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examen final
Tipo: Exámenes
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eman ta zabal zazu
ESTAD´ISTICA APLICADA A LA EMPRESA - Segundo Curso (GADE) Curso 2015- ESTAD´ISTICA APLICADA AL MARKETING E I.M. - Segundo Curso (GM) ESTAD´ISTICA APLICADA A LA EMPRESA - Tercer Curso (DOBLE GRADO ADE + DERECHO) Convocatoria de Mayo. 27-05-
i=1 Xi, entonces^ P^ (Y^ ≤^ 91) es, aproximadamente: (A) 0. 5948 (B) 0. 0047 (C) 0. 1583 (D) 0. 9953 (E) 0. 4052
Las cuestiones 12 a 15 hacen referencia al siguiente enunciado: Sean X, Y , Z y V v.a. independientes entre s´ı y con las siguientes distribuciones de probabilidad: X ∈ N (0, 4), Y ∈ N (0, 1), Z ∈ γ( 12 , 3) y V ∈ χ^210.
(A) 0.90 (B) 0. 05 (C) 0. 975 (D) 0. 10 (E) 0. 95
√ 10 X 2 √ V tome valores menores o iguales que 1.37 es: (A) 0. 20 (B) 0. 90 (C) 0. 80 (D) 0. 10 (E) 0. 95
(^2) ) 7 V , entonces el valor de^ k^ tal que^ P^ (W^3 ≥^ k) = 0.90 es: (A) 0. 55 (B) 2. 70 (C) 0. 41 (D) 2. 41 (E) 0. 37
(A) 16. 0 (B) 18. 3 (C) 9. 34 (D) 12. 5 (E) 13. 7
(A) − 6. 31 (B) − 1. 376 (C) 3. 08 (D) − 3. 08 (E) 1. 376
Las cuestiones 17 y 18 hacen referencia al siguiente enunciado: Sea X una v.a. discreta cuya funci´on de cuant´ıa viene dada por:
3 θ 2
θ 2
P (X = 2) = 1 − 2 θ
Para estimar el par´ametro θ se ha tomado una m.a.s. de tama˜no n, X 1 , X 2 ,... , Xn.
Las cuestiones 19 a 22 hacen referencia al siguiente enunciado: Sea X una v.a. que sigue una distribuci´on uniforme U (2θ − 1 , 2 θ + 1). Se sabe que la media y varianza de esta v.a. son 2θ y 13 , respectivamente. Se desea estimar el par´ametro θ y para ello se toma una m.a.s. de tama˜no n, X 1 ,... , Xn.
(A) X 2 (B) 4X (C) X (D) X 4 (E) 2X
(A) No (B) - (C) - (D) S´ı (E) -
(A) θ (B) θ + 4 (C) 0 (D) θ + 2 (E) θ^2 + 4
(A) (^121) n (B) (^43) n (C) 121 (D) (^23) n (E) (^61) n
Las cuestiones 23 y 24 hacen referencia al siguiente enunciado: Sea X una v.a. con funci´on de densidad:
f (x, θ) = θ(θ + 1)x(1 − x)θ−^1 , 0 < x < 1 , θ > 0
Se quiere contrastar la hip´otesis nula H 0 : θ = 1 frente a la alternativa H 1 : θ = 2 a partir de una m.a.s. de tama˜no n = 1, X 1.
(A) (0, 0 .20] (B) [0. 20 , 1) (C) (0, 0 .04] (D) [0. 04 , 0 .96]C^ (E) [0. 04 , 0 .96]
(A) 0. 90 (B) 0. 15 (C) 0. 10 (D) 0. 96 (E) 0. 80
Las cuestiones 25 y 26 hacen referencia al siguiente enunciado: Sea X una v.a. con distribuci´on de Poisson de par´ametro λ, P(λ), λ > 0. Para contrastar H 0 : λ = 0. 5 frente a H 1 : λ = 0.9, se toma una m.a.s. de tama˜no n = 10 y se utiliza como estad´ıstico de contraste Z =
i=1 Xi.
