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VALORACION DE BONOS
Elementos de un bono
Un bono es un instrumento financiero de renta fija y constituye una de las formas de endeudamiento que pueden utilizar, tanto el Gobierno como las empresas privadas para financiarse. Está compuesto por cupones, que constituyen el interés, y un valor principal, ambos “fijados” desde su fecha de emisión. Por lo general, los cupones se reciben semestralmente, y a veces anualmente, y el principal se percibe totalmente a la fecha de vencimiento del bono. Tres variables caracterizan a un bono: su valor nominal o par o principal ( par value ), el cupón ( coupon rate ) , y la fecha de vencimiento ( maturity date ). Por ejemplo, un bono típico puede tener 10.000 dólares de valor nominal, 10 por 100 de interés anual y vencimiento el 31 de diciembre de 2007. El valor nominal es el monto que el inversor recibirá a la fecha de vencimiento del bono; en España, por ejemplo, los Bonos del Estado son generalmente emitidos con un valor par de 10.000 dólares. El cupón es el porcentaje del valor par que el inversor recibirá anualmente como cobro de intereses. El bono anteriormente mencionado pagará 1.000 dólares de interés anual (usualmente en dos pagos semestrales de 500 dólares). El 31 de diciembre de 1997, fecha de vencimiento, el tenedor recibirá 10.000 dólares por bono más 500 dólares del último cupón y cesará de recibir más pagos de intereses. A efectos de precios y cotizaciones de bonos en los mercados de deuda se utiliza siempre un valor par de 100 que representa el 100% del nominal del bono. Cada punto es un 1 por 100 del valor nominal, en nuestro caso 1 punto equivale a 100 dólares.
Valoración de un bono ( Bond pricing )
El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente del flujo de fondos que se espera recibir en el futuro. Por consiguiente, para hallar el precio de un bono es necesario conocer su flujo de fondos y descontarlo luego con una tasa de interés. Como dijimos anteriormente, en el caso de un bono su flujo de fondos ( cash flow ) está dado por los cupones o interés y por el principal. Por ejemplo, un bono a tres años que paga 12 por 100 anual de cupón (6 por 100 semestral) y cuyo valor par es 10.000 dólares tiene el siguiente flujo de fondos: 6 pagos semestrales de 600 dólares y uno de 10.000 dólares que se pagará dentro de seis semestres. A los efectos del cálculo del valor de un bono es necesario hablar siempre de períodos homogéneos de tiempo, por ese motivo decimos que el principal se recibirá dentro de seis semestres (y no dentro de 3 años). Una vez obtenido el flujo de fondos, el segundo paso consiste en hallar su valor presente aplicando al mismo una tasa de descuento. La tasa de interés o tasa de descuento que un inversor espera obtener de un bono es llamada rendimiento requerido ( required yield ) sobre dicha inversión. El rendimiento requerido está siempre relacionado con el retorno que el inversor podría obtener invirtiendo su dinero en otro bono de las mismas características en cuanto a calidad crediticia del emisor, valor del cupón y vencimiento. De ahí que en la práctica el rendimiento requerido no es más que la tasa de interés de mercado para un determinado plazo y nivel de riesgo. Por ese motivo, en adelante los términos rendimiento requerido y tasa de interés de mercado serán utilizados indistintamente. Una vez obtenidos el flujo de fondos y el rendimiento requerido ya estamos en condiciones de calcular el precio del bono. El precio de un bono es igual al valor presente del flujo de fondos, que se obtiene sumando: a) el valor presente de los pagos semestrales de cupones de interés, y b) el valor presente del principal.
De manera tal que:
P = C + C + ... + C + M a (1)
(1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) n^ (1+i) n
Donde: P: Precio del bono. C: Valor del cupón o interés
n: Número de períodos (número de años por número de pagos por año. Ejemplo: para un bono a tres años con pagos semestrales, n = 3 x 2 = 6 semestres) i: Rendimiento requerido (por período, por ejemplo semestral, en decimales). M: Valor par o nominal o principal.
Un ejemplo puede ilustrar la aplicación práctica de esta fórmula. Supongamos que queremos calcular el precio a pagar por un bono emitido a tres años, con valor nominal 10. dólares y cupón del 10 por 100 anual a pagar en dos cuotas semestrales de 500 dólares. El rendimiento deseado es de 14 por 100 anual (tasa anual simple) y el primer cupón se cobrará exactamente dentro de seis meses. Como dijimos anteriormente, en el mercado de deuda las cotizaciones de bonos se realizan siempre en valor par 100. Por tanto, el flujo de fondos de este bono está dado por 6 pagos semestrales de cupón por valor de 5 (es decir, 500 dólares: 10.000 x 0.05) más el principal 100 (es decir 10.000 dólares) que se recibirá dentro de seis semestres desde hoy. La tasa semestral es del 7 por 100 y el primer cupón se cobrará exactamente dentro de seis meses. Aplicando la fórmula (1), el precio a pagar por este bono sería de 90,46.
