Matematica financera, Apuntes de Matemática Financiera

¡Descarga Matematica financera y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!

Tema 3. RENDES FINANCERES

Autors: Isabel Morillo López

Lluís Bermúdez Morata

Les imposicions realitzades en el compte defineixen una renda financera a on:

• El terme de la renda és l’import de la imposició realitzada:
   = 15.000,  = 1, 2, … , 36.
• El nombre de termes de la renda és el nombre d’imposicions realitzades en el pla d’estalvi: = 36.
• La periodicitat de la renda és igual a la periodicitat de les imposicions realitzades. En aquest

cas la renda és mensual, per tant,  −  = (^) .

• El diferiment associat al primer terme de la renda és 0 donat que la primera imposició es realitza en el moment de contractació u origen de l’operació.

L’ esquema temporal que descriu la renda associada a les imposicions realitzades en el compte

és el següent:

Exemple

La compra d’un equip informàtic es pot realitzar a terminis, havent de pagar 12 quotes mensuals de 200€. El primer pagament s’ha d’efectuar un mes després de la compra.

Els pagaments a terminis defineixen una renda financera a on:

• El terme de la renda és l’import del pagament realitzat:
   = 200,  = 1, 2, … , 12.
• El nombre de termes de la renda és el nombre de pagaments a realitzar: = 12.
• La periodicitat de la renda és igual a la periodicitat dels pagaments realitzats. En aquest cas

la renda és mensual, per tant,  −  = (^) .

• El diferiment associat al primer terme de la renda és

  donat que el primer pagament es realitza passat un mes de la compra.

L’ esquema temporal que descriu la renda associada als pagaments és el següent:

anys

15. 000 15. 000 15. 000 ⋯ 15. 000 15. 000

0

1 12

2 12

⋯

34 12

35 12

36 12

1 12

1 12

⋯

1 12

1 12

anys

200 200 ⋯ 200 200

0

1 12

2 12

⋯

11 12

12 12

1 12

1 12 ⋯^

1 12

1 12

1.2. Classificació

Les rendes financeres es poden classificar segons diferents criteris:

a) segons la seva periodicitat, b) segons la localització dels termes en els respectius períodes, c) segons el seu inici respecte a l’origen de l’operació, d) segons la seva temporalitat, e) i segons la naturalesa dels termes de la renda.

a) Segons la periodicitat de la renda.

Una renda pot ser:

• Anual:  = 1
• Semestral:  = 2
• Quadrimestral:  = 3
• Trimestral:  = 4
• Bimensual:  = 6
• Mensual:  = 12

b) Segons la localització dels termes en els respectius períodes.

Considerant que cada terme de la renda està associat a un període, la renda pot ser vençuda o anticipada :

• Renda vençuda : el terme es localitza al final del període.
• Renda anticipada : el terme es localitza a l’inici del període.

0

1 

2 

⋯

 

⋯

− 1  

anys

0

1 

2  ⋯^

  ⋯^

− 1  

anys

d) Segons la temporalitat de la renda.

En funció d’aquest criteri la renda pot ser:

• Renda temporal : la renda té un nombre finit de termes  .
• Renda perpètua : la renda té un nombre infinit de termes.

e) Segons la naturalesa del termes de la renda

En funció del comportament del terme
 la renda pot ser:

• Renda constant : si tots els termes són iguals, és a dir,
   =
  .
• Renda variable : si els termes de la renda varien segons una determinada funció. Per exemple: - Renda geomètrica : si els termes varien segons una progressió geomètrica 
   =
   ∙ +, essent + la raó de la progressió. - Renda lineal o aritmètica : si els termes varien segons una progressió aritmètica 
   =
   +  − 1 ∙ ℎ, essent ℎ la diferència de la progressió.

Exemple La renda associada a una operació de préstec és constant quan el prestatari paga, al final de cada mes, la mateixa quota. Si aquesta quota augmentés, per exemple, un 5% mensual acumulatiu, la renda associada seria geomètrica mentre que si l'increment fos de 30 € cada mes, la renda associada seria lineal.

Exemple Classifica la renda associada a les següents opcions que ofereix una empresa per finançar la compra d'un lot d’equips informàtics.

