Matemática aplicada I, Apuntes de Matemáticas

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NOTAS DE CLASE

MATEMÁTICA APLICADA I

OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA

MARÍA JOSÉ BIANCO

Página en blanco para el ISBN

ÍNDICE

• PRÓLOGO
• PRIMERA PARTE: CONCEPTOS PREVIOS
• 1.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
• 1.2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
• 1.3. FORMAS CUADRÁTICAS
• 1.4. CONVEXIDAD DE FUNCIONES
• SEGUNDA PARTE: OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA
• 2.1. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES
• 2.2. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
• 2.3. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD
• BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................................

PRÓLOGO

Las presentes "Notas de Clase de Matemática Aplicada I", elaboradas por la Dra. María José Bianco, son

una contribución esencial para la formación académica de los futuros profesionales en Ciencias Económicas

de la Universidad de Buenos Aires. Estas notas, gestadas dentro del Centro de Investigación en Métodos

Cuantitativos Aplicados a la Economía y la Gestión (IADCOM), ofrecen una introducción a la optimización

estática, una disciplina matemática de vital importancia en el ámbito de la Facultad de Ciencias

Económicas.

La estructura de estas notas se ha diseñado en dos secciones principales. La primera, titulada "Conceptos

Previos", sienta las bases matemáticas para abordar los problemas de optimización. Aquí, se les presenta a

los y las estudiantes temas fundamentales como los autovalores y autovectores, la diagonalización de

matrices, y las formas cuadráticas. Se hace un énfasis particular en la determinación del signo de estas

formas cuadráticas, ya que estos conceptos preliminares son cruciales para comprender la concavidad y

convexidad de funciones, propiedades matemáticas que desempeñan un papel central en la teoría de la

optimización. La segunda parte del documento está dedicada a la "Optimización Estática", abordando, de

forma sistemática, los problemas de optimización sin restricciones, con restricciones de igualdad y con

restricciones de desigualdad.

Estas notas de clase van más allá de la mera resolución de problemas, también profundizan en el análisis

de sensibilidad, ofreciendo una comprensión de cómo los cambios en los parámetros de un problema afectan

el valor óptimo de la función objetivo. Otro aspecto destacado es la interpretación económica de los

multiplicadores de Lagrange, una herramienta fundamental para entender las implicaciones de las

restricciones en los modelos económicos. Un tema transversal y de gran relevancia que se explora

detalladamente es la convexidad de funciones y su aplicación directa en la optimización, lo que capacita a

los y las estudiantes para identificar y caracterizar de manera robusta los óptimos en diversos escenarios

económicos.

En síntesis, estas "Notas de Clase de Matemática Aplicada I" proporcionan las herramientas analíticas y

conceptuales necesarias para abordar con éxito los problemas de optimización en el ámbito de la economía

y la gestión.

Javier I. García Fronti

1

2

3

1

3

Autovector asociado a 𝜆 = 0 𝑤

1

1

2

3

1

3

2

3

Autovector asociado a 𝜆 = − 1 𝑤

2

1

2

3

1

3

2

1

4

3

Autovector asociado a 𝜆 = 4 𝑤

3

1

4

Ejemplo 2

Dada la siguiente matriz:

Hallar los autovalores y autovectores de la matriz A.

Resolución

1. Se halla el polinomio característico de la matriz A, es decir:

𝑃(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)

2

2) Se buscan las raíces de la ecuación:

2

Los autovalores de la matriz A son: 𝜆 = 1 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝜆 = 2

1. Se buscan los autovectores correspondientes a cada autovalor resolviendo el sistema homogéneo.

1

2

3

3

1

2

1

2

3

1

3

2

3

3

Teorema 1 :

Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes

Propiedades de autovalores y autovectores

1. Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de la diagonal.

2. Sea 𝐴 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

• 𝐴 y 𝐴

𝑡

tienen el mismo polinomio característico (y por lo tanto, los mismos autovalores)

• 𝐴 es invertible sí y sólo sí = 0 no es autovalor de A.
• Si  es autovalor de A y A es invertible entonces



es autovalor de

− 1

A.