P (^) = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 105 a (1+0.07)^1 (1+0.07) 2 (1+0.07)^3 (1+0.07) 4 (1+0.07)^5 (1+0.07) 6
P = 4,76 + 4,37 + 4,08 + 3,81 + 3,56 + 69,97 = 90,
3. Tasa anual simple y tasa anual efectiva (TAE O TIR)
En el caso anterior, el 7 por 100 al que hemos descontado todos los flujos es la TIR o tasa efectiva semestral. Para transformar la tasa efectiva semestral en tasa efectiva anual (TAE o TIR) utilizamos la siguiente fórmula:
TIR o TAE = (1 + i) n^ - 1 (2)
donde “i” es la tasa efectiva semestral (mensual, etc) y “n” es el número de períodos por año (dos en este caso). En nuestro caso la TAE sería:
TAE = (1 + 0,07)^2 - 1 = 14,49%
Si quisiéramos obtener la tasa anual simple (TAS) bastaría con multiplicar por dos. La fórmula genérica es:
TAS = i x n
donde “n” es el número de períodos por año. En nuestro caso la TAS sería: TAS = 0,07 x 2= 14%.
4. Relación entre el rendimiento requerido y el precio de un bono
Supongamos ahora que la tasa de descuento baja de 14 a 12 por 100 anual: ¿qué pasa con el precio del bono? Recalculando el precio del bono con la nueva tasa de interés observamos que asciende de 90,46 a 95,08. Esto nos lleva a una propiedad básica del comportamiento de los bonos: el precio de un bono varía siempre en dirección opuesta a los cambios en la tasa de interés de mercado. Esto es así porque el precio de un bono es igual al valor presente de un flujo de fondos, de manera tal que en la medida que asciende (desciende) la tasa de descuento aplicada, desciende el precio y viceversa. Podemos ver esto claramente en el cuadro que se presenta a continuación: para el bono indicado en el ejemplo anterior, cuando la tasa es 14 por 100 anual, el precio del bono es 90,46; cuando la tasa es de 12 por 100 su precio asciende a 95,08 y cuando cae la tasa a 10 por 100 el precio asciende más aún para alcanzar un precio de 100.
Para un bono a tres años, valor par 100 con cupón del 10 por 100 anual a pagar semestralmente.
Podemos decir entonces, a modo de resumen, que el precio de un bono variará si se da alguno de los tres casos siguientes:
a) Que cambie el tipo de interés de mercado debido a que los inversores perciben que la calidad crediticia del emisor ha cambiado. Si, por ejemplo, los inversores estimaran que el emisor podría tener problemas financieros para devolver el principal del bono o pagar alguno de sus cupones, el rendimiento requerido aumentará y, por lo tanto, el precio caerá. A mayor riesgo, mayor rendimiento requerido y caída del precio. Lo contrario sucederá cuando los inversores crean que el emisor tiene menos riesgo hoy que en el pasado. b) Que cambie su rendimiento debido a cambios en el rendimiento de otros bonos comparables en términos de riesgo, plazo, etc; es decir, cambios en el tipo de interés de mercado. c) Que, permaneciendo el rendimiento requerido constante, un bono que cotiza con descuento o con premio (no a la par) se vaya acercando a su fecha de vencimiento.
Decíamos anteriormente que un bono está compuesto por cupones o interés que se pagan periódicamente, y un valor par o principal que se paga enteramente a la fecha de vencimiento. A continuación vamos a analizar las características de dos tipos especiales de bonos: aquellos que no pagan cupones o interés (bonos cupón cero) y aquellos que pueden ser rescatados por el emisor antes de la fecha de vencimiento (bonos de amortización anticipada).
6. Bonos cupón cero ( zero coupon bonds )
Como su nombre lo indica, un bono cupón cero es aquel que no paga ningún cupón o interés desde su emisión a su fecha de vencimiento. En su lugar, el inversor recibe los intereses como diferencia entre el precio de compra y el valor par del bono. Su precio, al igual que el precio de cualquier bono, es igual al valor presente del flujo esperado de fondos:
P = C + C + ... + C + M a
(1+i) 1 (1+i)^2 (1+i) n^ (1+i) n
Ahora bien, en el caso de un bono cupón cero el único flujo de fondos es su valor par. Siendo el valor del cupón (C) igual a cero, el precio de un bono cupón cero es igual a:
P = M a (3)
(1+i)n
Tomando un ejemplo, el precio de un bono cupón cero emitido a diez años, con un valor par de 100 y una tasa interna de retorno del 9 por 100 anual es igual a:
P = 100 = 42,
7. Bonos de amortización anticipada ( callable bonds )
En el mercado norteamericano, muchos de los bonos emitidos por corporaciones contienen cláusulas que otorgan al emisor la opción de rescatar el bono antes de su fecha de vencimiento. Así, por ejemplo, un bono emitido a diez años podría ser rescatado anticipadamente si esa fuera la voluntad de la compañía emisora.