NOTA:

Les classificacions de les rendes segons la localització dels termes en els respectius períodes i segons el seu inici respecte de l’origen de l’operació donen lloc als quatres esquemes de rendes possibles que poden resumir-se en un sol criteri de classificació: segons la situació del primer terme de la renda. Així:

• Renda immediata i vençuda : el primer terme es situa a 1 període de l’inici de l’operació.
• Renda immediata i anticipada : el primer terme es situa a 0 períodes de l’inici de l’operació (es situa per tant, en l’origen o inici de l’operació).
• Renda diferida i vençuda : el primer terme es situa a  + 1 períodes de l’inici de l’operació.
• Renda diferida i anticipada : el primer terme es situa a  períodes de l’inici de l’operació.

a) Pagament de 60 quotes mensuals de 250€. La primera quota es pagarà al final del primer mes de la compra. b) Pagament de 12 quotes trimestrals de 1.150€. La primera quota es pagarà en el moment de la compra. c) Pagament de 48 quotes mensuals de 300€. La primera quota es pagarà als 3 mesos de la compra.

Solució:

En tots tres casos es tracta de definir les característiques de la renda associada a l'operació de finançament de la compra d’un lot d’equips informàtics. Aquesta operació comença en el mateix moment en que vam adquirir el lot i que definim com a moment 0.

a) Pagament de 60 quotes mensuals de 250 €. La primera quota es pagarà al final del primer mes de la compra dels equips.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

Les característiques d’aquesta renda són les següents:

• Periodicitat: mensual,  = 12.
• Localització del terme dins del període: el primer terme es paga al final del primer mes de la compra, aleshores podem suposar que la resta de termes també es paguen al final de cada mes i, per tant, la renda és vençuda.
• Origen de la renda: la primera quota es paga en el primer mes des de la compra. La renta es immediata.
• Nombre de termes: el nombre de quotes que s’han de pagar és 60. Per tant, es tracta d’una renda temporal, essent = 60.
• Naturalesa del terme: l’import de la quota és sempre el mateix. La renta és constant, essent,
   = 250,  = 1, 2, … , 60.

b) Pagament de 12 quotes trimestrals de 1.150€. La primera quota es pagarà en el moment de

la compra dels equips.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

0

1 12

2 12

⋯

 12

⋯

59 12

60 12

1. 150 1. 150 1. 150 ⋯ 1. 150 ⋯ 1. 150

0

1 4

2 4

⋯

 4

⋯

11 4

12 4

anys

250 250 ⋯ 250 ⋯ 250 250

0 anys

1 12

2 12 ⋯^

 12 ⋯^

59 12

60 12

0 1 2 ⋯  ⋯ 59 60 mesos

0 1 2 ⋯  ⋯ 11 12 trimestres

• Si considerem que la renda és anticipada, el diferiment és  = 3 mesos o bé $  =^

  anys.

• Nombre de termes: el nombre de quotes que s’han de pagar és 48. Per tant, es tracta d’una renda temporal, essent = 48.
• Duració total de l’operació: haurem de diferenciar si considerem la renda vençuda o anticipada. Així: - Si considerem que la renda és vençuda, la duració total de l’operació és:  + = 2 + 48 = 50 mesos o bé (^) $ + (^)  = (^)  + (^01)  = (^23)  anys. - Si considerem que la renda és anticipada, la duració total de l’operació és:  + = 3 + 48 = 51 mesos o bé (^) $ + (^)  = (^)  + (^01)  = 2 anys.
• Naturalesa del terme: l’import de la quota és sempre el mateix. La renta és constant, essent,
   = 300,  = 1, 2, … , 48.

En aquest cas, hem vist que podem valorar la renda de dues formes alternatives, considerant que la renda és vençuda i, per tant diferida 2 mesos, o anticipada i diferida 3 mesos. D’ara endavant, en aquests supòsits farem únicament la valoració de la renda considerant que es vençuda.

1.3. Valoració d’una renda financera

El valor d’una renda en un determinat diferiment  és la suma a  de cadascun dels capitals que composen la renda, tenint en compte el valor temporal dels diners. El valor de la renda s’entén com la suma financera de tots els termes que la componen. En altres paraules, per calcular la suma financera a  s’haurà de calcular el capital equivalent de cada terme a  i després sumar.

1.3.1. Valor actual

Si la renda es valora en l’origen de l’operació, és a dir, en  = 0 , el valor rep el nom de valor actual i el simbolitzarem mitjançant 43.

El valor actual de la renda, 43 , és la quantia d’un capital financer situat en l’origen de l’operació,  = 0, que és equivalent al conjunt de capitals financers que constitueixen la renda i es calcula sumant el valor financer, en aquest diferiment, de cadascun dels capitals que composen la renda. Aquesta suma financera és diferent de la suma aritmètica dels capitals.

