NOM: 1 2 3 4 5 6 TOTAL
NIA:
`
Algebra Lineal i Matem`atica Discreta
EXAMEN FINAL
Eix de Grafs i Optimitzaci´o en Xarxes
Escriviu les respostes en l’espai que es deixa a l’enunciat. Podeu utilitzar els altres fulls
per fer c`
alculs o per escriure la resposta en brut. En tots els problemes podeu utilitzar els
resultats vists a teoria sense haver de demostrar-los de nou, llevat que es demani. Si doneu
v`
aries respostes a la mateixa pregunta es valorar`
a la pitjor.
Problema 1 2 punts
En cadascun dels casos seg¨uents, digueu si ´es possible o no
construir el graf que s’especifica, tot donant un exemple en
cas afirmatiu o b´e demostrant-ho en cas contrari.
(a) Un graf bipartit amb 43 v`ertexs i un cicle hamiltoni`a.
Soluci´o: No. Si el graf t´e un cicle hamiltoni`a aquest ha
de tenir 43 v`ertexs, per`o els grafs bipartits no poden
tenir cicles de mida senar.
(b) Un graf amb nombre crom`atic 4 que no contingui K4.
Soluci´o: Si. El graf seg¨uent
(c) Un graf amb almenys dos v`ertexs que sigui isomorf al
seu graf complementari.
Soluci´o: Si. El graf seg¨uent
(d) Un graf planar amb 8 v`ertexs i 20 branques.
Soluci´o: No. Ja que no satisf`a e≤3v−6.
(e) Un graf G= (V, E ) tal que χ(G) + χ(G) = |V|, on G
´es el graf complementari de G.
Soluci´o: Si. El graf seg¨uent
Problema 2 2 punts
(a) Trobeu un arbre arrelat binari ordenat amb recorregut
en preordre a, b, c, d, e, f, g, h i recorregut en inordre
d, c, e, b, a, f, h, g.
Soluci´o:
a
b
c
de
f
g
h
(b) Sigui m > 1. Demostreu que tot arbre arrelat m-ari
d’al¸cada ht´e com a molt mh+1−1
m−1v`ertexs.
Soluci´o: La podeu trobar a les solucions del llistat de
problemes. Es tracta del problema 82
Problema 3 1 punt
Calculeu la dist`ancia i el cam´ı m´ınim des del v`ertex cfins
a la resta de v`ertexs del graf seg¨uent mitjan¸cant l’algoritme
de Dijkstra.
ab
cde
fg
3
7
2
6
5
4
9
1
8
Per a aix`o, a cada pas, apunteu a la taula de sota la dist`ancia
i el v`ertex que precedeix cadascun dels v`ertexs del graf (o
b´e ∅en cas que el v`ertex encara no hagi sigut processat), i
tamb´e el v`ertex que trieu com a permanent (P).
Soluci´o:
a b c d e f g P
∞,∅ ∞,∅0, ∅ ∞,∅ ∞,∅ ∞,∅ ∞,∅c
4, c∞,∅0, ∅9 , c∞,∅5 , c∞,∅a
4, c7, a0, ∅9 , c∞,∅5 , c∞,∅f
4, c7, a0, ∅9 , c∞,∅5 , c11, f b
4, c7, a0, ∅8 , b14, b5 , c11, f d
4, c7, a0, ∅8 , b14, b5 , c11, f g
4, c7, a0, ∅8 , b13, g5 , c11, f e