Como instrumento de financiación para la empresa, el bono de amortización anticipada presenta dos importantes atractivos: en primer lugar, si caen las tasas de interés, la empresa puede rescatar los bonos que están en circulación y emitir una nueva serie a menor costo. En segundo término, otorga al emisor flexibilidad. Si las condiciones de mercado cambian, o la estrategia empresaria lo requiere, el bono de amortización anticipada posibilita adaptar la estructura de capital al nuevo escenario. A primera vista parecería que este tipo de bonos supone ventajas sólo para el emisor. Sin embargo, si la empresa opta por rescatar anticipadamente el bono, suele pagar a los tenedores del bono un premio sobre el valor par. Por otro lado, algunos bonos de amortización anticipada tienen cláusulas que no permiten su rescate antes de un determinado número de años. En último término, y como regla general, cuanto más atractivas son las condiciones de emisión para la empresa mayor es la tasa requerida por el inversor y, por lo tanto, el valor del cupón (por lo general, cuando se emite un bono se fija la tasa de cupón igual a la tasa de rendimiento requerida por el mercado, para que comience cotizando inicialmente a la par). En el apartado siguiente analizaremos las distintas formas de medir el rendimiento de un bono y allí veremos también cómo valora el mercado los bonos de amortización anticipada.
8. Rendimiento de un bono
Para un bono dado, el valor del cupón, su valor par y su fecha de vencimiento son datos conocidos y fijos. Su precio y rendimiento requerido en cambio varían periódicamente según las condiciones de mercado y además en forma inversa (a mayor rendimiento requerido menor precio, y viceversa). Vimos anteriormente cómo obtener el precio de un bono partiendo de un rendimiento requerido dado, sin embargo, siendo el precio una variable dada por el mercado veremos ahora las distintas formas de evaluar el rendimiento de un bono dado su precio. Un inversor que compra un bono espera recibir el retorno de su inversión de una o más de las siguientes formas:
a) Si el precio del bono al momento de su venta o rescate anticipado es mayor que el precio de compra, el inversor tendrá una ganancia de capital (será pérdida de capital en caso contrario). b) A través del cobro de los cupones de interés que el emisor pagará periódicamente (por ejemplo, semestralmente). c) La reinversión de los cupones de interés cobrados generan “intereses sobre intereses” lo que supone un ingreso adicional.
A continuación veremos las tres formas de medir el rendimiento potencial de un bono que son más utilizadas en el mercado: rendimiento corriente, rendimiento a vencimiento y rendimiento de un bono de amortización anticipada. Veremos en qué medida consideran –o no- las tres fuentes de rendimiento que mencionamos en el párrafo anterior.
8.1 Rendimiento corriente ( Current yield )
El rendimiento corriente de un bono está dado por el cociente entre el valor anual del cupón y el precio de mercado. Así por ejemplo, el rendimiento corriente de un bono emitido a veinte años, con valor par 100 y cupón del 8 por 100 anual (pagadero semestralmente) y que se compra a un precio de 90 es igual a:
Rendimiento corriente = 8 / 90 = 0,089 o 8,9%
El rendimiento corriente sólo considera como fuente potencial de retorno a los cupones o interés, ignorando totalmente tanto las posibles ganancias de capital que el inversor pueda realizar en el futuro, como los ingresos que el inversor podría obtener de reinvertir los cupones cobrados semestralmente. Por este motivo el lector advertirá que constituye una medida muy pobre.
8.2 Rendimiento a vencimiento ( Yield-to-maturity )
vencimiento) un bono que cotiza con premio tiene mayor riesgo de reinversión que uno que cotiza a la par, y este último mayor que uno que cotiza con descuento. Para el caso de un bono cupón cero, al no depender su rendimiento de la reinversión de cupones, no existe riesgo de reinversión; pero sí tiene riesgo de tasa de interés si el inversor no mantiene el bono cupón cero hasta su amortización o vencimiento.
TIR de un bono cupón cero
Cuando existe un único flujo de fondos, como es el caso de un bono cupón cero, el cálculo de la TIR es evidentemente más sencillo. El rendimiento a vencimiento de un bono cupón cero se obtiene a partir de la fórmula general:
Precio = Valor Par
(1+i)n
TIR = (Valor Par / Precio) 1/n^ – 1
Así por ejemplo, el rendimiento a vencimiento de un bono cupón cero emitido a cinco años que se compra a 65 dólares con un valor par de 100 es del 9 por 100, como se muestra a continuación:
TIR = (100 / 65)1/5^ – 1 = 0,09 o 9%
TIR de un bono de amortización anticipada
Para el cálculo de la TIR de un bono de amortización anticipada se suelen considerar los flujos de fondos que van desde la compra del bono hasta la fecha más próxima en que puede ser rescatado.
P (^) = C + C + ... + C + M* a (1+i)^1 (1+i)^2 (1+i) n^ (1+i) n Donde: P: Precio del bono C: Valor del cupón de interés n: Número de períodos hasta la fecha más próxima de rescate M: Valor de rescate
La TIR calculada de este modo supone que el inversor mantendrá el bono hasta la fecha más próxima de rescate y que el emisor rescatará el bono en esa fecha. Este último supuesto es frecuentemente irreal, aunque si llegara a darse el caso, la TIR tampoco tiene en cuenta el rendimiento que el inversor puede obtener de la reinversión del valor de rescate.