300 300 300 ⋯ 300 300

0

1 12

2 12

3 !!!!!!!"!!!!!!! 12 # $. (^) 

4 12

5 12 ⋯^

49 12

50 12

51 12

anys

Exemple La compra dels equips informàtics del departament d’hisenda d’un ajuntament es paga a terminis mitjançant el pagament de 12 quotes mensuals de 1.500€. El valor actual de la renda associada al pagament d’aquestes quotes és l’import que s’hauria de pagar en el moment de la compra si aquesta es pagués al comptat. Aquest valor és diferent que el que resulta de sumar aritmèticament les quotes.

Exemple A un ajuntament li queden pendents de pagament 36 quotes mensuals de 2.500€ per acabar d’amortitzar un préstec, que va sol·licitar fa un temps, per a les seves necessitats de finançament. El valor actual de la renda associada al pagament d’aquestes quotes és l’import que hauria de pagar si volgués substituir-les per un únic pagament avui mateix. Aquest valor l’obtindríem trobant el valor, avui, de cadascuna de les 36 quotes i sumant el resultat obtingut.

Donat que existeixen diferents tipus de rendes que sorgeixen de la combinació dels diferents criteris de classificació detallats en l’apartat anterior, per sistematitzar la valoració de les rendes es prendrà com a referència una renda immediata i vençuda.

El valor actual d’una renda immediata i vençuda es pot representar gràficament a partir del següent esquema temporal:

La valoració es realitzarà en règim financer d’interès compost a tant constant, l’expressió característica del qual, quan es tracta de la actualització d’un capital és:

^5 =
∙ 1 + 6

La freqüència de l’interès efectiu utilitzat per valorar la renda, (^6) , és la mateixa que la de la renda. Així, si la renda és mensual, utilitzarem un tipus efectiu mensual per valorar-la. Si la renda és trimestral, el tipus d’interès efectiu serà trimestral, etc.

A partir del valor actual de cada capital, el valor actual de la renda financera és:

43 =
 ∙ 1 + 6^ +
 ∙ 1 + 6^ + ⋯ +
 ∙ 1 + 6^ + ⋯ +
 ∙ 1 + 6

0

1 

2 

⋯

 

⋯

− 1   anys ss

(^43)

1 2 ⋯  ⋯ − (^1) períodes

NOTA:

La renda que utilitzarem com a referència serà una de periodicitat (^)  , vençuda, immediata i temporal. Per valorar aquesta renda aplicarem règim financer d’interès compost i utilitzarem sempre un tipus d’interès efectiu, (^6)  , amb una freqüència igual a la freqüència de la renda.

A partir del valor final de cada capital, el valor final de la renda financera és:

4  =
 ∙ 1 + 6^ +
 ∙ 1 + 6^ + ⋯ +
 ∙ 1 + 6^ + ⋯ +


Si es té en compte que el valor actual d’una renda financera és la quantia d’un capital, equivalent a la renda, situat a 0 i que, el valor final de la mateixa renda financera és la quantia d’un capital, també equivalent a la renda, situat a , podem trobar el valor final a partir del valor actual si es capitalitza aquest últim períodes.

Gràficament la relació entre el valor actual i el valor final és la següent:

Aplicant l’expressió característica del règim financer d’interès compost, obtenim que:

Com acabem de veure el valor actual i final d’una renda financera pot calcular-se amb les eines estudiades fins aquí, concretament, amb l’equació característica del règim financer d’interès compost. No obstant això, si el nombre de termes és elevat, el seu càlcul pot resultar tediós. Per això, per a determinats tipus de rendes (constants, geomètriques o lineals) poden utilitzar-se una sèrie de fórmules. Deduïdes a partir de l’expressió general pel valor actual d’una renda immediata i vençuda, permeten el càlcul del valor actual d’aquestes rendes d’una manera molt més eficaç i immediata, com veurem en els següents apartats.

1.3.3. Valoració financera d’una renda constant

Com hem vist en l’apartat anterior, el valor (o suma) dels termes d’una renda en un instant determinat, podem calcular-lo aplicant interès compost a cada terme per valorar-los en aquest instant i després sumar-los. sumant els valors, en aquest instant, de cadascun dels termes que composen la renda. No obstant, disposem d’una fórmula que ens permet sumar els termes d’una renda constant de manera immediata:

(^4) 

0

1 

2 

⋯

 

⋯

− 1   anys ss 1 2 ⋯  ⋯ − (^1) períodes

(^43)

La relació entre el valor actual i el valor final d’una renda de periodicitat (^)  , vençuda, immediata i temporal és: (^4)  = 4 3 ∙ 1 + 6

on (^6)  és un tipus d’interès efectiu d’igual freqüència que la de la renda.

