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MEMENTO DE MATEMÁTICA
12MO GRADO
ESTE MEMENTO INCLUYE UN RESUMEN DE LOS CONTENIDOS MATEMÁTICOS DE LA ENSEÑANZA
PREUNIVERSITARIA.
ESTE DOCUMENTO FUE ADQUIRIDO POR QUIENES LO PRESENTAN CON AUTORÍA DE “AMADOR
SUARÉZ ORAMA” DEL JCCE DE GUÁIMARO.
ESTA NUEVA PRESENTACIÓN NO PERSIGUE RESTAR AUTORÍA AL TRABAJO, SÓLO
PRESENTAMOS UNA NUEVA VERSIÓN EN UN FORMATO CASI IDÉNTICO PERO QUE DIFIERE DEL ORIGINAL EN FORMATOS PROPIOS DEL “MICROSOFT WORD” DONDE FUE CREADO. ESTAS NUEVAS MODIFICACIONES SE REALIZARON CON EL FIN DE PODER ERRADICAR ERRORES QUE SE PRODUCÍAN A LA HORA DE MODIFICAR FORMATOS DE HOJAS O DE MARGENES LO QUE NO PERMITÍA QUE EL FOLLETO PUDIERA SER GENERALIZADO A USUARIOS CON DIFERENTES CARACTERÍSTICAS ANTES MENCIONADAS. TODAS LAS MODIFICACIONES REALIZADAS A ESTE DOCUMENTO FUE DEL PUNTO DE VISTA INFORMÁTICO, NO MATEMÁTICO, ROGAMOS NOS DISCULPEN POR MOLESTIAS QUE ESTO PUEDE CAUSARLE Y SUGERIMOS NOS DIRIJA SUS RECOMENDACIONES A: [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] SIEMPRE ADJUNTANDO AL SUBJECT: PARA ALCAM’S ESPERAMOS QUE LAS NUEVAS MODIFICACIONES DE ESTE MATERIAL, ASÍ COMO ÉL EN SU TOTALIDAD, LE SIRVA EN SUS ESTUDIOS Y AUGURO PARA USTEDES UN PRÓSPERO FUTURO.
GEOMETRÍA:
“P L A N I M E T R I A”
Triángulos
Definición : Polígono convexo de tres lados. Propiedades : La suma de los ángulos interiores es 180º.
La amplitud de un ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
La suma de las amplitudes de los ángulos exteriores es 360º.
Rectas notables del Triángulo:
Bisectriz : Es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales.
Lugar Geométrico: Es el conjunto de todos los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.
Mediatriz: Es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.
Lugar Geométrico: Es el conjunto del punto que equidistan de dos puntos fijos del plano. Mediana: Es el segmento de rectas que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Altura: Segmento de recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente al lado opuesto. Puntos Notables en el Triángulo:
Ortocentro : Es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo.
Incentro: Es el punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo, es además el centro de la
circunferencia inscrito al triángulo.
Baricentro : Divide a la mediana en dos segmentos, donde el segmento comprendido entre el
Baricentro y el lado es un tercio de la Mediana y un medio del otro segmento.
Circuncentro : Es el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo; es además el centro de
la circunferencia circunscrita al triángulo.
Clasificación de Triángulos
Según sus lados Según sus ángulos Escaleno: Tres lados diferentes. Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos. ( <90º) Isósceles: Dos lados iguales. Rectángulo: Un ángulo recto. Equilátero: Tres lados iguales Obtusángulo: Un ángulo obtuso. Propiedades de triángulos isósceles
Dos lados iguales
Dos ángulos iguales llamados bases.
Todas las rectas notables coinciden respecto a la base del triángulo. (base: tercer lado).
Si posee un ángulo de 60º entonces es equilátero.
Propiedades de los triángulos equiláteros
Tres lados iguales.
Tres ángulos iguales e iguales a 60º.
Triángulos Cualesquiera
Ley de los Senos: En todo triángulo se cumple que las razones entre los lados y los senos de los ángulos, que respectivamente se le oponen, es la misma y además son iguales a dos veces el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir:
a b c
--------- = --------- = ---------- = 2R (R: Radio de la circunferencia circunscrita)
sen sen sen
Ley de los Cosenos: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que se le opone al lado inicial, es decir:
1. a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos
2. b
2
= a
2
+ c
2
- 2ac cos
3. c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab cos
El objetivo de estas leyes es la obtención o cálculo de elementos en cualquier tipo de triángulo, ya
sea de forma directa o a través del despeje de las ecuaciones.
Circunferencia y Círculo
Definición: (Circunferencia): Son todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Definición: (Círculo): Está formado por la circunferencia y todos los puntos interiores de esta. Definición : (Radio): Es el segmento de recta que une el centro con la circunferencia. También llamado distancia entre el centro de la circunferencia y la circunferencia. Definición : (Cuerda): Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Definición: (Diámetro): Es la mayor de las cuerdas. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la cuerda que contiene al radio.