9. Resumen sobre valor del dinero en el tiempo y valoración de bonos 1. El dinero tiene un valor en el tiempo porque (a) la inflación reduce el poder adquisitivo de los futuros dólares, (b) la incertidumbre acerca de si recibiremos o no el dinero en el futuro aumenta conforme los plazos son mayores, y (c) por lo que es comúnmente conocido como costo de oportunidad. 2. El valor futuro de una inversión se obtiene según la siguiente fórmula:
Valor Futuro = Valor Presente (1 + i) n
- El valor presente de un monto a recibir es igual a:
Valor Presente = Valor Futuro 1 a (1+i)n
- La tasa interna de retorno de una inversión (TIR) es aquella que iguala el valor presente del flujo de fondos de la inversión con su precio y se obtiene a través de un proceso de iteración. Su utilidad está basada en que constituye una medida de rentabilidad que permite comparar diversos tipos de inversiones.
- Hay que tener en cuenta, cuando se trabaja con una calculadora financiera, las diversas formas de anualizar tasas de interés semestrales según sea el mercado americano o el europeo. El primero trabaja con tasas anuales simples, mientras que el europeo trabaja con tasas anuales efectivas.
- Un bono es un instrumento financiero de renta fija y constituye una de las formas de endeudamiento que pueden utilizar tanto el Gobierno como las empresas privadas para financiarse. Está compuesto por cupones o interés y un valor principal, ambos “fijados” desde su fecha de emisión.
- El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente del flujo de fondos que se espera recibir en el futuro. En el caso de un bono su flujo de fondos está dado por los cupones que son pagados generalmente en forma semestral y por el principal que se percibe a vencimiento. Por tanto el precio de un bono se obtiene con la siguiente fórmula:
P = C + C + ... + C + M a
(1+i) 1 (1+i)^2 (1+i) n^ (1+i) n
- La relación tipo de interés de mercado/precio de un bono es inversa. Una suba (baja) del tipo de interés de mercado produce una baja (alza) del precio del bono.
- Para bonos que cotizan con premio (sobre la par) o con descuento (bajo la par) se cumple que conforme se acercan a su fecha de vencimiento, su precio tiende al valor par.
- Merecen destacarse dos tipos especiales de bonos: los bonos cupón cero y los bonos de amortización anticipada.
- Las tres formas de medir el rendimiento potencial de un bono más utilizadas en el mercado son: (a) el rendimiento corriente, (b) el rendimiento a vencimiento, y (c) el rendimiento de un bono de amortización anticipada.
- El rendimiento a vencimiento no es más que su TIR. Se obtiene, por tanto, despejando i en la fórmula ya conocida, siendo P ahora un dato:
P = C + C + ... + C + M a
(1+i) 1 (1+i)^2 (1+i) n^ (1+i) n
- La TIR supone (a) que el bono es mantenido hasta su vencimiento y (b) que los cupones pueden ser reinvertidos a una tasa de interés igual a la TIR del día de compra del bono. Ambos supuestos dan lugar a los llamados riesgo tasa de interés y riesgo de reinversión.
- Adicionalmente, la TIR de un bono de amortización anticipada supone que el inversor mantendrá el bono hasta la fecha más próxima de rescate y que el emisor rescatará el bono en esa fecha.
distante de su vencimiento se encuentra generalmente más expuesto al riesgo de una subida en la tasa de interés. La explicación lógica de esta diferencia en el riesgo de tasa de interés según los plazos es simple. Supongamos un inversor que compra un bono con valor par 100 emitido a quince años y cuyo valor del cupón es del 17 por 100 anual y que se paga en forma anual. Ahora supongamos que las tasas de interés comparables con el bono asciendan al 20 por 100: nuestro inversor seguirá recibiendo una renta de 17 durante los siguientes quince años. Por otro lado, si hubiese comprado un bono que está a un año de su vencimiento hubiese recibido una baja renta solo por un año. A fin de año hubiese recibido el valor par del bono (100) y hubiese podido reinvertirlo y recibir un 20 por 100 durante los próximos 14 años. Es lógico por tanto que el bono que está a un año de su vencimiento sufra una caída en su precio inferior a la que se da en el caso de aquel al que le quedan 15 años. El riesgo tasa de interés refleja el hecho de que el inversor está “comprometido” por un período de tiempo en una inversión dada que le proporciona una tasa de interés fija: cuanto mayor es este período, mayor es el riesgo de que la tasa de interés sufra modificaciones. Además, una vez producida la modificación en el tipo de interés, cuanto mayor sea el plazo del bono, el inversor se verá perjudicado (beneficiado) durante mayor tiempo, por el cambio de los tipos. El hecho de que los bonos de largo plazo sean más sensibles a subas en la tasa de interés, se comprende también recurriendo a la fórmula matemática para obtener el precio de un bono:
P (^) = C + C + ... + C + M a (1) (1+i) 1 (1+i)^2 (1+i) n^ (1+i) n
Observando el denominador de cada término es evidente que una mayor tasa de descuento tiene mayor impacto sobre los flujos de fondo más distantes. En el caso de un bono emitido a un año, su vencimiento está tan cercano que su precio se mantiene prácticamente inalterado ante variaciones en la tasa de interés. Conforme los pagos se hacen más distantes, el hecho de descontar el flujo de fondos con una mayor tasa de descuento se hace más significativo, y el precio se ve más afectado por un aumento en la tasa de interés.
1.3 ¿Sólo importa el plazo?
En el cuadro que se presenta a continuación repetimos el mismo ejercicio numérico realizado en el Cuadro 4, pero en lugar de considerar bonos con cupón del 12 por 100 anual, utilizamos bonos cupón cero.
