Ejercicios de Matemática para el Ciclo Básico Común de la Universidad de Buenos Aires, Ejercicios de Matemáticas

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MATEMATICA

(Cátedra: Rossomando)

1er Cuatrimestre 2020

Ciclo Básico Común - Universidad de Buenos Aires

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0.1. Práctica 0

1. Calcular.

a)

b)

c)

d )

e)

f )

3 2 2 5

g)

h)

i)

+^3

j )

k )

l )

2. Resolver.

a) x 2 +^

x 3 =

b) 3 x 2 −^

x 5 =

c) 2 x 3

• x = 2

d ) 3 x

3 x − 2 − x^ + 1 1

e)

2 x 9 +

x 4

f )

x+ 3 −^

2 x− 3 4 6 =

3 +^ x^ −^

x + 1 2

3. Desarrollar.

a) (x + 3)^2

b) (x − 3)(x + 3)

c) (x − 5)^2

d ) (x − 2)^2 (x + 2)

e) (x + 4)^3

f ) (x + 4)−^2

g) 2(x + 4)^2

h) 2(x + 4)(x + 4)

i) 2(x + 4)(x − 4)

4. Factorizar

a) x^2 − 16 b) x^2 − 25 c) 5 x^2 − 125 d ) 5 x − 25 e) 5 x^2 − 5 x f ) 2 x^3 − 5 x^2 + 3x g) 2 x^3 − 4 x^2 + 6x h) 2 x^3 + 5x^2 i) 2 x^7 + 5x^2

0.2. Práctica 1: Números Reales

Para los siguientes ejercicios tener en cuenta que: N expresa el conjunto de los números Naturales. Z expresa el conjunto de los números Enteros. Q expresa el conjunto de los números Racionales. H expresa el conjunto de los números Irracionales. R expresa el conjunto de los números Reales. C expresa el conjunto de los números Complejos. ∈ es el símbolo para indicar que algo pertenece a un conjunto. ∈ / es el símbolo para indicar que algo no pertenece a un conjunto. ⊆ es el símbolo para indicar que un conjunto es un subconjunto de otro.

• es el símbolo para indicar que un conjunto no es un subconjunto de otro. ∅ es el símbolo para indicar al conjunto vacío.

1. Inserte ∈ o ∈/ en el espacio vacío de modo que la expresion sea correcta.

a) 15... N

b) 1 , 41421... H

c) − 3... Z

d ) π... Q

e) 0... Q

f ) 2008... Z

g)

... R

h) − 5... H

2. Indique la relacion correcta entre conjunto y subconjunto.

a) N y Q

b) R y Q

c) Z y N

d ) Z y R

e) R y N

f ) Z y Q

g) H y R

h) { 0 } y Z

3. Complete con ⊆ o * de modo que el enunciado sea correcto

a) Z... N

b) { 1 }... N

c) H... R

d ) {0; 13 ; 1, 732 }... Q

e) N... Q

f ) Q... H

g) Q... R

h) {−

3 }... H

4. Dado el conjunto S:

S = {12; 53 ;

Determinar: a) S ∩ N

b) S ∩ Q

c) S ∩ H

d ) S ∩ Z

5. Dado el conjunto S:

S = {− 14 ; 26;

9; − 0 , 333 ...; −6215; 12 π; 47 ; 1}

Determinar: a) S ∩ N

b) S ∩ Q

c) S ∩ H

d ) S ∩ Z

9. Escribir como intervalo o como unión de intervalos.

a) A = {x ∈ </x(x + 1) ≥ 0 }

b) B = {x ∈ </x(x − 1) > 0 }

c) C = {x ∈ </ (^) x+1x ≤ 0 }

d ) D = {x ∈ </ x x+2+1 ≥ 0 }

e) E = {x ∈ </ (^) xx+1 > 1 }

f ) F = {x ∈ </ x x+2− 1 ≤ 2 }

g) G = {x ∈ </ (^) x−+1^6 > 1 }

h) H = {x ∈ </ (^1) x < (^2) x }

10. Hallar el conjunto.

a) A = {x ∈ </|x| = 9}

b) B = {x ∈ </|x| < 1 }

c) C = {x ∈ </|x| ≥ 2 }

d ) D = {x ∈ </x^2 = 9}

e) E = {x ∈ </| 2 x + 1| > 3 }

f ) F = {x ∈ </| 2 x + 1| < 3 }

g) G = {x ∈ </ 3 − | 2 x + 1| > 0 }

11. Escribir como intervalo o unión de intervalos las siguientes expresiones. Gracar. a) |x| < 4 b) |x − 2 | < 4 c) |x + 2| < 4 d ) |x − 1 | < 2 e) | 2 x − 2 | < 2 f ) | − 3 x + 6| > 3
12. Representar en el plano los siguientes puntos.

a) A = (1, 1)

b) B = (− 1 , 0)

c) C = (2, 3)

d ) D = (0, 1)

e) E = (− 1 , −2)

f ) F = (0, 0)

g) G = (10, 0)

h) H = (− 10 , 0)

i) I = (0, 10)

j ) J = (0, −10)