(A) Z ≤ 8 (B) Z ≥ 9 (C) Z ≥ 8 (D) Z ≤ 9 (E) Z ≥ 7
(A) 0. 4126 (B) 0. 3239 (C) 0. 4557 (D) 0. 5874 (E) 0. 5443
PROBLEMAS (Duraci´on: 75 minutos)
A. (10 puntos, 25 minutos)
Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente funci´on de densidad de probabilidad:
f (x, θ) =
3 θ^3 x
(^2) si x ∈ [0, θ]
0 en otro caso
Para estimar el par´ametro θ se ha tomado una m.a.s. de tama˜no n, X 1 ,... , Xn. i) Obt´en detalladamente el estimador de θ por el m´etodo de los momentos.
ii) ¿Es este estimador insesgado? Sabiendo que la varianza de la v.a. X es σ^2 X =
θ^2 , ¿es dicho estimador consistente? Razona tu respuesta.
B. (10 puntos, 25 minutos)
Sea X 1 ,... , Xn una m.a.s. de tama˜no n = 15 tomada de una poblaci´on binaria b(p). Queremos contrastar la hip´otesis nula H 0 : p = 0.50 frente a la hip´otesis alternativa H 1 : p = 0.30. i) Deduce la forma de la regi´on cr´ıtica de mayor potencia para dicho contraste. ii) Al nivel de significaci´on del 5%, calcula la regi´on cr´ıtica del contraste. iii) ¿Cu´al es la potencia del contraste?
C. (10 puntos, 25 minutos)
Una empresa quiere comercializar cuatro tipos de dispositivos multimedia y tiene la siguiente informaci´on:
Tipo I II III IV
Probabilidades θ^3 (1 − θ)^3 3 θ(1 − θ)^2 3 θ^2 (1 − θ)
i) Para estimar estas probabilidades se ha tomado una m.a.s. de 80 personas que ha arrojado los siguientes resultados: 12 personas compraron dispositivos multimedia del tipo I; 38 personas compraron dispositivos del tipo II; 16 personas compraron dispositivos del tipo III y 14 personas compraron dispositivos del tipo IV. Demostrar de forma detallada que la estimaci´on del par´ametro θ por el m´etodo de m´axima verosimilitud es θˆMV = 13. ii) Contrastar al nivel de significaci´on del 5% si la distribuci´on de probabilidades que tiene la empresa es la correcta. Nota: Resolver este ejercicio sin agrupar clases.
SOLUCIONES DEL CUESTIONARIO (tipo 0)
y
L(~x; p 1 ) = L(~x; p = 0.30) = (0.30)Σ
ni=1xi (1 − 0 .30)n−Σ
ni=1xi ,
respectivamente. Por tanto, si aplicamos el Teorema de Neyman-Pearson, tendremos que:
L(~x; po) L(~x; p 1 )
ni=1xi (1 − 0 .50)n−Σ ni=1xi
(0.30)Σ ni=1xi (1 − 0 .30)n−Σ ni=1xi ≤^ K, K >^0
]Σni=1xi [ (1 − 0 .50) (1 − 0 .30)
]n ≤ K
]Σni=1xi ≤ K 1 , K 1 > 0
Tomando logaritmos neperianos, tenemos que:
( (^) n ∑
i=
xi
ln
Ahora, como 0. 50 > 0 .30 y, adem´as, (1 − 0 .30) > (1 − 0 .50), el logaritmo es positivo, por lo que tendremos que la regla de decisi´on ser´a rechazar la hip´otesis nula si
∑n i=1 Xi^ ≤^ C. Por tanto, la forma de la regi´on cr´ıtica de mayor potencia para el estad´ıstico de contraste Z =
∑n i=1 Xi^ ser´a RC = [0, C].
ii) Al nivel de significaci´on α = 0.05, teniendo en cuenta que Z =
∑n i=1 Xi^ ∈^ b(p,^ 15), tendremos que:
α = 0. 05 ≥ P [Z ∈ RC|H 0 ] = P [Z ≤ C|Z ∈ b(0. 50 , 15)] = FZ (C)
Es decir, rechazamos la hip´otesis nula si Z =
∑n i=1 Xi^ ≤^ 3.
iii) Para calcular la potencia tendremos que:
Pot = P [Z ∈ RC|H 1 ] = P [Z ≤ 3 |Z ∈ b(0. 30 , 15)] = FZ (3) = 0. 2969.