Cuadro 2. Volatilidad precios de bonos cupón cero
TAS
Bono D (3 años)
Bono E (10 años)
Bono F (20 años) 12 % 71,18 32,20 10, 13 % 69,30 29,46 8, F 0 4 4Precio -2,6%^ -8,5%^ -16,2%
(1) TAS = Tasa anual simple. Para bonos cupón cero la TAS = TIR.
Si comparamos las variaciones de precios obtenidas en el Cuadro 2 con las del Cuadro 1, vemos que para cada plazo cuando la tasa de interés asciende de 12 a 13 por 100 las variaciones de precios de los bonos cupón cero son mayores que la de los bonos con cupón del 12 por 100 (3 años: 2,6%>2,4%; 10 años: 8,5%>5,5%; 20 años: 16,2%>7,1%). Aquí nos encontramos entonces con bonos que tienen el mismo plazo y distinta volatilidad: ¿cómo se explica esto? Los bonos con cupón del 12 por 100 pagan intereses todos los años hasta la fecha de vencimiento en los que pagan también el valor par. Cada uno de estos pagos tiene –por así decirlo- su “propio plazo” y, por tanto, el plazo efectivo del bono es una especie de promedio ponderado de cada uno de estos plazos. Este plazo efectivo será ciertamente inferior al período de tiempo que resta para la fecha de vencimiento. Por el contrario, el bono cupón cero consta de un solo pago que se realiza a vencimiento y, por tanto, su plazo efectivo es igual al período de tiempo que resta para la fecha de su vencimiento.
2. DURACION
2.1 Concepto y cálculo de la duración
Esta idea de plazo promedio para un bono que paga cupones antes de su fecha de vencimiento fue definida por primera vez por Frederick Macaulay con el concepto de duración ( duration ) de un bono. La duración de un bono tiene en cuenta el peso que cada pago (sea del cupón o del principal) tiene en el valor del bono. Concretamente, la importancia de cada pago es igual a su valor presente dividido por el precio del bono. La fórmula de Macaulay para obtener la duración de un bono es la siguiente:
T D = F 05 3t (^) x CFt / (1+i) t^ (2) t = 1 (^) P
Donde: D: Duración del bono t: Número de períodos hasta cada pago i: TIR del bono o tasa efectiva del período CFt : Es el pago de cupón y/o valor par (cash flow) recibido por el inversor en el período t. P: Precio del bono
Como se desprende de la fórmula anterior, la duración es un promedio ponderado del número de períodos que restan hasta cada pago (t), donde los ponderadores están dados por cada flujo de fondos descontado por la TIR y dividido por el precio del bono, es decir, (CF (^) t / ( +i)t^ )/ P. Obviamente, como la suma de los flujos descontados (numerador) es igual al precio del bono (denominador), la suma de los ponderadores es igual a uno. A modo de ejemplo se presenta a continuación el cálculo de la duración de un bono con cupón del 12 por 100 anual (Bono A) y de un bono cupón cero (Bono B), ambos con un plazo de tres años hasta su vencimiento y asumiendo que la tasa anual simple (TAS) para ambos es del 14 por 100 anual (lo que se corresponde con una tasa semestral del 7 por 100 y una TIR anual del 14,49 por 100).
Cuadro 3. Cálculo de la duración
Períodos (años) hasta pago (1)
Pago
Pago descontado al 7% semestral (3)
Ponderador
Duración
5=(1)x(4) Bono A 0,5 6 5,61 0,058 0, (cupón 12% 1,0 6 5,24 0,055 0, pago sem.) 1,5 6 4,89 0,051 0, 2,0 6 4,58 0,048 0, 2,5 6 4,28 0,045 0, 3,0 106 70,63 0,743 2, Suma: 95,23 1,000 2,
(1) (2) (3) (4) 5=(1)x(4) Bono B 0,5 a 2,5 0 0 0 0 (cupón cero) 3,0 100 66,63 1,000 3, Suma: 66,63 1,000 3,
En la columna (4) los ponderadores se obtienen dividiendo el valor presente de cada pago (columna 3) por el precio del bono (Bono A: 95,23 y Bono B: 66,63). Sumando los valores obtenidos en la columna (5) obtenemos la duración de cada bono: la duración del bono cupón cero, al tener un solo pago, es exactamente igual a su plazo (3 años o 6 semestres); en cambio la duración del bono que paga cupones semestrales es inferior a su
2.3 Características de la duración
El concepto de duración es tan importante a la hora de realizar gestión de carteras con activos de renta fija, que resulta conveniente repasar algunas de sus propiedades:
a) Como comprobamos anteriormente, la duración de un bono cupón cero es igual a su plazo. b) Manteniendo constante el rendimiento a vencimiento, cuanto menor es el valor del cupón mayor es la duración de un bono. Esto se debe al menor impacto que tienen los cupones que se recibirán en forma más reciente en el promedio ponderado de los pagos a recibir. c) Manteniendo constante el valor del cupón, la duración de un bono generalmente aumenta con su plazo. d) Caeteris paribus , la duración de un bono es mayor cuando su TAS es menor. Obviamente esto no se cumple en el caso de los bonos cupón cero en los que la duración es igual al plazo cualquiera sea la TIR. e) La duración de una perpetuidad (renta fija que se percibirá en forma perpetua) es igual a (1 + i) / i. Así, por ejemplo, a una TAE del 15 por 100, la duración de una perpetuidad que paga 100 dólares todos los años es igual a 1,15/0,15 = 7,6 años. Esto pone de manifiesto en forma evidente la diferencia que existe entre duración y plazo de un bono: en el ejemplo anterior, el plazo es infinito (perpetuamente recibiremos 100 dólares una vez al año) sin embargo, la duración es de 7,6 años. f) La duración de una anualidad (renta fija que se percibirá durante un período determinado) se obtiene con la siguiente fórmula:
D = 1 + i - n a (6)
i (1+i) n^ –
Donde: i: Tipo de interés por período (anual, semestral, etc.). n: Número de períodos.