0.3. Práctica 2: Funciones

1. Dada la siguiente funcion f (x) = x^2 + 1, calcular f (0), f (1), f (−1) y f (2).
2. Hallar el dominio y decidir si 1 ∈ Domf a) f (x) = x + 10 b) f (x) = x^2 − 4 c) f (x) = x^3 + 2x^2 + x − 4 d ) f (x) = x + 3 x − 1 e) f (x) = x x^2 − 9

f ) f (x) =

x

x − 1 g) f (x) =

x − 1

Funciones Lineales

1. Gracar.

a) f (x) = 3x

b) f (x) = 3x − 1

c) f (x) = 3x + 1

d ) f (x) = −x

e) f (x) = −x + 6

f ) f (x) = −x − 6

g) f (x) = 6

h) f (x) = − 6

2. Encuentra la función lineal que satisface: a) f (1) = 2 y f (−1) = − 2

b) f (2) = 3 y f (4) = 0

c) f (−1) = 2 y f (2) = − 5

d ) f (1) = 2 y f (2) = 5

e) f (0) = 1 y f (2) = 1

f ) f (0) = 1 y f (5) = 0

3. Hallar la función lineal que pasa por los puntos.

a) P = (− 1 , 1) y Q = (2, 4)

b) P = (0, 1) y Q = (1, 3)

c) P = (− 2 , 3) y Q = (− 3 , 2)

d ) P = (1, 3) y Q = (2, 3)

4. Hallar la recta de pendiente m que pasa por P.

a) P = (1, 3) y m = 2

b) P = (− 1 , 4) y m = − 2

c) P = (1, 1) y m = 0

5. Hallar la ecuacion de la función lineal gracada.
6. Hallar los puntos de intersección de los gracos de f (x) y g(x).

a) f (x) = x + 1 y g(x) = − 2 x + 4

b) f (x) = − 4 x + 2 y g(x) = − 2 x + 4

c) f (x) = − 7 x + 2 y g(x) = 3x

d ) f (x) = 6 y g(x) = 2x − 4

7. Determinar los conjuntos y gracar.

a) Dadas las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = 2x − 1 , escribir como intervalo o union de intervalos el conjunto de valores donde f (x) es menor o igual que g(x)

Función Cuadrática

1. Hallar los ceros, conjunto de positividad y negatividad de f y gracar.

a) f (x) = x^2 + x − 12

b) f (x) = − 2 x^2 + 2

c) f (x) = 2(x − 3)(x + 1)

d ) f (x) = −3(x − 3)(x + 1)

e) f (x) = (x − 2)^2

f ) f (x) = (x − 2)^2 − 1

2. Hallar el vertice de la parábola. Dar la imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y gracar. a) f (x) = x^2 − 1

b) f (x) = −x^2 + 1

c) f (x) = x^2 + x − 6

d ) f (x) = (x − 2)^2

e) f (x) = (x + 2)^2

f ) f (x) = (x − 2)^2 + 1

g) f (x) = − 2 x^2 + 3x − 1

3. Hallar la interseccion de los gracos de f y g.

a) f (x) = x + 1 y g(x) = x^2 − 1

b) f (x) = − 2 x + 2 y g(x) = x^2 − 6

c) f (x) = x^2 + x − 12 y g(x) = x^2 − 9

d ) f (x) = −x^2 + x + 12 y g(x) = 2x^2 − 32

4. Hallar la ecuacion de la funcion cuadratica f.

a) f tiene vértice en (1, 2) y pasa por (− 1 , 6).

b) f cumple f (−3) = 10, tiene imagen [−8; +∞) y su conjunto de ceros es C^0 = {− 8 , − 4 }.

c) f tiene conjunto de positividad (1, 4) y pasa por (0, −2).

d ) f crece en (2, +∞), pasa por (2, −4) y f (1) = 2

e) f (1) = 0, f (−1) = 0 y f (0) = 3

5. Sea f (x) = 3x^2 + 6x + 6. Hallar una función cuadratica g tal que los grácos de f y g tengan el mismo vértice y g(−3) = 0.
6. Dar la ecuacion de la funcion cuadratica cuya imagen es [16; +∞) y cumple que f (3) = f (5) = 18

b) (6x^3 − 3 x^2 + 12x)(−x^2 ) c)

x^2 +^12 5 x − 6

x^4

d )

3 x^2 +

3 x^2 −

e) (5x^6 + 2x)(5x^6 − 2 x) f )

x^3 +

x

x^3 −

x

g) (x^3 − x + 1)(x^2 − x) h) (x^5 − x^3 − x + 1)(x^3 − x^2 + x − 2)

7. Encontrar todos los puntos por donde el polinomio de f cruza el eje x. a) f (x) = 2(x − 3)(x − 1)(x + 4)

b) f (x) = 2x^4 − 10 x^2 + 8 sabiendo que f (1) = 0, f (2) = 0

c) f (x) = x^4 + x^3 − 11 x^2 − 9 x + 18 sabiendo que f (3) = f (−3) = 0

d ) f (x) = x^4 + 2x^3 + x^2

8. Hallar f (x) como función polinómica que corta al eje x en los puntos (− 2 , 0), (1, 0) y (− 3 , 0) y pasa por (2, 1).
9. Hallar f (x) como función polinómica cuyo conjunto de ceros es C^0 {−3; −2; 1} y cumple que f (2) = 1.
10. Hallar los ceros y determinar los intervalos de positividad y negatividad de f (x). a) f (x) = (2x − 1)(x + 3)(−x + 4)

b) f (x) = (x^2 + x − 2)(x − 2)

c) f (x) = x^2 (x^2 − 1)

d ) f (x) = (x^2 − 1)(x^2 + 1)

e) f (x) = (3x^2 + 3)(3x^2 − 3)

11. Hallar el conjunto de ceros de la funcion f (x) = 8x^9 + 8x^8 − 96 x^7
12. Dada f (x) = 2x^2 + ax − 6. Hallar a ∈ < y b ∈ < de modo que el vértice del graco de f sea el punto f = (4, b).

13. Hallar los ceros, los conjuntos de positividad y negatividad de f (x) = x^3 − 4 x^2 + x + 6 sabiendo que f (2) = 0.
14. Sea P = (2, 1) y Q el vértice de la parábola y = − 2 x^2 + 3x + 1. Calcular la distancia entre P y Q.