• Si  es autovalor de A entonces

n

 es autovalor de

n

A.

1. Sea A una matriz 𝑛 × 𝑛 y sea 𝑃(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)

i) El coeficiente de 𝜆

𝑛

del polinomio característico es (− 1 )

𝑛

ii) El coeficiente de 𝜆

𝑛− 1

del polinomio característico es (− 1 )

𝑛− 1

por la traza de la matriz A

iii) El término independiente del polinomio característico es el determinante de la matriz A

1. Sea A una matriz 𝑛 × 𝑛 y sea 𝑃(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)

i) El coeficiente de 𝜆

𝑛− 1

del polinomio característico es (− 1 )

𝑛− 1

por la suma de los autovalores de

la matriz A.

ii) El término independiente del polinomio característico es el producto de los autovalores de la

matriz A

Observación: De las propiedades anteriores se deduce que

𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Autovalores y autovectores de matrices simétricas

Teorema 2 :

Sea 𝐴 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

una matriz simétrica

i) Los autovalores de A son reales

ii) Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

concluimos que la matriz diagonal D tiene en la diagonal los autovalores de la matriz A. La matriz P tiene

como columnas los autovectores asociados.

Teorema 4 :

𝑛×𝑛

es diagonalizable sí y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes

Observación importante: Para que una matriz 𝐴 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

sea diagonalizable los autovectores deben formar

una base del espacio ℝ

𝑛

Ejemplo 4

Dada la siguiente matriz indicar si es diagonalizable. En caso de que lo sea, calcular las matrices D y P

que verifican: 𝐷 = 𝑃

− 1

Resolución

En el Ejemplo 2 se calcularon los autovalores y los autovectores de esta matriz. Como los

autovectores forman una base de ℝ

3

se concluye que la matriz A es diagonalizable.

Luego:

Ejemplo 5

Dada la siguiente matriz indicar si es diagonalizable. En caso de que lo sea, calcular las matrices D y P

que verifican: 𝐷 = 𝑃

− 1

Resolución

Los autovalores de la matriz A son: 𝜆 = − 2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝜆 = 3.

Los autovectores asociados a ambos autovalores son:

1

2

3

2

3

1

1

1

2

3

1

3

2

3

2

Por lo tanto, no es una matriz diagonalizable ya que los autovectores no forman una base de ℝ

3

Diagonalización ortogonal

Definición 4 : 𝐴 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

simétrica es diagonalizable ortogonalmente sí y sólo si existe una matriz 𝑄 ∈

𝑛×𝑛

ortogonal tal que 𝐷 = 𝑄

𝑡

𝐴 𝑄 donde 𝐷 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

es una matriz diagonal.

Observación : En la definición la matriz diagonal D tiene en la diagonal los autovalores de la matriz A y la

matriz Q tiene como columnas una base ortonormal de autovectores de la matriz A

Ejemplo 6

Dada la siguiente matriz simétrica A:

Determinar la matriz diagonal (D) y la matriz ortogonal (Q) que verifican: 𝐷 = 𝑄

𝑡

Resolución

En el Ejemplo 3 se calcularon los autovalores y los autovectores de la matriz A

Los autovalores de la matriz A son: 𝜆 = 6 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝜆 = 12

Por lo tanto, la matriz diagonal es:

Los autovectores asociados al autovalor 𝜆 = 6 son: 𝑤

1

2

El autovector asociado al autovalor 𝜆 = 12 es 𝑤 3

Los autovectores de la matriz simétrica A correspondientes a autovalores distintos son ortogonales, pero se

observa que 𝑤 1

y 𝑤

2

(asociados al mismo autovalor) no son ortogonales:

1

2

Con lo cual vamos a buscar autovectores correspondientes al autovalor doble que cumplan con la condición

de ser ortogonales

Para ello fijo uno de los dos autovectores encontrados, por ejemplo, 𝑤 2

Ahora debo buscar un autovector 𝑣 = (𝑣 1

2

3

) que cumpla las siguientes condiciones:

• Eliminando la segunda fila y la segunda columna se obtiene |

11

13

31

33

• Eliminando la tercera fila y la tercera columna se obtiene |

11

12

21

22

c) Menor de orden 3 : det(𝐴)

Observación: Toda matriz A 𝑛 × 𝑛 tiene 2

𝑛

− 1 menores de orden k. Además, los menores de orden 1

son siempre los elementos de la diagonal y el menor de orden n es el determinante de la matriz A.