Por ejemplo, la duración de una anualidad de 100 dólares que se recibirá por veinte años y cuyo rendimiento es del 9 por 100 anual será de 7, 76 años:
D = 1.09 - 20 = 7,76 años
g) La fórmula general para obtener la duración de un bono que paga cupones periódicamente es la siguiente:
D = 1 + i - (1+i) + n (C-i) a (7)
i C((1+i) n^ –1)+i
Donde: i: Tasa de interés por período (anual, semestral, etc), en decimales. n: Número de períodos. C: Valor del cupón, en decimales.
Así, por ejemplo, en nuestro ejemplo anterior de un bono emitido a tres años con un valor par de 100 que paga dos cupones semestrales de 6 por año y que tiene un rendimiento a vencimiento del 14 por 100 anual (7 por 100 semestral):
D = 1.07 - (1.07) + 6(0.06 - 0.07)
7. 0.06((1.07)^6 -1)+ 0.
D = 15,28 – 10,
D = 5,19 semestres D = 2,59 años => que coincide con el resultado obtenido en el Cuadro 6.
Esta es una fórmula sencilla para el cálculo de duración. Téngase en cuenta que si los datos que introducimos en la fórmula (7) son, por ejemplo, semestrales, la duración obtenida vendrá también expresada en semestres. Ahora bien, dijimos anteriormente que para “pequeños cambios” en la TIR de un bono la duración nos da una buena aproximación del porcentaje de cambio que sufrirá su precio. Esto se puede ver de forma inmediata volviendo a tomar nuestro ejemplo:
Cuadro 4. Duración y volatilidad del precio de un bono
Tasa efectiva semestral (TIR)
Precio del bono
Variación del precio
Variación del Precio explicada por la duración 2% 122,40 28,53% 24,25% 6% 100,00 5,00 4, 6,9% 95,69 0,49 0, 7% 95,23 0,00 0, 7,1% 94,77 -0,49 -0, 8% 90,75 -4,70 -4, 12% 75,33 -20,89 -24,
Para un bono emitido a tres años, con cupón del 12 por 100 anual a pagar semestralmente.
En el Cuadro 4 podemos ver que cuanto mayores son los cambios en la tasa de interés (columna 1) mayor es la divergencia entre la variación real del precio del bono (columna 3), y la que obtenemos aplicando la fórmula (4) que estima la variación del precio del bono en base a su duración (columna 4). Así, por ejemplo, cuando la tasa de interés desciende de 7 por 100 a 2 por 100 semestral el precio del bono asciende de 95,23 a 122,40, es decir, un 28,53 por 100. La duración, sin embargo, estima la suba en tan sólo un 24,25 por 100.
3. CONVEXIDAD
3.1 Concepto de convexidad
Para mejorar la estimación que nos provee la duración cuando los cambios en la tasa de interés son significativos, debemos incorporar el concepto de convexidad. Si realizásemos un gráfico, la relación precio de un bono / tasa de interés de un bono obtendríamos una curva convexa con respecto a la intersección de los ejes. Matemáticamente, la duración es la tangente a esa curva en un determinado punto (un valor de precio y de tasa de interés dado), de ahí que para cambios infinitesimales en la tasa de interés la duración nos de una aproximación adecuada del nuevo valor que alcanzará el precio.
Gráfico 1. Precio, rentabilidad y duración de un bono.
Sin embargo, a medida que nos alejamos de ese punto la tangente y la curva se separan y, por tanto, la duración por sí sola no nos da una buena aproximación del cambio en el precio del bono ante variaciones en el tipo de interés. Lo podemos ver en la Gráfico 1. La pendiente de la función del precio del bono en el punto P1 es la duración del bono para ese determinado precio (P1) y rentabilidad (I1). Si se produce un descenso del tipo desde I1 a I2, el precio del bono aumentará desde P1 a P2. Sin embargo, el aumento de precio que nos da la duración es solo de P1 a Pd.