La utilització d’aquesta fórmula, com qualsevol eina, ha d’anar necessàriament del coneixement de les seves condicions d’ús:

En primer lloc, cal conèixer i entendre bé els inputs i l’output de la fórmula:

INPUTS:

• 
  : quantia dels termes constants de la renda, en euros.
• : número de termes de la renda, sempre és un nombre enter.
• (^6) : tipus d’interès efectiu de valoració, amb la periodicitat de la renda.

OUTPUT:

• 4 : suma dels termes de la renda, de quantia
  , un període abans (segons la periodicitat  ) d’on es situa el primer terme de la renda, utilitzant el tipus de valoració (^6) .

En segon lloc, cal saber gràficament on calcula la fórmula el valor:

Com ja hem dit, la fórmula calcula el valor (o suma financera) dels termes un període abans d’on es situa el primer terme.

Tenint en compte que la valoració es realitza utilitzant interès compost, la fórmula sempre fa el càlcul següent:

4 =
∙ 1 + 6^ +
∙ 1 + 6^ + ⋯ +
∙ 1 + 6^ =
∙

és a dir, pren el primer terme i el valora un període abans d’on està situat, el segon dos períodes abans, i així, successivament, fins el darrer terme i, després, com tots estan valorats en el mateix moment temporal (un període abans d’on està situat el primer terme), els suma tots.

Aquesta igualtat es pot demostrar matemàticament, però la demostració no serà objecte d’estudi en el nostre cas.

4

L’ aplicació de

4 =
∙

Ens proporciona sempre el valor de la renta un període abans d’on es troba el primer terme de la mateixa. Si hem de calcular el valor actual, 43 , o el valor final, (^4) &, d’una renda constant, haurem d’aplicar interès compost per actualitzar o capitalitzar el resultat de la fórmula anterior.

4. Finalment, apliquem la fórmula i comprovem en quin període ha realitzat la suma financera (la fórmula sempre calcular el valor un període abans d’on està situat el primer terme de la renda). Posteriorment, si la fórmula no ha sumat allà on volíem sumar el termes de la renda, haurem de fer les correccions necessàries actualitzant o capitalitzant amb interès compost el resultat obtingut amb la fórmula.

Exemple Calculeu el valor actual i final d’una renda anual i constant de 4 termes de 100€, essent el tipus de valoració del 10% efectiu anual, en els casos següents:

a) Renda immediata i vençuda. b) Renda immediata i anticipada. c) Renda diferida 2 anys i vençuda. d) Renda diferida 2 anys i anticipada.

Solució:

En cada un del quatre casos seguirem les passes per a la correcta valoració de la renda

corresponent:

a) Renda immediata i vençuda.

1. Es tracta d’una renda anual, per tant,  = 1. Donat que és una renda immediata i vençuda, el primer terme està situat a 1 període de l’origen de l’operació.
2. Les variables que coneixem són:
   • Quantia dels termes constants de la renda:
     = 100€
   • El tipus d’interès de valoració proporcionat és un 10% efectiu anual, és a dir, (^6)  = 0,10. Com la renda és anual, ja tenim el tipus d’interès efectiu amb la freqüència de la renda.
   • La renda té 4 termes, per tant, = 4. Com la renda és immediata,  = 0, i l’operació té una duració global de  + = 4 anys.
3. L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:
4. Per calcular el valor actual podem utilitzar:

• L’equació característica del règim financer d’interès compost aplicada a cadascun dels termes

de la renda:

43 = 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ +

+100 ∙ 1 + 0,100^ = 100 ∙ 81,1^ + 1,1^ + 1,1^ + 1,109 = 316,99€

anys

(^43)

0 1 2 3 4 (^40)

17

• La fórmula de valoració d’una renda constant:

Com ja sabem, aquesta fórmula calcula el valor dels termes de la renda, un període abans d’on està situat el primer terme, donat que el primer terme està situat a 1, el valor està calculat a 0, justament on es demanava obtenir-lo, per tant, 43 = 4 = 316,99€.