Sea A una matriz 𝑛 × 𝑛 llamaremos menor principal de orden k de la matriz A al determinante que se

obtiene de eliminar las últimas (𝑛 − 𝑘) filas y las mismas (𝑛 − 𝑘) columnas. Es decir:

𝑘

11

1 𝑘

𝑘 1

𝑘𝑘

Formas cuadráticas

Definición 6 : Una forma cuadrática es una aplicación 𝜑: ℝ

𝑛

→ ℝ tal que

1

𝑛

𝑖𝑖

𝑖

2

𝑖

𝑖𝑗

𝑖

𝑗

𝑖<𝑗

La matriz A asociada a la forma cuadrática 𝜑(𝑥) es una matriz 𝑛 × 𝑛 y simétrica:

1

𝑛

1

𝑛

11

1 𝑛

𝑛 1

𝑛𝑛

1

𝑛

𝑡

Ejemplo 7

a) Buscar la expresión polinómica de la forma cuadrática asociada a la siguiente matriz

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

1

3

2

3

3

2

b) Buscar la matriz asociada a la siguiente forma cuadrática

1

2

3

1

2

2

2

3

2

1

2

1

3

2

3

Observación : La matriz A asociada a una forma cuadrática es 𝑛 × 𝑛 y simétrica, por lo tanto, es

diagonalizable ortogonalmente. Es decir, existe una matriz 𝑄 ∈ ℝ

𝑛×𝑛

ortogonal tal que 𝐷 = 𝑄

𝑡

𝐴 𝑄 donde

𝑛×𝑛

es una matriz diagonal (los elementos de la diagonal son los autovalores 𝜆

𝑖

de la matriz A ) y la

matriz Q tiene como columnas una base ortonormal de autovectores de la matriz A.

Luego,

𝑡

𝑡

Reemplazando en la expresión matricial de la forma cuadrática

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

Si se emplea el cambio de variables

𝑡

Obtenemos

𝑡

𝑖

𝑛

𝑖= 1

𝑖

2

Se dice que 𝜑̃

es la forma canónica o forma diagonal de la forma cuadrática 𝜑

Signo de una forma cuadrática

Definición 7 : Sea 𝜑: ℝ

𝑛

→ ℝ una forma cuadrática

a) 𝜑 es definida positiva ⟺ 𝜑

𝑛

b) 𝜑 es semidefinida positiva ⟺ 𝜑(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑛

c) 𝜑 es definida negativa ⟺ 𝜑(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑛

d) 𝜑 es semidefinida negativa ⟺ 𝜑(𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑛

e) En cualquier otro caso 𝜑 es indefinida

Teorema 5

Sea la forma cuadrática 𝜑: ℝ

𝑛

→ ℝ y A la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática 𝜑. Donde 𝜆

𝑖

son los autovalores de la matriz A.

a) 𝜑 es definida positiva sí y sólo si todos los autovalores de la matriz A son positivos (𝜆

𝑖

b) 𝜑 es semidefinida positiva sí y sólo si todos los autovalores de A son mayores o iguales a cero

𝑖

c) 𝜑 es definida negativa sí y sólo si todos los autovalores de A son negativos (𝜆

𝑖

d) 𝜑 es semidefinida negativa sí y sólo si todos los autovalores de A son menores o iguales a cero

