n − 9 m y y y y

−^ =

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2 32 2 3

5 3

3 2 3

1 2 2

3 3

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

x x m

m

x

x

a a

y z

x − − x − x mn xy mn − xy ax my ax my

− a − b

x y

p − q − px ay

a − b =

− 3 =

− =

=

− =

5 4 6 3 5 6

g)

h)

i)

j)

ab + ax − ay a

mn my m x + x x y y y

− − − − − −

− mx − (^) =

2

2

2

2

3

3 12 36 6 15 36 3

8 12 6 25 100 20 8 2

a) 3

b)

c)

d)

e)

x + x + f) x x − x + x

x − x + x x x x x x

x

• = x

IV. Efectúa las siguientes divisiones algebraicas:

V. Resuelve las siguientes divisiones con denominador compuesto:

Cuadernillo de ejercicios/CURSO UNAM

Matemáticas/Álgebra

EJERCICIO 2. Binomio de Newton y teorema del residuo

( 8 x )

7 10 6

a) b) c) d)

to vo to

x término x término xy término

( x )

12

5

8

e) f) g)

h)

to to to to

to

término término x término término

x término

7

x − 1 )^6

 −^ 

I. Encontrar el término que se pide en cada caso:

2 3 2 3 2 4 3 4 3 2

4 3 2 3 2 3 3 2 3

x − 3 x 2 2 1 2 6 8 2 5 2 5 2 6 3

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

x entre x entre x x x entre x x − x entre x a a a entre a

m + m − m entre m x + x x entre x x entre x x + x x entre x x x entre x

− x + −

• x − + − + x − −
• − − + − +

II. Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

IDEAS O SUGERENCIAS

El i-ésimo término del binomio de Newton se obtiene usando la expresión:

TEOREMA DEL RESIDUO: El residuo de dividir un polinomio P(x) por un

divisor de la forma x - a está dado por P(a).

( n^ −^ ) ( n^ −^2 )...( )

( i^^1 )

i = n^ n^ −^ i + a^ n − + i^1 bi − −

Matemáticas/Álgebra

IV. Factoriza los siguientes trinomios de la forma Ax^2 + Bx + C:

Descomposición factorial

2 2 2 2 2

2 4 2 2 2 8 4 10 5

2 2 2 4 2 2 4 8

3 a − 5 a 2 6 7 2 20 20 44 15

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

k) l) m) n)

m m

y y x + x x x

b b m m x xy y a a x x

m mn + n x x a 15 x x x

− ax − =

• − = o) 7 m^2^ − 23 m + 6 =

V. Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos:

3 3 3 3 6 3

3 3 3 3 3 6 3 3

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

a − b a a

y a b − x a x

• a^3 = x + y = =
• = − 125 =

x + y =

• = = − = − =

VI. Descomponer por el método factor común por agrupación de términos:

2

4 4 2 2 2

2 2 2 2

3 6 + 4 m − 8 n = 2 3 2 2 3 3 4 4

a) b) c) d) e)

g) h) i) j)

am − bm + an − bn ax − bx − ay + by m − n − nx + mx x + x − xy

m − mn x x ax az ax − x + y − ay

a + ab + ax + bx =

=

− y =

− xy − 4 x + 6 y =

• z − − = =

IDEAS O SUGERENCIAS

Recuerda que para factorizar una suma o diferencia de cubos se

utilizan las expresiones:

a^3^ + b^3^ = (^) ( a + b ) (^) ( a^2 − ab + b^2 ) a^3 − b^3 = ( a − b ) (^) ( a^2 + ab + b^2 )

Para factorizar una diferencia de cuadrados se utiliza la expresión:

a^2 − b^2 = ( a − b ) ( a + b )

Un trinomio cuadrado perfecto (TCP)

tiene la forma:

a^2 ± 2 ab + b^2 = ( a ± b )( a ± b )

Es decir, un TCP se puede escribir

como un binomio al cuadrado.

f) ax + bx + ay + by =

Cuadernillo de ejercicios/CURSO UNAM

EJERCICIO 4. Simplificación de expresiones algebraicas

( a^ −^ a b )

2 2 2

2

2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3

2 ax − 6 a 4 5 10 3 2 3 10 80

3 25

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

a a ab x − x +

x ax a x x − x − a b c

x y + 15 xy x n − n n − n n n n n x x x m n m n mn m

− 12 x +

• • (^) = −

Simplifica los siguientes conjuntos de expresiones usando factorización.