Problema C
Se trata de un contraste de bondad de ajuste a una distribuci´on parcialmente especificada. Los datos son los que aparecen a continuaci´on:
Tipo I II III IV
Probabilidades θ^3 (1 − θ)^3 3 θ(1 − θ)^2 3 θ^2 (1 − θ)
i) Se ha tomado una m.a.s. de 80 personas que ha arrojado los siguientes resultados: 12 personas compraron dispositivos multimedia del tipo I; 38 personas compraron dispositivos del tipo II; 16 personas compraron dispos- itivos del tipo III y 14 personas compraron dispositivos del tipo IV (n = 80). Para estimar el par´ametro θ por el m´etodo de m´axima verosimilitud, tenemos que la funci´on de verosimilitud ser´a:
L(θ) =
θ^3
(1 − θ)^3
3 θ(1 − θ)^2
3 θ^2 (1 − θ)
= 3^30 θ^80 (1 − θ)^160
Tomando logaritmos neperianos, tendremos que:
ln L(θ) = 30 ln(3) + 80 ln(θ) + 160 ln(1 − θ)
Tomando derivadas e igualando a cero para maximizar la funci´on de verosimilitud:
∂ ln L(θ) ∂θ
θ
(1 − θ)
= 0 =⇒ 80(1 − θ) = 160θ =⇒ 80 = 240θ =⇒ θˆMV =
ii) Contraste de bondad de ajuste a una distribuci´on parcialmente especificada.
En primer lugar, tenemos que las probabilidades estimadas, ˆpi de cada uno de los tipos de dispositivos multimedia ser´an:
Dado que hemos estimado el par´ametro θ, tenemos que h = 1. Adem´as, como tenemos cuatro tipos de dispositivos multimedia, k = 4. Con estos datos y para realizar el contraste, construimos la tabla:
ni pˆi npˆi (ni−npˆi)
2 npˆi
Tipo I 12 0.0370 2.960 27.
Tipo II 38 0.2963 23.704 8.
Tipo III 16 0.4444 35.552 10.
Tipo IV 14 0.2222 17.776 0.
n = 80 ' 1 n ' 80 z = 47. 78
Bajo la hip´otesis nula de que la distribuci´on de probabilidades que tiene la empresa es la correcta, el estad´ıstico ∑ i
(ni−npˆi)^2 n pˆi ∼^ χ
2 k−h− 1 , donde^ k^ es el n´umero de tipos de dispositivos multimedia (k^ = 4) y^ h^ es el n´umero de par´ametros estimados (h = 1).
La regla de decisi´on es rechazar la hip´otesis nula al nivel de significaci´on aproximado del 5% si:
z > χ^2 k−h− 1 , 0. 05 = χ^22 , 0. 05
En este caso: z = 47. 78 > 5 .99 = χ^22 , 0. 05
por lo que, a un nivel de significaci´on aproximado del 5%, se rechaza la hip´otesis nula de que la distribuci´on de probabilidades de los tipos de dispositivos multimedia de la empresa es la correcta.
CUESTIONES (Duraci´on: 1 hora 45 minutos)
(A) Par´ıs (B) Sebastopol (C) Madrid (D) Londres (E) Pek´ın
Las cuestiones 2 a 4 hacen referencia al siguiente enunciado: Se sabe que en una determinada poblaci´on el 40% de las personas asisti´o m´as de tres veces al cine durante el ´ultimo a˜no.
Las cuestiones 6 y 7 hacen referencia al siguiente enunciado: El n´umero de unidades demandadas al d´ıa de un determinado producto sigue una distribuci´on de Poisson de media 3. Se asume independencia entre las demandas en los distintos d´ıas.
(A) 0. 82 (B) 0. 26 (C) 0. 78 (D) 0. 63 (E) 0. 74
Las cuestiones 9 y 10 hacen referencia al siguiente enunciado: Sea X una variable aleatoria con distribuci´on γ(1, 5).
