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MAPLE, HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA EN ECONOMÍA,
CIENCIAS E INGENIERÍAS
J.C.R. Alcantud 1 , L.D. López-Matos^2 , C. Rodríguez-Palmero 3 [email protected], [email protected], [email protected]
(^1) Facultad de Economía y Empresa. Universidad de Salamanca. 37008 Salamanca, España.
(^2) Facultad de Ciencias Sociales y Jurídicas. Universidad Católica de Ávila. 05005 Ávila, España. (^3) Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Valladolid. 47011 Valladolid, España.
RESUMEN
En los últimos años se ha producido un renovado interés desde un punto de vista académico por la mejora de la calidad en la enseñanza universitaria como por la calidad en el aprendizaje. El objetivo de este trabajo es mostrar la potencialidad didáctica de MAPLE no sólo como herramienta docente en la didáctica de la estadística sino también como un instrumento de ayuda para la adquisición de determinados conceptos y procedimientos. El programa de cálculo simbólico MAPLE permitirá desarrollar en el aula una metodología "activa y heurística" de enseñanza-aprendizaje centrada en el alumno que tiene como objetivo lograr que el aprendizaje del alumno deje de ser simplemente mecánico o memorístico, pasando a ser un aprendizaje significativo basado en la teoría constructivista. La conclusión fundamental de nuestra experiencia en la enseñanza de la estadística con MAPLE es que la utilización de este programa matemático es un gran instrumento de ayuda para la adquisición de determinados conocimientos, facilitando, además, la capacidad de autoaprendizaje, el dinamismo y la automotivación que contribuyen, en definitiva, al aprendizaje significativo del estudiante.
PALABRAS CLAVE: estadística, probabilidad, MAPLE.
1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años los cambios que han existido en nuestra sociedad han estado estrechamente relacionados con la modernización del sistema económico. La Universidad ocupa un lugar de privilegio en ese proceso de continua renovación, concretamente en los sectores vinculados al desarrollo cultural, científico y técnico. Es por esto por lo que la formación y el conocimiento son factores clave en este contexto de innovación tecnológica continua, en el que el impacto de la transferencia y utilización de las nuevas tecnologías depende de la capacidad de absorción de la población estudiantil. La nueva sociedad demanda profesionales con el elevado nivel cultural, científico y técnico que sólo la enseñanza universitaria es capaz de proporcionar. Los efectos de las mejoras en el stock de conocimientos de estos estudiantes dependen de la escala de aprendizaje alcanzado y de las capacidades y destrezas que incorporan los estudiantes al pasar de un curso a otro. Si la enseñanza-aprendizaje en las aulas universitarias se considera como una inversión en capital-humano, entonces la evaluación de los avances en el aprendizaje y cambios en las técnicas de enseñanza tienen una gran relevancia práctica y social.
La preocupación por los aspectos relacionados con el proceso enseñanza-aprendizaje y las dificultades que habitualmente muestra el alumnado en el aprendizaje de las diferentes asignaturas de carácter cuantitativo que se imparten en las carreras de economía, ciencias e ingenierías nos ha llevado a explorar las ventajas e inconvenientes de utilizar un programa de cálculo matemático como MAPLE en la didáctica de la estadística matemática e inferencial. El objetivo de este trabajo es analizar las posibilidades que ofrece el programa de cálculo simbólico MAPLE como herramienta para la didáctica de la estadística. El uso de herramientas informáticas como MAPLE en la docencia de la estadística permite un enfoque más experimental del proceso de aprendizaje, facilitando que el alumno explore distintas posibilidades mediante la realización de cálculos, gráficos o desarrollos algebraicos que, manualmente, sería inabordables, de tal forma que el alumno puede centrarse más en el estudio de las distintas metodologías de trabajo. El trabajo está organizado como sigue: en la primera sección presentamos una breve introducción sobre el manejo del
programa de cálculo simbólico MAPLE. En la siguiente sección exponemos la metodología didáctica empleada en el aula en la enseñanza de la estadística para, a continuación, en la sección 3 presentar algunas aplicaciones prácticas. Finalmente, en la sección 4 mostraremos las principales conclusiones derivadas de nuestra experiencia docente.
2. INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO MAPLE
MAPLE es un sistema de cálculo matemático: simbólico, numérico y gráfico, que se viene desarrollado desde 1980 en la Universidad de Waterloo, Canadá. Su nombre proviene de las palabras MAthematical PLEasure. La principal característica de MAPLE es que permite realizar cálculos simbólicos 1 , además de contar con un gran conjunto de herramientas gráficas que permiten visualizar los resultados obtenidos. Este programa de cálculo simbólico permite, además, realizar documentos técnicos, dado que el usuario puede crear hojas de trabajo interactivas basadas en cálculos matemáticos en las que puede cambiar un dato o una ecuación y actualizar todas las soluciones inmediatamente. Además, este programa cuenta con la posibilidad de traducir y exportar documentos realizados a otros formatos como HTML, RTF, LaTEX y XML.
MAPLE posee una estructura modular, compuesta por los siguientes elementos:
- El interface del usuario (Iris): Escrito en el lenguaje de programación C, se encarga de la entrada y análisis de las expresiones matemáticas, presentación en pantalla de las mismas, representación de gráficas y soporte para la comunicación entre el usuario y el sistema.
- El núcleo algebraico del sistema (kernel): Escrito también en C, interpreta la entrada y se ocupa de las operaciones algebraicas básicas. Se carga en memoria, junto con el interface, al arrancar el sistema.
- La biblioteca: Este elemento contiene más de 3000 comandos, la mayor parte de los cuáles están agrupados en diferentes librerías temáticas, compuestas por funciones^2 , que se cargan automáticamente al ser llamadas. Las restantes funciones deben ser cargadas explícitamente por el usuario antes de ser utilizadas. El comando with(library) cara en memoria toda la librería especificada.
- El lenguaje de programación: Para resolver diferentes problemas específicos, cuya solución no se halla en la biblioteca, el usuario dispone del lenguaje de programación de alto nivel MAPLE, similar al lenguaje de programación Fortran 90 o al C, pero dotado de las estructuras de datos y de control necesarias para manipular objetos de tipo matemático. Los algoritmos implementados en este lenguaje poseen la misma funcionalidad, eficiencia e integración en el sistema que las funciones de la biblioteca, dado que ésta también está escrita en ese lenguaje.
Para empezar una sesión de MAPLE se hace clic en el icono MAPLE , en la carpeta del mismo nombre (o su “alias”, en el escritorio). Después aparece la ventana de trabajo, similar a la de muchas otras aplicaciones de Windows. En la primera línea aparece el prompt, el carácter “mayor que” (>), de MAPLE. Todas las sentencias terminan^3 con un carácter punto y coma (;). Cabe señalar que si no se termina la sentencia con el carácter punto y coma, y se pulsa Intro, el programa seguirá esperando a que se complete la instrucción. A medida que se van ejecutando comandos en la hoja de trabajo, MAPLE va creando variables, almacenando resultados intermedios, etc. Al estado del programa en un determinado momento de trabajo se le llama estado interno^4 del programa, que contiene las variables definidas por el usuario, modificaciones de los valores por defecto, resultados anteriores e intermedios, etc.
El programa de cálculo simbólico MAPLE reconoce las constantes, operadores aritméticos y funciones matemáticas, y trabaja con números enteros con un número de cifras arbitrario. También puede trabajar con números racionales e irracionales, intentando siempre evitar operaciones aritméticas que introduzcan errores. Si en una sentencia uno de los números tiene un punto decimal, MAPLE calcula todo en aritmética de punto flotante. Por defecto se utiliza una precisión de 10 cifras decimales. La precisión en los cálculos de punto flotante se controla con la variable Digits. Por otra parte, la función evalf permite forzar la evaluación en punto flotante de cualquier expresión, como podemos apreciar a continuación:
1 Un sistema de cálculo simbólico es un conjunto de herramientas informáticas que desarrollan conceptos matemáticos sin tener que sustituir numéricamente las variables, permitiendo realizar las operaciones de forma simbólica. Estas herramientas, en general, tienen una gran capacidad de análisis y representación gráfica, lo que permite despreocuparse de los desarrollos matemáticos para centrarse en los resultados y en su interpretación. 2 Estas funciones residen en ficheros, y se cargan en memoria a medida que se necesitan, casi siempre de modo automático. 3 También se puede utilizar el carácter dos puntos (:) como terminación de línea, pero en este caso no se imprime ninguna salida en la pantalla. 4 En Maple, el usuario puede moverse por toda la hoja de trabajo, situando el cursor en cualquier línea, ejecutando comandos en cualquier orden, editando y volviendo a ejecutar sentencias anteriores, insertando otras nuevas, etc. Es evidente que eso puede modificar el estado interno del programa, y por tanto afectar al resultado de alguna de esas sentencias que dependa de ese estado. Es importante reseñar que el comando restart permite, en cualquier momento, volver al estado interno inicial.