I. Simplifica las siguientes

fracciones algebraicas: 2 2

2

2 2 2 2

1 2 a (^) + 3 a 4 3 6 12 2 1 5 3

a)

b)

c)

d)

e)

f)

h)

i)

j)

x + y + x^ − y x − y a + x a − x a x a + x x x

a

a ab

a x x a a x ax a b a b ab ab (^) a b m n n a a − m mn na am

II. Efectúa las siguientes sumas algebraicas:

g) x^ −^ y^ + x^ +^ y + y^ − x =

III. Realiza las siguientes sumas

con denominador compuesto:

2 2

2

2 2

a)

b)

c)

d)

e)

a a x x x − y x + y a a a a x x (^) x ab a a − b a^^ + b

IDEAS O SUGERENCIAS

Recuerda que para simplificar una fracción algebraica

se descomponen en factores los polinomios todo lo

posible y se suprimen los factores comunes al

numerador y denominador.

Para hacer una suma de fracciones con denominadores

compuestos, primero se factorizan los denominadores

y luego se busca el m.c.m. de éstos.

Cuadernillo de ejercicios/CURSO UNAM

EJERCICIO 5. Ecuaciones de primer grado

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

x − 5 = x − x x x y + 6 y y x x x x

x +  − x − ( x + )  = x + − x −

x x − x x x x x x

− + x = x + x + − = y + +

• − 4 x − = − − − x + = − +

−  + (^) { − ( + )} = −

•  − + − +  = −− x + x + 

− { + − − + − −( 3 x + 2 )− ( 5 x + 4 ) − 29 } = − 5

Resuelve las ecuaciones presentadas en los siguientes conjuntos de ejercicios.

I. Hallar el valor de "x" en las siguientes ecuaciones enteras:

( ) 4 ( ) ) +^ )

( x^ ) ( )

( ) 2 5^2 −^ ( −^ )

( x^^4 ) 4 ( )

( (^) ( )

( ) ( x^ )

2 2

2 2 2 2

5 ( x 1 ) 1 6 ( 2 x ) 3 ( 2

2 x 3 − = 5 − 12

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

x x

x x x ( x x ( x

x x ) 5 ( 5 x )

x x x x x x x x x x x x x x

− − = x − − − + 5 = 301 + − 1 − − − − = 14 x − 3 x − 2 − (^)  + = − 1 + − − 2 = − 4 x + 10 − − − = x − x + 12

II. Resolver las siguientes ecuaciones:

( x − 3 )

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

x (^) x

x (^) − x

x (^) x x

x x x x (^) = x

x x x x

x x = 4 x − x x x

x − x

III. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

( x^ +^ )

2

2

2 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

x

x x

x x

x x

m m

x x x x (^) − x − x x x x x x x − x + x + 9 x − x x x

IV. Resolver las siguientes ecuaciones con denominador compuesto:

Matemáticas/Álgebra

EJERCICIO 6. Sistemas de ecuaciones simultáneas

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

x + 6 y = x − y

x

x + y =

x + y = x + y x x − y

x

y + x =

x y

y + x

x

 −^ y^ =−   x^ + y^ = −    x^ −^ y = −   = −

 +^ y^ =   =

 +^ y^ =−  −^ x^ + y^ = −    x^ −^ y^ =−  −^ y^ =  −^ x^ = − − = −  −^ x^ + y^ −^ = = 6 20 4 3 23

 −^^ y +   x^ = y^ −

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método indicado.

I. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

II. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

( x^ )

= 3 x − 1 2 3 52

12 2 36 8 5 7 9 6 3 6 1 1 3 7

3 2 2 2 5 7

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

y

x − y

x − = y −

x − = y +  x − 3 = y −

y y (^) x

x y

x − y

y x x − 5 y x y x − y

 x^ + y^ =  =   x^ +^ y =  

 (^) x = y +



 (^ +^ )^ =

−^ x^ − y^ =  =   x^ + y^ =  =   = −  = −   = −

j) x^ y x + y

III. Resuelve los siguientes sistemas

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

x y x y

x − y

x + y x − y

y + x x = y x − y

m

x + y = y − x a − b = a − b a + b

x − y

^ +^ =

 +^ =

 x^ + y^ =  −^ =   +^ =  x^ −^4 y =  (^) =   −   =

 +^ n^ =   n^ −^ m = −   −^ = −    = = −

j) y

 x^ −^ y^ = −

 − ( − x ) = y +

 x^ − =^ x −^ ( −

por el método más conveniente: (^) IDEAS O SUGERENCIAS

Para resolver un sistema de ecuaciones por el

método de reducción, los términos de cada

ecuación deben estar acomodados de la manera

siguiente:

1 1 1 2 2 2

a x + b y = c b y = c

 a x^ +

Así, será más fácil poder sumar o restar los

términos semejantes de cada ecuación.

