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Apuntes sobre magnitudes y números reales: 2.1. REALIZA OPERACIONES CON NÚMEROS REALES, UTILIZANDO LAS PROPIEDADES FUNDAMENTALES 2.1.1. Identifica los elementos de los subconjuntos de los números reales 2.1.2. Ubica en la recta numérica: los números reales, simétricos, valor absoluto y la relación de orden 2.1.3. Identifica las formas distintas de representación y operaciones de los números reales 2.1.4. Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas 2.1.5. Emplea las pr
Tipo: Apuntes
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AR
**ACADEMICO E INVESTIGADOR DE TIEMPO COMPLETO. ***
ii
Copyright c© (^) by José Severiano Luis Bravo Mora. Ph D. 2000 - 2006.
DEDICO EL PRESENTE TRABAJO:
A LAS NIÑAS Y NIÑOS HUMILDES, PERO
ESFORZADOS Y ESTUDIOSOS DE LAS
SIERRAS Y MONTAÑAS DE LATINOAMERICA.
Agradecimiento:
No tengo que dar ningún agradecimiento a nadie. Esto solo cabe en los vanidosos y que les gusta el autoelogio. Esto no va conmigo. De ahí el esfuerzo, un poco masoquista que he emprendido de ponerlo en LaTeX. No puedo agradecer la estupenda labor de mecanografía porque sería un autoagradeci---- miento injusto, ya que lo bien que queda no es me- rito mío, sino del LateX.
El Autor.
a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0 ; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.
a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambi´en positivo, ab > 0.
Definici´on 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´umeros reales a y b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo.
a < b ⇔ b − a > 0
Si a es menor que b, tambi´en se dice que b es mayor que a y se escribe b > a El s´ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.
Proposici´on 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d son n´umeros reales, se tiene:
a + c < b + c a − c < b − c
Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos miembros, por un n´umero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´ı,
− 2 x < 6 ↔ x > − 3
Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´en se llama inecuaci´on.
Definici´on 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´umeros reales tales que a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos
(a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com- prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos
[a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}
Nota: Usamos par´entesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi- nar´a en cada caso a qu´e nos estamos refiriendo. Tambi´en se definen los siguientes tipos de intervalos: Intervalos semiabiertos
[a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}
Intervalos infinitos
(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b} (−∞, b) = {x ∈ R/ x < b} (a, +∞) = {x ∈ R/ a < x} [a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x} (−∞, +∞) = R
Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´on de las siguientes desigualdades
a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2 x < 5
Soluci´on. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´on, resulta:
2 x − 3 < 5 ⇔ 2 x < 5 + 3 ⇔ x <
⇔ x < 2
Por tanto, el conjunto soluci´on es el intervalo (−∞, 2). b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver- timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
3 − 2 x < 5 ⇔ − 2 x < 5 − 3 ⇔ x >
⇔ x > − 1
Luego el conjunto soluci´on es el intervalo (− 1 , +∞).
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´on del siguiente sistema de desigualdades
2 x + 1 ≥ − 1 3 x − 7 ≤ 2
Soluci´on. Se trata de hallar la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones por separado y luego hallamos la intersecci´on
2 x + 1 ≥ − 1 3 x − 7 ≤ 2
2 x ≥ − 1 − 1 3 x ≤ 2 + 7
2 x ≥ − 2 3 x ≤ 9
x ≥ − 1 x ≤ 3
Luego el intervalo soluci´on es [− 1 , 3]
Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu- ci´on de la desigualdad x − 2 x − 4
Soluci´on. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos
x − 2 x − 4
x − 2 x − 4
x − 2 − 2 x + 8 x − 4
6 − x x − 4
Consideramos la funci´on racional
r(x) = 6 − x x − 4
Y teniendo en cuenta que una funci´on racional puede cambiar de signo tanto en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la funci´on puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´on racional en cada uno de los intervalos
x < 4 , 4 < x < 6 , x > 6
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor de la funci´on en ese punto. As´ı,
r(0) =
< 0 , r(5) =
0 , r(7) =
Como la desigualdad se cumple s´olo en los dos intervalos de los extremos, se concluye que el conjunto soluci´on es
x < 4 ´o x > 6 , es decir, la uni´on de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)
Ejemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´on sucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad
2 x − 3 x + 3
(x = −3)
Soluci´on. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo, no podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, ya que no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha de cambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes:
a) x + 3 > 0 b) x + 3 < 0
a) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de la misma. Co lo que resulta,
x + 3 > 0 2 x − 3 x + 3
x > − 3 4 x − 6 < x + 3 ⇔ 3 x < 9 ⇔ x < 3
− 3 < x < 3
b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicar ambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentido de la misma. Co lo que resulta,
x + 3 < 0 2 x − 3 x + 3
x < − 3 4 x − 6 > x + 3 ⇔ 3 x > 9 ⇔ x > 3
que no tiene soluci´on, puesto que ning´un n´umero x es, a la vez, x < −3 y x > 3. En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´on es:
− 3 < x < 3 , es decir, el intervalo (− 3 , 3).