Como vimos anteriormente, la duración nos proporciona una primera aproximación de la variación que sufrirá el precio ante una variación del tipo de interés. La convexidad nos da una segunda aproximación, según la siguiente fórmula:
F 0 4 4Precio debido a convexidad = 1/2 (^) x Convexidad (^) x ( F 0 4 4i) (^2) x 100 (9)
En nuestro ejemplo de un bono emitido a tres años con cupón del 12 por 100 anual y que cotiza con una TAS del 14 por 100, la convexidad obtenida aplicando la fórmula (8) es igual a 7,54. Por tanto, cuando la tasa de interés desciende del 14 por 100 al 4 por 100 anual, la variación en el precio que es explicada por la convexidad, es igual a:
F 0 4 4Precio debido a convexidad = 1/2 (^) x 7,54 (^) x (0,1) (^2) x 100 = 3,77%
Por tanto, cuando en nuestro ejemplo la tasa de interés cae del 14 por 100 al 4 por 100 la aproximación de la variación del precio, que obtenemos teniendo en cuenta conjuntamente la duración y la convexidad es de:
Duración = + 24,25% Convexidad = + 3,77% Total + 28,02%
Recordemos que en este caso la variación real del precio es de 28,53% por 100 (véase Cuadro 4). La convexidad mejora la aproximación obtenida por la duración. Como síntesis, entonces, para pequeños cambios en la tasa de interés la duración nos da una buena aproximación de la variación que tendrá el precio, ante cambios en el tipo de interés requerido; sin embargo, para grandes fluctuaciones de la tasa de interés debemos tener en cuenta, además, la convexidad. Sin embargo, en la práctica y como podemos ver en el ejemplo anterior, la variación de precio explicada por la convexidad es extremadamente pequeña, y casi despreciable para los cambios normales en tipos de interés que se experimentan en cualquier economía desarrollada y estable.
4. RESUMEN
- Una suba (baja) del tipo de interés de mercado produce una baja (suba) en el precio de un bono. Sin embargo, los precios de los bonos reaccionan en distinto grado a los cambios en el tipo de interés. Resulta entonces de suma importancia saber determinar la volatilidad de un bono.
- Generalmente, los bonos de largo plazo son más sensibles a cambios en la tasa de interés que los bonos de corto plazo.
- Para bonos con el mismo valor de cupón, cuanto mayor es el plazo de un bono mayor es su sensibilidad a un cambio en la tasa de interés.
- El riesgo tasa de interés refleja el hecho de que el inversor está “comprometido” por un período de tiempo en una inversión dada que le proporciona una tasa de interés fija: cuanto mayor es este período, mayor es el riesgo que la tasa de interés sufra modificaciones.
- Como medida de la vida promedio de un bono es conveniente no hablar del plazo de un bono, sino de su duración. La duración tiene en cuenta no solo el plazo sino el timing del flujo de fondos del bono y permite determinar la volatilidad de un bono.
- La duración de un bono tiene en cuenta el peso que cada pago de cupón y el nominal tienen en el valor de un bono. Concretamente, la importancia de cada pago es igual a su valor presente dividido por el precio del bono. La fórmula de Macaulay para obtener la duración de un bono es la siguiente:
T D = F 05 3t (^) x CFt / (1+i) t t = 1 (^) P
Sin embargo, a efectos prácticos conviene utilizar:
D = 1 + i - (1+i) + n (C-i)
i C((1+i) n^ –1)+i
- Para pequeños cambios en la tasa de interés la duración nos da una buena aproximación de la variación que tendrá el precio; sin embargo, para grandes fluctuaciones de la tasa de interés debemos tener en cuenta, además, la convexidad.
Técnicas de administración de carteras de renta fija
Los futuros y las opciones presentan algunas ventajas fundamentales que justifican su uso en la gestión de carteras, y que son comunes a cualquier estrategia. Destacándose:
a) Liquidez: los mercados de futuros y opciones son mucho más líquidos que los
correspondientes a sus activos subyacentes, lo que representa una gran ventaja a la hora de comprar y vender. Se pueden negociar grandes volúmenes sin tener un impacto en el precio de mercado. Por el contrario, en el mercado de valores una orden importante probablemente afectará en su ejecución al precio del activo (subiéndolo en caso de compra y bajándolo en caso de venta).
b) Costos de transacción: tanto futuros como opciones pagan unas comisiones por
transacción casi nimias, especialmente si se comparan con las pagadas por la compra y venta de acciones y bonos.
c) Flexibilidad y rapidez: los futuros y las opciones permiten adaptar rápidamente nuestra
estrategia a cualquier situación del mercado, sea éste muy especulativo, muy estable, en crecimiento, etc. Además, se puede liquidar o deshacer de inmediato una posición en un activo, cuando se necesitarían varios días – ¿semanas? – para liquidarla en el mercado bursátil.
d) Desembolsos iniciales de fondos pequeños: tanto en el caso de los futuros comprados y
vendidos como en el caso de las opciones vendidas sólo hay que depositar la garantía inicial. En el caso de las opciones compradas sólo hay que pagar el precio de la opción. En todos los casos el importe de dicho desembolso inicial raramente supera el 10 % del valor del activo subyacente. De esta manera, se puede apalancar nuestra cartera por varias veces su valor, moviendo grandes volúmenes, con un pequeño desembolso inicial y sin impacto en el mercado.
Casi todas estas ventajas son muy útiles cuando se manejan carteras de gran volumen que no permiten una respuesta rápida a la situación del mercado. Por el contrario, hay que indicar que en muchos casos el uso de futuros y opciones lleva implícito una estrategia de corto plazo. La razón fundamental es el hecho de que la mayoría de
d) Vender Puts sobre Futuros de bonos.