resolución de problemas. Esto permite eliminar el aprendizaje "memorístico" o "mecánico" que permite al alumno prescindir de la parte mecánica de cada problema y dedicar más tiempo al análisis de los conceptos que intervienen y de las soluciones resultantes. En este sentido, se han revisado los contenidos de cada asignatura, pues tareas que nos llevaban antes a pararnos en la resolución manual de algunos ejercicios, cuyos cálculos concretos se escapaban del objetivo de nuestra asignatura, pero que eran necesarios para poder realizar el problema, ahora se pueden desarrollar con ayuda del ordenador, dedicando nuestra energía a interpretar dichos resultados. Este hecho pone de manifiesto la necesidad de complementar la docencia tradicional de nuestras disciplinas con prácticas en el aula de informática, dónde por un lado, se soslaye el tratamiento más mecánico de los problemas, y por otro lado, obligue al profesor y a los alumnos, a la captación de los conceptos y técnicas desde otro enfoque, forzando a analizar el concepto con los aspectos matemáticos, económicos y computacionales del mismo y enriqueciendo la docencia y el aprendizaje, puesto que el ordenador no sustituye a ningún otro elemento, sino que se trata de un instrumento complementario, y sin olvidar que los resultados de ordenador sólo son válidos si existe una buena teoría que los sustente. Finalmente, se han propuesto diferentes trabajos en grupo que han permitido el diálogo, la participación, la interacción y el planteamiento de diferentes estrategias en la resolución de problemas entre los estudiantes, respondiendo sus acciones al modelo constructivista de enseñanza-aprendizaje.
Esta “nueva” metolodogía docente permite que el alumno aumente su motivación6 intrínseca por el aprendizaje que, como es de sobra conocido, influye de manera directa en el aprendizaje del estudiante universitario. La automotivación, la capacidad de autoaprendizaje, el dinamismo de las clases y la resolución en tiempo real de diferentes modelos económicos son algunos de los aspectos positivos señalados por el alumnado en esta “nueva” metodología docente. Los alumnos aumentan su motivación por el aprendizaje al comprobar que se pueden manejar operativamente con los diferentes conceptos “a priori” abstractos. En la siguiente sección presentamos algunos ejemplos que muestran la utilidad y potencialidad del programa de cálculo simbólico MAPLE en la enseñanza de la estadística.
4. EJEMPLOS PRACTICOS
Es ampliamente conocido que uno de los objetivos del Cálculo de Probabilidades es determinar distribuciones que puedan servir de modelos a los distintos fenómenos aleatorios que se presentan en las diferentes disciplinas: ingeniería, medicina, economía, etc. En numerosas ocasiones muchas variables aleatorias asociadas a experimentos estadísticos se comportan según una distribución tipo, lo que hace necesario realizar un estudio individual de cada una de las distribuciones clásicas en la docencia de la estadística. El package stats del programa MAPLE permite trabajar tanto numérica como gráficamente con las principales distribuciones de probabilidad. Una de las distribuciones más importantes, con ramificaciones en toda la teoría clásica de la probabilidad, es la distribución de Poisson. Esta distribución está presente en muchos experimentos estadísticos tales como el número de partículas α emitidas por una sustancia radiactiva que llega a una porción dada del espacio durante el tiempo t, el intercambio de cromosomas que se producen por irradiación de los rayos X, el número de accidentes laborales diarios en una fábrica, el número de llamadas a una centralita telefónica, etc. Para más detalles sobre la importancia de la distribución de Poisson véanse, entre otros, los trabajos de Catcheside, D; Leal, D. & Thoday, J. (1946) y Thorndike, F. (1926). La siguiente secuencia de sentencias en MAPLE nos permiten definir las funciones de probabilidad y de distribución de la distribución de Poisson, representar gráficamente estas funciones y comprobar como el parámetro λ de la distribución de Poisson coincide con la esperanza y la varianza de dicha distribución.