Matemáticas/Álgebra

EJERCICIO 8. Operaciones con números complejos

a) b) c) d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k) l)

m)

n) o)

− ÷ − =

− ÷ − =

− ⋅ − ÷ − =

− ÷ − + − =

I. Simplifica las siguientes expresiones que involucran números imaginarios:

( i )

( ) i^ ( i^ )

( i^ ) ( i )

( i^ ) ( i )

( i )

f) g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

i

( 2 8 i ) 6 ( 3 i )

i ( − i )− i i

i

i (− 6 i i

( i ) ( i )

( i ) ( i )

− − i + − =

• =

p)

q)

r)

s) i t)

i i i i i i i i i i

+ 5 i )=

( i )^ ( i )

( ) ( i )

a) b) c) d)

e)

i i ) ( i )

i i

− + i + − = − + − 7 + − − = − − − + i =

− i + i − − i − i − =

II. Resuelve las siguientes operaciones con números complejos:

( ) ( i^ )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 4

4 5 3

4 5 8 7

7 3 2 5 4

7 5 3

6 3 5 4

6 4 5 7

6 12 4

12 7 3 4 5

3 7 5 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

i + i + i

i 5 i − i =

i i i i

i i

i i i i

i i i i

i + i i − i

i − 4 i 4 i i

i + i i + i + i

i i i i

• 3 i − − i + i =

• − + =

• − + =

• • =

− =

− =

− + + =

III. Simplifica las siguientes expresiones:

IDEAS O SUGERENCIAS

Recuerda que la unidad imaginaria se define como,

i = − 1 que es lo mismo que i^2^ = − 1

También recuerda que un número complejo z

consta de una parte real (a) y una imaginaria (bi).

En la forma rectangular, se expresa como:

z = a + bi

Cuadernillo de ejercicios/CURSO UNAM

EJERCICIO 9. Ecuaciones de segundo grado

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

a) b) c)

d)

e)

f) g)

h) i)

j)

x x x x

m − m

x = x

x x x x

x x x x

x x

• 8 x + 12 = − x + =
• • =

− =

Encuentra las raíces de las ecuaciones mostradas en cada grupo.

I. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones generales:

II. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado mixtas:

( x^ )

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2

2

a)

b)

c)

d) e)

f) g)

h)

i)

j)

x − 3 x =

x − x

x x

m m y y

a a a a

x x

x x

x x

III. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado puras: 2

2

2

2

2 2

2 2 2

2

2

a)

b)

c)

d)

e)

f) g) h)

i)

j)

x

m

x

h

x x

y m x

x

x

V. Resuelve las siguientes ecuaciones:

( x )

x )

) ( x^ )

( x^ ) ( ) ( +^ )

( )

2

2

2

2

2

2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

x x

x x

y y x x x − x

x

x x

x ( x

x x

x ( x x x

− = x^ −

− (^) + − =

x − − + 5 =

− − = −

IV. Resuelve las siguientes ecuaciones con raíces imaginarias:

( x )

2

2

2

2

2 2

2

2

a)

b)

c)

d)

e)

f) g)

h)

i)

j)

x

x x

m

x

x

x

m x x x x

• 4 x + =

• • =

• =

• =

− + =

− x − 125 =

• =

• = − (^) = −

IDEAS O SUGERENCIAS

Recuerda que existen varios métodos para resolver

una ecuación de segundo grado, uno de ellos es

utilizando la fórmula general:

x = − b^ ±^ b^ ac a

Nota: Para poder resolver una ecuación de segundo

grado es necesario que esté igualada a cero en

alguna de las siguientes tres formas:

ax^2^ + bx + c = 0 ax^2 + bx = 0 ax^2 + c = 0