(A) 6. 63 (B) 20. 50 (C) 12. 50 (D) 6. 74 (E) 12. 80
Las cuestiones 11 a 13 hacen referencia al siguiente enunciado: Sean X 1 , X 2 , X 3 y X 4 v.a. independientes entre s´ı y con las siguientes distribuciones: X 1 ∈ N (0, σ^2 = 1), X 2 ∈ N (3, σ^2 = 9), X 3 ∈ N (0, σ^2 = 9) y X 4 ∈ N (2, σ^2 = 4).
pertenezca al intervalo (0. 575 , 5 .99) es:
(A) 0. 05 (B) 0. 70 (C) 0. 75 (D) 0. 80 (E) 0. 30
. El valor k tal que P (Z > k) = 0.05 es:
X 2 − 3 3
2
) 2 sea mayor que 1.89 es:
Las cuestiones 14 y 15 hacen referencia al siguiente enunciado: Se tiene una poblaci´on con la siguiente distribuci´on de probabilidades: P (1) = λ, P (2) = λ 4 , P (3) = 1− 54 λ. Para estimar el par´ametro λ se toma una m.a.s. de tama˜no n=10 que ha dado los siguientes resultados: 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 3.
(A) 0. 170 (B) 0. 622 (C) 0. 325 (D) 0. 444 (E) 0. 640
(A) 0. 622 (B) 0. 640 (C) 0. 170 (D) 0. 444 (E) 0. 325
Las cuestiones 27 y 28 hacen referencia al siguiente enunciado: Una empresa que fabrica tablets asegura que como mucho el 11% de sus productos resultan defectuosos, debiendo por ello ser repuestos. Para contrastar dicha afirmaci´on se toma una m.a.s. de 200 tablets de las que 30 resultaron ser defectuosas.
(A) No se rechaza (B) - (C) - (D) - (E) Se rechaza
Las cuestiones 29 y 30 hacen referencia al siguiente enunciado: En un estudio sobre ocio se quiere estimar el gasto medio mensual en euros por asistir al cine. Para ello se ha subdividido la poblaci´on en dos grupos de edades diferentes. El primer grupo de edad es el de individuos de menos de 35 a¯nos y el segundo grupo el de individuos con 35 o m´as a˜nos. Los tama˜nos respectivos de tales grupos son N 1 = 20000 y N 2 = 30000 y las cuasivarianzas de los estratos son respectivamente 400 y 100. Se ha decidido realizar un muestreo estratificado, siendo 1000 el tama˜no total de la muestra.
(A) 200 y 800 (B) 400 y 600 (C) 500 y 500 (D) 727 y 273 (E) 571 y 429
(A) 257 y 743 (B) 400 y 600 (C) 571 y 429 (D) 273 y 727 (E) 200 y 800
PROBLEMAS (Duraci´on: 75 minutos)
A. (10 puntos, 25 minutos)
Para contrastar si son independientes el tama˜no de una empresa y su nivel de beneficios (en millones de euros) se toma una muestra de 200 empresas obteniendo los siguientes resultados sobre el n´umero de empresas agrupadas seg´un tama¯no (peque˜no o grande) y beneficios (menos de 2 millones, de 2 millones hasta 10 millones y mayor de 10 millones):
Peque˜na 20 50 10 Grande 10 50 60
Realiza el contraste a un nivel de significaci´on del 1%.
B. (10 puntos, 25 minutos) Sea X 1 , · · · , Xn una m.a.s. tomada de un colectivo con funci´on de densidad de probabilidad dada por:
f (x; θ) = x^4 e−^
xθ
24 θ^5
x > 0 , θ > 0
Se sabe que E(X) = 5θ y σ^2 X = 5θ^2. i) Obt´en detalladamente el estimador m´aximo veros´ımil de θ. ii) ¿Es este estimador insesgado?, ¿es consistente? iii) Encuentra la cota de Cramer-Rao para un estimador regular e insesgado de θ en este colectivo. ¿Es este estimador eficiente? Nota: La cota de Cramer-Rao para un estimador regular e insesgado procedente de una m.a.s. es:
Lc =
nE
∂ ln f (X,θ) ∂θ
−nE
∂^2 ln f (X,θ) (∂θ)^2
C. (10 puntos, 25 minutos) Una empresa dedicada a la fabricaci´on de bebidas refrescantes quiere estimar el gasto medio de energ´ıa por hora de funcionamiento de la m´aquina de embotellado. Para ello toma una m.a.s. de 41 horas, y obtiene una media de 20 euros y una varianza de 25 euros^2. La compa˜n´ıa el´ectrica propone a la empresa cambiar de tarifa para reducir dicho gasto. Para comprobar que realmente el gasto es inferior toma una nueva m.a.s. de 21 horas de la que obtiene una media de 18 euros y una varianza de 16 euros^2. Se supone que la distribuci´on del gasto de energ´ıa por hora de trabajo es normal, que hay independencia entre las distribuciones del gasto antes y despu´es del cambio de tarifa, y que la varianza poblacional no ha variado debido al cambio de tarifa. i) Obt´en el intervalo de confianza 95% para el gasto medio de energ´ıa antes del cambio de tarifa. ii) Obt´en el intervalo de confianza 95% para la diferencia entre el gasto medio antes y despu´es del cambio de tarifa. iii) La empresa quiere comprobar que realmente el cambio de tarifa ha sido efectivo. Para ello, realiza el contraste de la hip´otesis nula de que el gasto medio no ha cambiado frente a la alternativa de que el gasto medio inicial es superior al gasto posterior al cambio de tarifa. ¿Cu´al ser´a la decisi´on al nivel de significaci´on del 5%? Razona tu respuesta.