Per calcular el valor final podem utilitzar:

• L’equació característica del règim financer d’interès compost aplicada a :
  • Cadascun dels termes de la renda:

40 = 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 = = 100 ∙ 81,1^ + 1,1^ + 1,1^ + 19 = 464,10€

• Al valor actual de la renda:

40 = 316,99 ∙ 1 + 0,10^0 = 464,10€

• La fórmula de valoració d’una renda constant:

:.:;

∙ 1 + 0,10 !!"!!#^0

<='<<%ó

Com ja hem comentat en el càlcul del valor actual, la fórmula de valoració calcula, en aquest cas, el valor a 0, com volem calcular el valor al moment 4, hem de corregir aquest valor capitalitzant 4 períodes.

b) Renda immediata i anticipada.

1. Sabem que és una renda anual, per tant,  = 1. Donat que és una renda immediata i anticipada, el primer terme està situat a 0 períodes de l’origen de l’operació ( està situat en l’origen de l’operació).
2. Les variables que coneixem són:
   • Quantia dels termes constants de la renda:
     = 100€
   • El tipus d’interès de valoració proporcionat és un 10% efectiu anual, és a dir, (^6)  = 0,10. Com la renda és anual, ja tenim el tipus d’interès efectiu amb la freqüència de la renda.
   • La renda té 4 termes, per tant, = 4. Com la renda és immediata,  = 0, i l’operació té una duració global de  + = 4 anys.
3. L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

anys

(^43)

− 1 0 1 2 3 4 (^40)

2. Les variables que coneixem són
   • Quantia dels termes constants de la renda:
     = 100€
   • El tipus d’interès de valoració proporcionat és un 10% efectiu anual, és a dir, (^6)  = 0,10. Com la renda és anual, ja tenim el tipus d’interès efectiu amb la freqüència de la renda.
   • La renda té 4 termes, per tant, = 4. Com la renda és diferida 2 anys, la duració total de l’operació és  + = 2 + 4 = 6 anys.
3. L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:
4. Per calcular el valor actual :

• Si utilitzem l’equació característica del règim financer d’interès compost aplicada a cadascun

dels termes de la renda:

43 = 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,100^ + 100 ∙ 1 + 0,102^ +

+ 100 ∙ 1 + 0,10A^ = 100 ∙ 81,1^ + 1,10^ + 1,12^ + 1,1A9 = 261,97€

• Utilitzant la fórmula de valoració d’una renda constant:

:.:C

<='<<%ó

En aquest cas, 4, calcula el valor dels termes de la renda a 2 (un període abans d’on està situat el primer), així, per obtenir el valor a 0, hem de corregir actualitzant dos períodes.

Per calcular el valor final :

• Mitjançant l’equació característica del règim financer d’interès compost aplicada a:
  • Cadascun dels termes de la renda:

4 A = 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 =

= 100 ∙ 81,1^ + 1,1^ + 1,1^ + 19 = 464,10€

• Al valor actual de la renda:

(^4) A = 261,97 ∙ 1 + 0,10A^ = 464,10€

• Mitjançant la fórmula de valoració d’una renda constant:

0 1 2 3 4 5 6 anys (^43 4) A

4

4 A = 100 ∙

:.:C

∙ 1 + 0,10 !!"!!#^0

<='<<%ó

La fórmula de valoració calcula el valor en el moment 2, per tant, aquest valor s’ha de capitalitzar 4 anys per obtenir el valor a 6.

d) Renda diferida 2 anys i anticipada

1. Sabem que és una renda anual, per tant,  = 1. Donat que és una renda diferida 2 anys (el diferiment està expressat en períodes de renda) i anticipada, el primer terme està situat a  = 2 anys de l’origen de l’operació.
2. Les variables que coneixem són:
   • Quantia dels termes constants de la renda:
     = 100€
   • El tipus d’interès de valoració proporcionat és un 10% efectiu anual, és a dir, (^6)  = 0,10. Com la renda és anual, ja tenim el tipus d’interès efectiu amb la freqüència de la renda.
   • La renda té 4 termes, per tant, = 4. Com la renda és diferida 2 anys, la duració total de l’operació és  + = 2 + 4 = 6 anys.
3. L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:
4. Per calcular el valor actual :

• Si utilitzem l’equació característica del règim financer d’interès compost aplicada a cadascun dels termes de la renda:

43 = 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,10^ + 100 ∙ 1 + 0,100^ +

+ 100 ∙ 1 + 0,102^ = 100 ∙ 81,1^ + 1,1^ + 1,10^ + 1,129 = 288,17€

• Utilitzant la fórmula de valoració d’una renda constant:

:.:@

<='<<%ó

En aquest cas, 4 calcula el valor dels termes de la renda a 1, així, per obtenir el valor a 0, hem de corregir actualitzant un període.

0 1 2 3 4 5 6 anys (^43 4) A

4