UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERIA AMBIENTAL
FACULTAD DE INGENIERIA DERIVADAS PARCIALES Y DE ORDEN SUPERIOR
Matemática III - SEMESTRE 2022-1
HOJA DE TRABAJO
SESION N° 02
I. Calcule todas las derivadas parciales de primer orden:
1)
423 4);( yxyxyxf +−=
2)
xyxyxf 3);( 32 −=
3)
26375);( 22 +−+−−= yxyxxyyxf
4)
xyyyxf 3);( 5−=
5)
)2)(1();( 2+−= yxyxf
6)
)1/()();( −+= xyyxyxf
7)
)/(1);( yxyxf +=
8)
22
);( yxyxf +=
II. Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden:
1.
xyyxyxf ++=);(
2.
yxyxyxf 453 2);( +=
3.
ysenxyxyxf 34);( 2+−=
4.
xsenyyyxyxf ++= cos);( 2
5.
1);( ++= yxeyxf y
6.
)ln();( yxyxf +=
7.
)();( 2yxsenyxf +=
8.
xyyseneyxf x−−= 24
);(
9.
yx
xy
yxf −
=);(
III. Calcula las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones en los puntos dados:
a)
22
ln(1 )z x y= + +
en el punto (0,0,0)
b)
2 2 2 2
32z x x y+ − − =
en el punto (1,1,1)
e)
3 3 3 6x y z xyz+ + + =
en el punto (1,2,-1)
f)
ln
x
z e y=
en el punto (3,1,0)
IV. Calcular las derivadas de primer orden en los puntos y direcciones indicadas:
a)
( , ) sin
x
f x y e y=
en el punto
(1, 2)
y en la dirección del vector 𝑢
= (1,0)
b)
2 2 2
( , , )f x y z x y z= + +
en el punto P(1,1,1), y en la dirección del vector 𝑢
= (0,1,0).x
c)
( , ) ln( ln )f x y x y=+
en el punto
2
(1, )e
, en la dirección del vector 𝑢
= (0,1) .
V. Una empresa produce dos modelos de calentadores. El costo de producción de
x
unidades del primero e
y
unidades del segundo viene dado por la expresión
( , ) 32 175 205 1050c x y xy x y= + + +
.
b) Calcular los costos marginales
,
cc
xy
cuando
80x=
e
20y=
VI. La función
22
( , ) 5 3u x y x xy y= − + −
mide la utilidad que encuentra una persona al consumir x unidades de
un producto e y unidades de otro. Si actualmente consume
100x=
unidades del primer producto e
100y=
unidades del segundo:
a) Estimar la variación que experimenta la utilidad si consume una unidad más del producto x.
b) Estimar la variación que experimenta la utilidad si consume una unidad más del producto y.
VII. La temperatura en un punto (x, y) de una placa metálica en el plano XY es
22
( , ) 1
xy
T x y xy
=++
grados Celsius.
Encuentra la razón de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la dirección y sentido del vector (0,1).