Problema A
Se trata de un contraste de independencia.
Las probabilidades estimadas ˆpi y ˆpj se calculan a partir de la tabla:
pˆP =
= 0. 40 pˆG =
pˆ< 2 =
= 0. 15 pˆ[2,10] =
= 0. 50 pˆ> 10 =
Construimos la tabla:
nij ˆpii = ˆpi pˆj npˆij (nij^ −n^ pˆij^ )
2 n pˆij
Total n = 200 1 n = 200 z = 32. 34
Bajo la hip´otesis nula, el estad´ıstico
i,j
(nij −n pˆij )^2 n pˆij converge a una distribuci´on^ χ
2 (k′−1)(k′′−1), donde^ k
′ (^) es el
n´umero de clases en que se divide la primera variable y k′′^ es el n´umero de clases en que se divide la segunda variable.
En este caso: z = 32. 34 > 9 .21 = χ^2 (2−1)(3−1) , 0. 01 = χ^22 , 0. 01 ,
por lo que, a un nivel de significaci´on aproximado del 1%, se rechaza la hip´otesis nula de independencia entre el tama˜no de una empresa y su nivel de beneficios.
Problema B
f (x; θ) = x^4 e−^
x θ 24 θ^5
, x > 0 , θ > 0
i) Estimador m´aximo veros´ımil
Lx(⃗ ; θ) = f (x 1 ; θ)... f (xn; θ) = x^41 e−^
x 1 θ 24 θ^5
x^4 n e−^
xnθ
24 θ^5
(∏n i=1 x
4 i
e−
∑n i=1θ xi
24 n^ θ^5 n
ln Lx(⃗ ; θ) = ln
( (^) n ∏
i=
x^4 i
∑n i=1 xi θ
− n ln 24 − 5 n ln θ
∂ ln Lx, θ(⃗ ) ∂θ
θ^2
∑^ n
i=
xi −
5 n θ
∑^ n
i=
xi − 5 nθ = 0
θˆM V =
∑n i=1 Xi 5 n
ii) Insesgadez
E(ˆθM V ) = E
X 5
= 15 E(X) = 15 E(X) = 15 (5θ) = θ
Por lo tanto, s´ı es insesgado.
Consistencia
Calculamos la varianza del estimador.
Var(ˆθM V ) =
Var(X) =
Var(X) n
5 θ^2 n
θ^2 5 n
Dado que se trata de un estimador insesgado y cuya varianza tiende a 0 cuando n tiende a infinito, podemos afirmar que se trata de un estimador consistente para θ.
iii) Eficiencia
Para probar que es eficiente calculamos la cota de Cramer-Rao para estimadores regulares e insesgados.
Lc =
nE
∂ ln f (X;θ) ∂θ
ln f (x; θ) = 4 ln x −
x θ
− ln 24 − 5 ln θ
∂ ln f (x; θ) ∂θ
θ^2
x −
θ
θ^2
(x − 5 θ)
∂ ln f (X; θ) ∂θ
θ^2
(X − 5 θ)
θ^4
E(X − 5 θ)^2 =
θ^4
Var(X) =
θ^4
5 θ^2
θ^2
Sustituyendo en la cota de Cramer-Rao esta esperanza se llega a:
Lc =
n
θ^2
θ^2 5 n
= Var(ˆθM V )
Por lo tanto, s´ı se trata de un estimador eficiente.