> restart: with(student): with(stats): with(plots): > plot([seq([i,poispmf(i,10)],i=0..30)],style=point,colour=blue); > poiscdf:=(x,lambda)->statevalfdcdf,poisson[lambda]; > plot([seq([i,poiscdf(i,10)],i=0..20)],style=point,colour=blue); > poispmf(2,10): poiscdf(2,10): evalf(sum(poispmf(r,10),r=0..infinity)): > asume(x, integer): P(X=x):=exp(-lambda)(lambda^x/x!): > Sum(xP(X=x),x=0..infinity)=sum(xP(X=x),x=0..infinity); E:=sum(xP(X=x),x=0..infinity): > E2:=sum(x^2P(X=x),x=0..infinity): Var:=E2-E^2; simplify(Var):*
6 Para un análisis más detallado sobre la importancia de la teoría de la motivación en el proceso de enseñanza-aprendizaje véase [aaa] (“Motivación Querer aprender” de Juan Antonio Huertas, 2001) (^).
Figura 1: Función de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria X → P ( 10 )
Como hemos señalado con anterioridad, MAPLE permite trabajar numéricamente con las distribuciones de probabilidad.
Supongamos, por ejemplo, que X es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución binomial, B ( n , p ),
de parámetros n , p , y deseamos calcular la probabilidad de que X sea menor que 48 sabiendo que n^ =^100 y su media
igual a 50. Para ello, debemos calcular el valor del parámetro p^ a partir de los datos del problema. Una vez hallado el
valor de p, estaremos en condiciones de calcular ( ) ∑ ( )(^ )
−
− − ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ < =
1 1
1
k k
pk^ p n k k
n P X k para todo k natural. Obsérvese como la
probabilidad pedida es difícil de obtener sin ayuda7 computacional. Es ampliamente conocido que como toda variable aleatoria con distribución binomial se puede escribir como suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una distribución de Bernoulli de parámetro p.
=
=
n i
X Xi 1
tal que ⎩
⎨
⎧ −
= 0 1 ( )
1 ( ) p fracaso
p éxito X (^) i (1)
es posible aplicar el teorema central del límite para resolver el ejercicio con lápiz y papel. Nótese que
25
48 50 25
50 1
48 1
(^480) ⎟⎟≈ − = ⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ (^) − < − ⎟⎟= ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− < −
− < = φ X P np p
np np p
X np P X P (2)
El programa de cálculo simbólico MAPLE permitirá obtener de manera inmediata la probabilidad pedida, analizar el error que se comete al utilizar la distribución normal como aproximación a la distribución binomial y experimentar,
variando los parámetros n y p, la convergencia asintótica de la distribución binomial B ( n , p )con la distribución normal
N ( np , np ( 1 − p )). Los siguientes comandos de MAPLE permitirán encontrar la solución a la cuestión planteada, además
de cuantificar el error que se produciría si considerásemos la aproximación de la distribución binomial a la normal.
> restart: with(student): with(stats): with(plots): B:=(n,p,k)-> (n!/(k!(n-k)!))p^k(1-p)^(n-k); > E:=Sum(k(n!/(k!(n-k)!))p^k(1-p)^(n-k), k=1..n)=sum(k(n!/(k!(n-k)!))p^k(1-p)^(n-k), k=1..n); n:=100: solve(sum(kbinomial(n,k)p^k(1-p)^(n-k), k=1..n)-50=0, p); > P(X<48):=Sum(binomial(n,k)p^k(1-p)^(n-k), k=1..47)=sum(binomial(n,k)p^k(1-p)^(n-k), k=1..47); evalf(%); mu:=np; sigma:=sqrt(np(1-p)); > normcdf:=(x,mu,sigma)->statevalfcdf,normald[mu,sigma]; normcdf(48,mu,sigma); normcdf((48-50)/5,0,1);*
Por otra parte cabe señalar que el alumno puede estudiar, de una manera “activa y heurística”, cómo se verifican en la realidad estas propiedades inherentes a las distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, el estudiante puede utilizar el comando animate para observar como la función de densidad de la distribución t-student, simétrica respecto al origen de
coordenadas y algo más aplastada cerca del origen que la función de densidad de la distribución N ( 0 , 1 )., al aumentar los
grados de libertad, su perfil se hace más y más parecido a la N ( 0 , 1 ).y cómo para n>30 son prácticamente indistinguibles.