Resoluci´on de desigualdades por factorizaci´on
Las desigualdades polin´omicas y las racionales tambi´en pueden resolverse por factorizaci´on, como se describe en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaci´on). Resolver
(x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0
Soluci´on. Hallamos los ceros de cada uno de los factores:
x = − 2 , x = 1, x = 3
y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros,
(−∞, −2), (− 2 , 1), (1, 3), (3, +∞)
Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cada intervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sin embargo, en vez de elegir un n´umero en cada intervalo y ver el signo del producto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derecha a izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar por su ra´ız correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaci´on de signos,
− 2 1 3
− − − − − + − + + + + +
Ejemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones:
(a) |1 +
3 | (b) |1 +
Soluci´on. Tenemos que comprobar si la expresi´on que hay dentro del valor absoluto da como resultado un n´umero positivo o negativo, si es positivo la dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en positivo. En consecuencia:
(a) |1 +
(b) |1 +
Propiedades del valor absoluto
|x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo.
|x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir.
|x|^2 = |x^2 | = x^2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir.
|x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo.
x^2 = |x|
x ≥ p o x ≤ −p
−p p
|x| < p
|x| = p
|x| > p
Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse de la forma: |x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p Habr´a que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado.
Nota: (Aclaraciones sobre la ra´ız cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de la ra´ız cuadrada. En Matem´aticas, la ra´ız cuadrada de un n´umero se define de la siguiente forma
Definici´on 1.5. El n´umero b se llama ra´ız cuadrada del n´umero a si b^2 = a.
b = √ a ⇔ b^2 = a
Esta definici´on significa lo siguiente:
En C´alculo, esta definici´on de ra´ız cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias dificultades:
Para resolver estos problemas, en C´alculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´ıces, introduciendo el concepto de ra´ız aritm´etica.
Definici´on 1.6 (Ra´ız cuadrada aritm´etica). Se llama ra´ız cuadrada aritm´etica de un n´umero positivo, a, a la ra´ız cuadrada positiva de este n´umero.
b = √a ⇔ b^2 = a y b ≥ 0
En consecuencia, la afirmaci´on de que b es la ra´ız cuadrada aritm´etica de a es equi- valente a un conjunto de dos afirmaciones: b^2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es un n´umero positivo o cero. En C´alculo, cuando hablamos de ra´ız cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ız cuadra- da aritm´etica. As´ı, por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ıces cuadradas, 2 y -2, con el s´ımbo- lo
√ 4 solamente nos referimos a la ra´ız cuadrada positiva
√ 4 = +2. Para indicar la ra´ız cuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos −
√ 4 = −2. Es de- cir, en C´alculo, para evitar la ambivalencia, el s´ımbolo √ x denota exclusivamente la ra´ız no-negativa de x. Tenemos que tanto x como −x son ra´ıces cuadradas de x^2 , ya que (+x)^2 = x^2 y (−x)^2 = x^2. Sin embargo, en C´alculo,
√ x^2 no es simplemente un n´umero cualquiera que elevado al cuadrado da x^2 , sino que es indispensablemente un n´umero positivo o cero. En consecuencia, (^) √ x^2 = |x| Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´ız cuadrada, salvo que el radicando sea positivo. √ x^2 = x Por otro lado, la soluci´on de la ecuaci´on x^2 = p no se puede expresar simplemente con x = √p, ya que con este s´ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dos posible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar
x^2 = p ⇒ x = ± √ x
Ejemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua- ciones:
Soluci´on.
a) x^2 − 2 x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaci´on: x^2 − 2 x − 8 = x + 2. En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x^2 − 2 x − 8 ≥ 0 x^2 − 3 x − 10 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´on y comprobamos las soluciones en la in- ecuaci´on. As´ı,
x^2 − 3 x − 10 = 0 → x =
de donde,
x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 > 0 , x = − 2 ⇒ (−2)^2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
Luego las dos soluciones son v´alidas.
b) x^2 − 2 x − 8 < 0. En este caso resulta la ecuaci´on: −x^2 + 2x + 8 = x + 2. En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x^2 − 2 x − 8 < 0 x^2 − x − 6 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´on y comprobamos las soluciones en la in- ecuaci´on. As´ı,
x^2 − x − 6 = 0 → x =
de donde,
x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = − 5 < 0 , x = − 2 ⇒ (−2)^2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
En este caso la primera soluci´on es valida y la segunda no. No obstante, x = −2 es valida, por el caso anterior. En consecuencia las soluciones de la ecuaci´on inicial son x = −2, x = 3 y x = 5.
Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaci´on x^2 − 4 |x| − 5 = 0
Soluci´on. En este ejemplo, para liberarnos del m´odulo podemos considerar sucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x < 0; o bien, teniendo en cuenta que x^2 = |x|^2 , transformar la ecuaci´on inicial en |x|^2 − 4 |x|−5 = 0 que se resuelve con un cambio de variable, o bien, directamente:
|x|^2 − 4 |x| − 5 = 0 ⇒ |x| =
5 ⇒ x = 5 ´o − 5 −1 no es soluci´on
Luego la ecuaci´on inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5.
Ejemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes desigualdades:
Soluci´on.
x ≥ 2 x ≤ − 2
⇒ x ∈
x ≥ 3 x ≤ − 1
⇒ x ∈
Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual- dades:
| 2 x − 2 | ≤ 4 | 2 x − 3 | ≥ 1
Soluci´on. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la intersecci´on de los conjuntos soluci´on.
| 2 x − 2 | ≤ 4
| 2 x − 3 | ≥ 1
− 4 ≤ 2 x − 2 ≤ 4 ⇒ − 2 ≤ 2 x ≤ 6 ⇒ − 1 ≤ x ≤ 3 − 1 ≥ 2 x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2 x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒
x ≥ 2 x ≤ 1
⇒ x ∈ − 1 , 1 ∪ 2 , 3
Expresi´on de intervalos mediante valor absoluto
Cualquier intervalo se puede expresar en t´erminos de valor absoluto de la siguiente forma:
a, b =
x ∈ R/ |x −
a + b 2
b − a 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:
|x − m| ≤ r
