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EXAMEN FINAL
MATEMÁTICA BÁSICA
- En la capital de la primavera y de la marinera existe un lugar a quince minutos de la
ciudad de Trujillo, es el distrito de El Porvenir. En sus calles se respira olor a cuero,
pues según datos estadísticos de la Gerencia de Desarrollo Económico Local, el 70%
de la economía de ese lugar se mueve en base a la manufactura con la confección y
fabricación del calzado. Sebastián lleva 26 años, de los 58 que tiene, inmerso entre
cueros, tacos, badanas y otros implementos que a diario forman parte de su labor que
lo inició de manera informal y como operario. Hoy que administra su propia
microempresa, identifica que la demanda mensual “x”, de un cierto tipo de calzado
al precio de “p” dólares por unidad están relacionados por la expresión: x=1350-45p.
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica el calzado es de $5 por
unidad y el costo fijo es de $2000 al mes.
Determine:
a) El precio del calzado para obtener el máximo ingreso y a cuánto ascendería ese
ingreso máximo.
b) El precio que debe tener el calzado, si el fabricante de ese artículo desea obtener
la máxima utilidad total mensual. Además, encontrar la utilidad máxima mensual.
c) La gráfica de la utilidad total mensual U(p) (tabule).
SOLUCION:
Datos:
a) El precio del calzado para obtener el máximo ingreso y a cuánto ascendería ese
ingreso máximo.
Para obtener el ingreso, multiplicamos la demanda por el precio:
2
Para obtener el ingreso máximo, se halla el máximo precio:
𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑎𝑥
2
𝑚𝑎𝑥
b) El precio que debe tener el calzado, si el fabricante de ese artículo desea obtener
la máxima utilidad total mensual. Además, encontrar la utilidad máxima mensual.
Sea la función de utilidad:
2
𝑚𝑎𝑥
2
𝑚𝑎𝑥
c) Grafica de la utilidad mensual.
2
En función del precio:
2
Tabulando valores:
− 3
Graficamos con Excel lo valores tabulados:
Donde:
N(t): número de miligramos restante en el torrente sanguíneo del paciente después
de t horas.
t: tiempo en horas
Sea las 10:00 am la hora cero N(0).
a) Cuantos miligramos de la droga quedan en el torrente sanguíneo del paciente a
las 3:00 pm. Para esto transcurre 5 horas.
−
2
5
( 5 )
b) ¿A qué hora, después de haberse administrado la droga quedará 0,49 miligramos
de droga en el torrente sanguíneo de una persona?
−
2
5
𝑡
ln (
ln (
Respuesta: Si la hora cero se considera 10:00 am. A las 9:00 pm quedará 0.
miligramos de droga en el torrente sanguíneo de una persona.
- Un grupo de estudiantes desarrollan un emprendimiento y se dedican al negocio de
la pastelería haciendo dos tipos de tortas; económica y clásica. Cada torta
económica necesita un cuarto de relleno por cada kilogramo de bizcocho, mientras
que una torta clásica necesita medio kilogramos de relleno por cada kilogramo de
biscocho. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 25kg de biscocho y
10kg de relleno. Así mismo para elaborar una torta económica se demoran una hora
y media, pero para elaborar una torta clásica se demora dos horas y cuarto. Si
desean sacar al mercado su producción acabo de dos días, y se sabe que cada torta
económica produce un beneficio de 30 soles y la torta clásica 50 soles, se pide:
a) Modele la función objetivo y elabore paso a paso la gráfica de la región factible
indicando cada uno de los vértices.
b) Desarrolle el proceso para obtener el valor máximo y mencione ¿Cuántas tortas
económicas y clásicas deberán elaborar para obtener el beneficio máximo? ¿Cuánto
es el beneficio máximo?
SOLUCIÓN:
a) Modele la función objetivo y elabore paso a paso la gráfica de la región factible
indicando cada uno de los vértices.
Del enunciado se obtienen los siguientes datos:
Tipo N° Bizcocho Relleno Tiempo de preparación Beneficio
T. económica X 1X 0.25X 1.5X 30
T. bizcocho Y 1Y 0.50Y 2.25Y 50
Entonces la función objetivo será:
Donde:
X: kg de relleno
Y: kg de bizcocho
Restricciones (s.a.):
Máxima producción diaria de bizcocho:
Máxima producción diaria de relleno:
Tiempo máximo de producción(horas):
Se considera las rectas auxiliares a las restricciones y se dibuja la región factible:
Para la máxima producción diaria de relleno:
X Y
Para la máxima producción diaria de bizcocho:
X Y
Para el tiempo máximo de producción(horas):
X Y
Finalmente, las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican
que las soluciones deben estar en el primer cuadrante
- Un restaurante dedicado a la venta de platos típicos cusqueños inició sus
operaciones el 2010. Dicho restaurante ha determinado la función costo, la que
depende del tiempo, como 𝐶
= 300 𝑡 + 20. Asimismo, La función ingreso está
determinado por la función 𝑅(𝑡) = 80 + 400 𝑡 − 𝑡
2
, donde “t” está dado en años
después de iniciar su actividad. El Costo, así como el Ingreso, está dado en decenas
de dólares.
Determinar:
a) La razón de cambio promedio de la función Utilidad hasta el año 2015. Interpretar
su resultado.
b) La razón de cambio instantáneo de la función Utilidad el año 2015. Interpretar su
resultado.
SOLUCIÓN:
A) La razón de cambio promedio de la función Utilidad hasta el año 2015:
2
2
Entonces:
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑈
Para un 𝑡 = 0 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡)
2
2
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡) =
2
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡) =
2
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑈
= 95 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Interpretación: Esto quiere decir que la utilidad del restaurante dedicado a la venta
de platos típicos cusqueños tuvo una variación de 95 dólares en su utilidad durante
5 años consecutivos, desde el 2010 al 2015.
B) La razón de cambio instantáneo de la función Utilidad hasta el año 2015:
2
Entonces:
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡) =
𝑈(𝑡 + ℎ) − 𝑈(𝑡)
(𝑡 + ℎ) − 𝑡
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡)
=
60 + 100 (𝑡 + ℎ) − (𝑡 + ℎ)
2
− 60 − 100 𝑡 + 𝑡
2
ℎ
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈(𝑡) =
100ℎ − (𝑡 + ℎ)
2
2
ℎ
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈
( 𝑡
)
100ℎ − 𝑡
2
− ℎ
2
− 2 𝑡ℎ + 𝑡
2
ℎ
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈
( 𝑡
)
ℎ( 100 − ℎ − 2 𝑡)
ℎ
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈
( 𝑡
) = 100 − ℎ − 2 𝑡
Para un ℎ = 𝑡 2
1
= 5 𝑎ñ𝑜𝑠 y 𝑡 = 0 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑈
= 95 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Interpretación: Esto quiere decir que la utilidad del restaurante dedicado a los platos
típicos cusqueños tiene un decrecimiento de 95 dólares en desde el año 2010 al año