Los siguientes comandos MAPLE permiten visualizar estas propiedades de la t-student y observar de manera visual cómo la distribución t-student se aproxima a la distribución normal a medida que se aumentan los grados de libertad.
> nu:=integer(mu): stud:=(x,mu)->statevalfpdf,studentst[mu]: > normpdf:=(x,mu,sigma)->statevalfpdf,normald[mu,sigma]:
(^7) Para n ≤ 50 véase Nacional Bureau of Standard, Tables of the binomial probability distribution, Applied Mathemaics Series, Vol. 6 (1950). Para
50 ≤ n ≤ 100 ,véase H.C.Roming, 50-100 Binomial Tables, New York (john Wiley and Sons), 1953.
representar gráficamente dichas funciones, realizar un análisis de varianza, resolver modelos de regresión, etc. Para finalizar esta breve exposición sobre la potencialidad del MAPLE en el estudio de las variables aleatorias bidimensionales. Los siguientes comandos de MAPLE permiten determinar el valor del parámetro real k para que la función
⎩
⎨
⎧ + < < < <
enotrocaso
kx y x y f (^) XY xy 0
2 0 2 , 0 2 , (3)
sea la función de densidad de una variable aleatoria ( X , Y )bidimensional continua. Para ese valor de k calculamos sus
funciones de densidad marginales y la recta de regresión de Y sobre X que, como es ampliamente conocido, expresa la relación de dependencia lineal entre estas variables aleatorias.
> fX,Y:=(x,y,k)-> if (x>0) and (x<2) and (y>0) and (y<2) then k(x+2y) else 0 end if: Int(Int(k(x+2y),x=0..2),y=0..2)=int(int(k(x+2y),x=0..2),y=0..2); > solve(int(int(k(x+2y),x=0..2),y=0..2)=1,k): k:=solve(int(int(k(x+2y),x=0..2),y=0..2)=1,k); > Int(k(x+2y),y=0..2)=int(k(x+2y),y=0..2): fx:=int(k(x+2y),y=0..2): f[X]:=unapply(fx,x); > Int(k(x+2y),x=0..2)=int(k(x+2y),x=0..2): fy:=int(k(x+2y),x=0..2): f[Y]:=unapply(fy,y); > E[X]:=int(xfX,x=0..2): E[Y]:=int(yfY,y=0..2): > E2[X]:=int((x^2)fX,x=0..2): E2[Y]:=int((y^2)fY,y=0..2): > Var[X]:=E2[X]-E[X]^2: Var[Y]:=E2[Y]-E[Y]^2: E2[Y]:=int((y^2)fY,y=0..2): > E[XY]:=int(int(xy(k(x+2y)),y=0..2),x=0..2): Cov[XY]:=E[XY]-E[X]E[Y]: >rho:=Cov[XY]/(sqrt(Var[X]Var[Y])): evalf(%):regresion:=Y-E[Y]=(Cov[XY]/Var[X])(X-E[X]);**
Por otra parte, cabe resaltar que este programa de cálculo matemático permite representar gráficamente funciones o las soluciones de ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales de una manera muy sencilla. Los siguientes comandos
permiten representar gráficamente tanto la función de densidad como las curvas de nivel de una distribución ( X , Y )
normal bidimensional. El comando animate3d muestra las variaciones de la función de densidad cuando varía el
parámetro ρ que representa el coeficiente de correlación parcial de Pearson de la variable aleatoria ( X , Y ).