Ángulos en la circunferencia y el círculo. Ángulo Central: Es el ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son
radios. Su amplitud es equivalente arco que le corresponde, es decir, =AB.
Ángulo Inscrito: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas. Su amplitud es equivalente a la mitad de la amplitud del arco que le corresponde, o a la mitad del ángulo central que le corresponde a dicho arco, es decir:
CB/2 ó
Ángulo Seminscrito: Tiene su vértice en la circunferencia y sus lados están compuestos por una tangente a la circunferencia y una cuerda. Su amplitud es equivalente a la mitad del arco comprendido entre sus lados, es decir:
ó
Teorema de Tales : Si a un ángulo seminscrito le corresponde como arco una semicircunferencia entonces su amplitud es de 90º (Y viceversa). Propiedades y Relaciones en la Circunferencia.
Todo ángulo central o inscrito en una circunferencia determina un arco y por lo tanto una cuerda;
luego si dos ángulos centrales o inscritos son iguales entonces los arcos, y por tanto las cuerdas también lo son (y viceversa).
Si dos ángulos están inscritos sobre un mismo arco entonces los ángulos son iguales y viceversa.
Si a un ángulo inscrito y un seminscrito le corresponden el mismo arco, entonces los ángulos son
iguales.
Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos tangentes, entonces los segmentos obtenidos
entre el punto exterior y los puntos de tangencia son iguales, es decir, AC=BC.
c) Ángulos consecutivos suman 180º. d) Las diagonales se cortan en su punto medio. Rectángulo: Paralelogramo que: a) Sus ángulos interiores son rectos.( 90º ). b) Las diagonales son iguales. Rombo: Paralelogramo que: a) Sus cuatro lados son iguales. b) Sus diagonales se cortan perpendicularmente. c) Sus diagonales bisecan los ángulos de donde parten. Cuadrado: Paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez. Trapecio: Cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Propiedad: a) Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos suman 180º. Trapecio isósceles Propiedades: a) Los lados no paralelos son iguales. b) Las diagonales son iguales. Trapecio rectángulo a) Uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, por lo que funciona como altura. Trapezoide : Cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Trapezoide simétrico: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales. a) Las diagonales se cortan perpendicularmente, una de ellas es eje de simetría por lo que biseca el ángulo de donde parte y divide la otra diagonal en dos partes iguales.
Ángulos entre paralelas
Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera (a b y c secante)
Ángulos iguales Suplementarios Correspondientes Conjugados Alternos Adyacentes Opuestos por el vértice
Correspondientes: y 6 2 y 5 ; 3 y 7 ; 4 y 8.
Alternos : 3 y 5 ; 4 y 6 ; 1 y 8 ; 2 y 7.
Opuestos por el vértice: 1 y 4 ; 2 y 3 ; 5 y 7 ; 6 y 8.
Conjugados : 1 y 7 ; 2 y 8 ; 3 y 6 ; 4 y 5.
Adyacentes: 1 y 2 ; 2 y 4 ; 3 y 4 ; 3 y 1 ; 5 y 6 ; 5 y 8 ;8 y 7 ; 7 y 6.
Recíproco:
Si dos ángulos alternos o correspondientes entre rectas son iguales, entoces las rectas son
paralelas. Si dos ángulos son conjugados entre rectas y suman 180º , entonces las rectas son paralelas. Teorema: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces son iguales, es
decir , .
Teorema de transversales
Teorema : Si dos o más semirrectas de origen común son cortadas por rectas paralelas entonces la razón entre los segmentos que determinan en una de ellas es igual a la razón que determina en la otra. Si a ¦ b y P es el punto de intersección de r, s y t , entonces se cumple: PA _ PF _ PE ; PA _ PF _ PE ; PB _ PC _ PD AB FC ED PB PC PD AB FC ED Recíproco: Si dos o más semirrectas de origen común son cortadas por rectas y además se cumplen las razones anteriores, entonces las rectas son paralelas.
Igualdad de triángulos
Definición: Dos triángulos son iguales si tienen sus ángulos y sus lados respectivamente iguales. Nota: En la práctica para demostrar que dos triángulos son iguales puede utilizarse los Criterios de Igualdad que aparecen a continuación. Criterios de Igualdad Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces los triángulos son iguales. ( l.a.l ). Teorema: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales e igual el lado comprendido entre dichos ángulos, entonces los triángulos son iguales ( a.l.a ). Teorema : Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales ( l.l.l ). Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo que se le opone al mayor de los lados, entonces los triángulos son iguales ( L.l.a ). Proposición: Si dos triángulos son iguales, entonces son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1. ( y viceversa ).
Áreas y perímetros de figuras planas
Triángulo:
Área y Perímetro:
A = b h b: Base. 2 h: Altura. 3
= ½ a b sen
= p ( p - a )( p - b )( p - c ) donde: p: Semiperímetro.