𝑖

e) En cualquier otro caso 𝜑 es indefinida

Ejemplo 9

Determinar el signo de las siguientes formas cuadráticas a partir del signo de sus menores principales

a) 𝜑(𝑥

1

2

1

2

2

2

es definida positiva

) Los menores principales son {

1

2

= det 𝐴 = 3 > 0

b) 𝜑(𝑥

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

es semidefinida positiva

) Los menores principales son {

1

2

= det 𝐴 = 0

c) 𝜑(𝑥

1

2

3

1

2

2

2

3

2

es definida negativa

) Los menores principales son {

1

2

3

= det 𝐴 = − 56 < 0

d) 𝜑

1

2

3

1

2

2

3

2

1

2

2

2

2

3

3

2

es semidefinida negativa

) Los menores principales son {

1

2

3

= det 𝐴 = 0

e) 𝜑

1

2

1

2

2

2

es indefinida

) Los menores principales son {

1

2

= det 𝐴 = − 35 < 0

Ejemplo 10

Analizar el signo de la siguiente forma cuadrática

1

2

3

1

2

1

2

2

2

3

2

La matriz asociada es

a) Resolución por menores

Los menores principales son {

1

2

3

= det 𝐴 = 0

Este es un ejemplo donde hay que calcular todos los menores de la matriz

▪ Menores de orden 1 (elementos de la diagonal)

11

22

33

▪ Menores de orden 2

▪ Menores de orden 3

det 𝐴 = 0

Luego, como los menores de orden impar son negativos o cero y los menores de orden para son positivos

o cero concluimos (por Teorema 6 g) que la forma cuadrática es semidefinida negativa

b) Resolución por autovalores

Los autovalores son {

Por lo tanto, por Teorema 5 d) concluimos que la forma cuadrática es semidefinida negativa

Observación importante

Considere las siguientes matrices asociadas a dos formas cuadráticas

En las dos matrices el primer menor principal es positivo y los dos siguientes son cero.

Esto no define el signo de la forma cuadrática.

Luego si calculamos los autovalores concluimos que en la matriz A son 3, 0 y 4 y por lo tanto la forma

cuadrática será semidefinida positiva mientras que en la matriz B son 3, 0 y - 4 con lo cual la forma

cuadrática es indefinida

Formas cuadráticas restringidas

Sea la forma cuadrática 𝜑(𝑥) = 𝑥

𝑡

𝑛×𝑛

simétrica) restringida al subespacio

𝑚×𝑛

) donde 𝑚 < 𝑛.

𝑛 = número de variables

𝑚 = número de ecuaciones

Como det 𝐴

= 7 > 0 concluimos que la forma cuadrática restringida es definida positiva

1.4. CONVEXIDAD DE FUNCIONES

Conceptos introductorios

Definición 8 : Sean x e y dos puntos de ℝ

𝑛

. Se llama segmento de extremos x e y al conjunto de puntos

𝑛

tales que 𝑧 = 𝛼𝑥 +

𝑦 con 0 ≤ 𝛼 ≤ 1

Definición 9 : Un conjunto 𝑆 ⊆ ℝ

𝑛

es convexo si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 y ∀𝛼 ∈

[

]

se verifica que 𝛼𝑥 +

Por lo tanto, un conjunto es convexo cuando el segmento que une cualquier par de puntos del conjunto

está completamente contenido en el conjunto.

Conjuntos convexos

Conjuntos no convexos

Funciones cóncavas y convexas

Definición 10 : Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊂ ℝ

𝑛

conjunto convexo no vacío.

a) 𝑓 es convexa en 𝐷 sí y sólo sí 𝑓(𝛼𝑥 + ( 1 − 𝛼)𝑦) ≤ 𝛼𝑓(𝑥) + ( 1 − 𝛼)𝑓(𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 , ∀𝛼 ∈

[

]

b) 𝑓 es estrictamente convexa en 𝐷 sí y sólo sí 𝑓

c) 𝑓 es cóncava en 𝐷 sí y sólo sí 𝑓

[

]

d) 𝑓 es estrictamente cóncava en 𝐷 sí y sólo sí 𝑓(𝛼𝑥 + ( 1 − 𝛼)𝑦) > 𝛼𝑓(𝑥) + ( 1 − 𝛼)𝑓(𝑦)

Gráficamente las funciones convexas son aquellas en las cuales los segmentos que unen cualquier par de

puntos de su gráfica quedan siempre por encima de la gráfica (en el caso de cóncava los segmentos quedan

por debajo). Si la función es estrictamente convexa los segmentos no pueden tocar a la gráfica salvo en los

extremos.

Función estrictamente convexa

Función estrictamente cóncava