> restart: with(stats): with(plots): > f:=(x,y,mx,my,sx,sy,rho)->(1/(2Pisxsysqrt(1-rho^2)))exp( (-((x-mx)/sx)^2+2rho((y-my)/sy)((x-mx)/sx)-((y- my)/sy)^2) /(2(1-rho)^2) ); > contourplot(f(x,y,0,0,1,1,-0.2),x=-5..5,y=-5..5,grid=[40,40]); > animate3d(f(x,y,0,0,1,1,rho),x=-8..8,y=-8..8,rho=-0.5..0.50,frames=20,grid=[30,30]); > xmargin:=int(f(x,y,0,0,1,1,0.8),y=-infinity..infinity): plot(xmargin,x=-4..4, colour=blue); > ymargin:=int(f(x,y,0,0,1,1,0.8),x=-infinity..infinity): volume:=int(xmargin,x=-infinity..infinity): > plot3d(f(x,y,0,0,1,1,0.8),x=-4..4,y=-4..4,grid=[40,40]): > plot(f(x,1,0,0,1,1,0.8),x=-4..4): plot(xmargin,x=-4..4): plot(ymargin,y=-4..4): > int(f(x,1,0,0,1,1,0.8),x=-infinity..infinity): mx:=1: my:=3: sx:=2: sy:=3: rho:=-0.8: > plot3d(f(x,y,mx,my,sx,sy,0),x=-8..8,y=-8..8,style=PATCH, axes=BOXED);*
Figura 3: Función de densidad y curvas de nivel de una distribución normal multidimensional.
Finalmente, queremos reseñar que MAPLE se puede utilizar en la enseñanza de todas las materias de carácter cuantitativo que se imparten en nuestras facultades y en la investigación económica, dado que, como hemos señalado con anterioridad, este programa cuenta con un lenguaje de programación propio similar al los lenguajes de programación de alto nivel Fortran 90, C o C++ que permiten resolver cualquier problema económico o financiero sujeto a una modelización numérica. Para más detalles sobre el programa de cálculo simbólico MAPLE y sus aplicaciones en la economía y en la modelización económica véanse [1], [2], [4] , [5] o [6] entre otros.
5. CONCLUSIONES
El programa de cálculo simbólico MAPLE como herramienta de trabajo en la docencia de la Estadística permite que muchas de las tareas mecánicas bastante complejas que el alumno desarrollaba a mano, puedan realizarse de manera eficiente en un aula de informática, de tal forma que el alumno puede emplear más tiempo en la asimilación de los conceptos y en el aprendizaje de las diferentes metodologías de trabajo. La utilización de MAPLE como herramienta docente en esta asignatura ha contribuido, según nuestra propia experiencia, a una mejor comprensión de la teoría por parte del alumno dado que el alumno, al emplear menos tiempo en tareas rutinarias y mecánicas, puede centrar su atención en las fases de planteamiento, de formalización y de “concreción” de los diferentes problemas planteados en las clases.
Esta nueva didáctica de la estadística, centrada en el aprendizaje de los estudiantes, es una metodología “activa y heurística” en la que el alumno se convierte en el principal responsable de su propia formación. El alumno puede experimentar por sí mismo, e intentar comprobar sus propias intuiciones y las relaciones a priori del problema estudiado. Como consecuencia de ello, el aprendizaje del alumno con este “nuevo” método docente no se reduce exclusivamente a una programación memorística y mecánica de los conocimientos necesarios para superar la asignatura.
Para finalizar queremos resaltar un par de cuestiones: en primer lugar que con esta nueva metodología docente, el alumno no pierde la facilidad de uso de ciertas habilidades básicas que proporcionan los cursos tradicionales de matemáticas, dado que siguen estando presentes en todo el proceso de enseñanza-aprendizaje. En segundo lugar, que a pesar de que la utilización de MAPLE no está muy extendida como herramienta didáctica entre los profesores y estudiantes en las Facultades de Economía y Empresa, este programa permite la resolución de numerosos problemas en nuestras disciplinas y constituye una herramienta fundamental en la investigación económica.
REFERENCIAS
[1] Abell, M. & Braselton, J. Maple by Example, 3rd Edition. Academic Press, 2002.
[2] Abell, M; Braselton, J. & Rafter, J. Statistics with Maple. Elsevier Science & Technology, 2002.
[3] Catcheside, D; Leal, D. & Thoday, J. Types of chromosome structural change induced by the irradiation of Tradescantia microspores. Journal of Genetics, Vol. 47, p. 113-116, 1946.
[4] Karian, Z. & Tanis, E. Probability and Statistics Explorations with Maple, Second Edition. Prentice Hall, 1999.
[5] Prisman, E. Pricing Derivative Securities. Elsevier Academic Press, 2000.
[6] Roe, B. Probability and Statistics in Experimental Physics (Corrected Third Edition). Springer-Verlag, 1992.
[7] Thorndike, F. Applications of Poisson’s probability summation. The Bell System Technical Journal, Vol. 5, p. 604- 624, 1926.
