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Función Exponencial.
La función f definida por 𝑓
𝑥
; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 , es llamada función exponencial
de base a
Características fundamentales:
➢ Si a > 1, la función es creciente para todo 𝑥 ∈ ℝ.
➢ Si 0 < a < 1, la función es decreciente para todo 𝑥 ∈ ℝ..
➢ La función exponencial es inyectiva.
➢ Corta al eje Y en (0,1), pues a
0
= 1, para cualquier valor de a.
➢ El eje X, la recta y = 0, es una asíntota horizontal de la función exponencial.
Propiedades de exponentes.
1
a
1
0
a 1 6) ( )
a a 7) 1 1
(a ) 8) 0 0
a
- a 9)
a
- ( )
x
a a
x
a x a
x
b b
y x y x x
a
x y xy x
a
x
x y x
a
y
x x x
ab a b =
= =
= =
= =
− −
= =
=
Ejemplos:
1. Graficar las funciones exponenciales:
a) f(x) = 2
x
b) h(x) = (½)
x
2. Dada la función f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑏
, la imagen de 1 es 7 y el pre imagen de - 56 es - 2.
Calcular a+ b.
3. El número de bacterias en un cierto cultivo de bacterias después de “t” horas, está dado por
0
- 01 𝑡
Si hay 400 bacterias inicialmente ¿Cuántas bacterias estarán presentes después de tres días?
4. Después de un cuidadoso análisis demográfico, una universidad pronostica que las
inscripciones de estudiantes se reducirán a una tasa de 3% anual durante los próximos 12
años. Si en la actualidad se cuentan 14 000 estudiantes, ¿cuántos habrá dentro de 12 años?
Nota: Si una población disminuye a una tasa de r por periodo, entonces la población P
después de t periodos está dada por:
0
𝑡
donde P 0
es la población inicial (la población cuando t = 0)
5. Para una inversión de $4000 y una tasa de interés compuesto anual del 6% durante 7 años.
Encuentre:
a) El monto compuesto (Capital final) y
b) El interés compuesto
Nota:
La Fórmula del monto compuesto o capital final
La Fórmula del interés compuesto
I = Capital final – Capital inicial
Donde:
El capital inicial (Co), es la cantidad de dinero que se invierte o que se presta.
La tasa de interés (i), es la cantidad de interés expresado en tanto por ciento por
unidad de tiempo.
El tiempo (n), es el tiempo que transcurre entre el momento de la inversión o préstamo
y la devolución o pago. El tiempo se debe expresar en las mismas unidades que la tasa
de interés.