= c1 c
(Referida al triángulo rectángulo, siendo c1 y c2 catetos del mismo)
= l ² 3
(Referido al triángulo equilátero, siendo l el lado)
P = a + b + c ( Siendo a,b,c lados del triángulo) _Nota:_* Si "R" es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero entonces se cumple
que: R= 3 l y R= 2 h
Si "r" es el radio de la circunferencia inscrita entonces se cumple que:
r= 3 l y r= 1 h
Paralelogramo:
Área y Perímetro :
A = a 2 ( a: lado) = d1. d2 ( d1 y d2 diagonales) 2 P = 4a
Trapecio:
Área y Perímetro :
A = (b1+b2). h ( b1 y b2 bases) 2 P = a+b1+b2+c
Círculo:
Área y Perímetro :
A = . r 2
L = 2 . r (L: longitud de la circunferencia)
Sector Circular:
Área y Perímetro :
A = r²
L = r ( L: longitud del arco AB de amplitud )
Recíproco: Si una recta del plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es perpendicular a la oblicua, entonces es perpendicular a la proyección de la oblicua.
Fórmulas de Area y Volumen de Cuerpos Geométricos
CUERPO AREAS Y VOLUMEN
Prisma: Posee dos caras paralelas
llamadas bases formadas por polígonos conocidos. Sus lados son rectángulos.
V= Ab h At= 2Ab+ Al Al=
S1+S2+S3+...+Sn (S: Area una cara)
Cilindro: Posee dos caras paralelas
compuestas por círculos iguales. Su lado es una superficie uniformemente curva.
V= Ab h= r² h Al= 2 r h At=
2Ab+Al=2 r² + 2 r h
Pirámide: Posee un polígono como base
y sus lados son triángulos.
V= Ab h 3 At= Ab+Al Al=
S1+S2+S3+...+Sn (S: Area de un triángulo)
Cono V= ^ ^ ^ r²^ ^ h^3 Al=^ ^ r^ ^ g^ (g:
Generatriz) At= Ab+Al= r²+ r g
Esfera V=^^4 ^ r³^3 A=^^4 ^ r²
TRIGONOMETRÍA
Razones Trigonométricas en el triángulo Rectángulo Teorema: En todo triángulo rectángulo se cumple que el seno de un ángulo agudo equivale a la razón entre el cateto que se le opone y la hipotenusa. En símbolo: Si ABC es rectángulo entonces:
sen a/c y sen = b/c
Coseno : Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Es decir, cos = b/c y cos = a/c.
Tangente : Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Es decir, tan = a/b y tan = b/a.
Cotangente : Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Es decir, cot = b/a y cot = a/b.
Nota : Las razones trigonométricas solo son aplicables a los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
Identidades Trigonométricas
- sen²x + cos²x = 1 6. tan x = senx / cosx
- sen²x = 1 - cos²x 7. cot x = cosx / senx
- cos²x = 1 - sen²x 8. 1 + tan²x = 1/cos²x
4. sen2x = 2senx cosx 9. sen( x ± y )= senx cosy ± cosx seny
5. cos2x = cos²x - sen²x 10. Cos( x ± y )= cosx cosy senx seny
Fórmulas de Reducción: II Cuadrante III Cuadrante IV Cuadrante - = x - = x 2 - = x
Siendo el ángulo dado y x el ángulo del primer cuadrante que le corresponde.
Paridad de las funciones trigonométricas conocidas:
Cositas Sueltas:
senx = cosx si y solo si x=45 y sus coterminales.
El producto senx cosx es máximo si x= 45 y sus coterminales y siempre se cumple que senx
cosx= ½. PROBLEMAS Tipos de Problemas: Pasos recomendables para resolver un problema:
- Leer y analizar detenidamente el texto del problema.
- Designar mediante el lenguaje algebraico qué representan las incógnitas, así como las relaciones o combinaciones en que estas intervengan.
- Plantear la o las ecuaciones correspondientes.
- Resolver la o las ecuaciones obtenidas.
- Comprobar las soluciones obtenidas en el texto del problema.
- Dar respuesta atendiendo a lo que se pide en el enunciado de problema. “Que le aproveche y buena suerte...” Anexos Sobre propiedades de Logaritmos , Potencias y Radicales
Logaritmos: ( b>0 , a>0, , c>0 , a 1, x )
1. Log a a= 1 Definición: Log ab=x b= a
x
- Log (^) a1= 0
- a Log a b
=b Igualdad: Log ab= Log ac b= c
4. Log a(b c)= Log ab + Log ac
- Log (^) a(b: c)= Log (^) ab - Log (^) ac
- xLog (^) ab= Log (^) abx
Potencias: ( a>0, b>0, r,s )
- a r
a
s = a r+s
- a r : a s = a r-s
- a r
b
r
= (a b)
r Igualdad: Si a x =a y
, entonces x=y.
- ar^ : b r = (a:b) r
- (a r ) s = a r s
- a-r^ = 1/ar
- a^0 =
- a^1 = a
Radicales: ( a 0, b 0, m, n, q, k Z, n>1, q>1, k>1)
1. a b = a b 5. ( a ) = ap
2. a : b = a: b (b>0) 6. an^ = a
3. a = a = a 7. a k^ ^ m^ = am
4. a² = | a | 8. am^ = a m/n