Por el contrario, ante un aumento previsible en los tipos de interés procuraremos colocarnos en activos de corta duración. Al subir las tasas no habremos sufridos minusvalías y estaremos en condiciones de invertir en bonos con un interés más alto (precio más bajo). Para ello, podemos:
a) Vender activos de larga duración (bonos a largo plazo) y comprar aquellos de corta
duración (Letras del Tesoro).
b) Vender Futuros de bonos.
c) Comprar Puts sobre Futuros de bonos.
d) Vender Calls sobre Futuros de bonos.
Esta ha sido y, probablemente sigue siendo, la técnica más tradicional usada por los gestores de carteras de renta fija. Y es la que parece tener los mayores rendimientos, siempre que la previsión sea acertada.
1.2 Análisis Técnico
El Análisis Técnico consiste en el estudio de la evolución histórica del precio, volumen e interés abierto, a los efectos de determinar las variaciones futuras de los precios (las tasas de interés). Las técnicas aquí también son variadas. La más conocida es el chartismo , que estudia los gráficos de precios en busca de “figuras”. Estas figuras tienen un significado alcista o bajista. También es muy común el uso de indicadores estadísticos, tales como medias móviles, osciladores, etc.
2. Estrategias Pasivas
La gestión de carteras de renta fija se enfrenta a tres riesgos fundamentales que pueden hacer disminuir el valor de la cartera:
)1 Riesgo de tipo de interés: si los tipos de interés suben, el valor de nuestra cartera
descenderá.
)2 Riesgo de reinversión: si la cartera es a largo plazo, la reinversión de los cupones que
cobramos tiene una gran importancia a la hora de obtener la rentabilidad esperada. Recuérdese que la TIR de un bono supone que invertimos todos los cupones que vamos cobrando a la misma tasa; esto no siempre es posible ya que los tipos de interés varían; en una cartera con una vida superior a tres años la tasa de reinversión de los cupones empieza a cobrar importancia.
)3 Riesgo de impago de los bonos: no todos los bonos tienen la misma calidad crediticia;
cuanto menor sea ésta mayor será la rentabilidad esperada del bono, ya que el inversor tratará de compensar el mayor riesgo con una mayor rentabilidad.
Estas fuentes de riesgo son origen de diversas técnicas de gestión de carteras: previsión de tasas de interés, compra de bonos minusvalorados, etc. Todas ellas asumen que el mercado no es perfecto y que se pueden aprovechar esas imperfecciones para conseguir una rentabilidad superior al promedio del mercado. Frente a estas teorías está la posición de los que defienden una gestión pasiva. Estos inversores suponen que el mercado fija correctamente tanto los precios de los bonos como las expectativas futuras sobre los tipos de interés. El fundamento de lo anterior es la Hipótesis de la eficiencia de los mercados (HEM), la cual postula que toda la información existente en el mercado sobre el comportamiento de un determinado valor ya viene reflejada correctamente en el precio. Específicamente dice que los movimientos pasados en los precios no nos dan ninguna información sobre lo que puede pasar en el futuro – forma débil de la HEM -, lo cual excluye posibilidad de ganar dinero con los arbitrajes y el Análisis Técnico; la información sobre los beneficios futuros del activo también está contenida en el precio actual – forma semifuerte de la HEM -, lo cual excluye posibilidad de ganar dinero con el Análisis Fundamental. Es decir, si descubrimos tras un concienzudo análisis que una empresa va a aumentar sus beneficios de manera significativa, y con una tasa de crecimiento alto durante los próximos años, esa
información es inútil, pues ya vendrá reflejada en un mayor precio de la acción al día de hoy. En su forma fuerte la HEM postula que incluso la información privilegiada ( insider information , por ejemplo, resultados de los balances de las empresas antes de su publicación) también viene reflejada en el precio actual de los activos. Varios estudios realizados confirman la existencia de la HEM en sus formas débil y semifuerte. Si los precios reflejan toda la información existente, quiere decir que los mercados son eficientes y que, por lo tanto, no hay manera de superar los resultados del mercado. Según esto, teóricamente al menos, sería imposible batir al mercado, al menos del modo habitual. Por tanto, todos los estudios, sean de arbitraje, Análisis Fundamental o Análisis Técnico serían inútiles. Esta teoría ha ido ganando aceptación entre los inversores, especialmente los institucionales, plasmándose de forma práctica en el auge de las estrategias pasivas. Algunas de las razones de dicho auge son las siguientes:
a) Movimiento de la cartera: cualquier estrategia activa supone un alto movimiento de la
cartera. Por el contrario, la estrategia pasiva no mueve la cartera, una vez que ha sido constituida. En los Estados Unidos, por ejemplo, el costo de una estrategia activa de renta fija puede estar entre 20 y 50 puntos básicos, frente a 10-20 puntos básicos en la estrategia pasiva; es decir, el costo de una estrategia activa puede llegar a ser de 5 veces el de una estrategia pasiva.
b) Costos de administración: el número de fondos administrados por los inversores
institucionales es cada vez mayor, como así también el tamaño de los mismos. Esto hace que los costos totales de administración sean mayores y se complique excesivamente la administración por el número de gestores necesarios. Estos costos ocultos son importantes en carteras muy grandes (de miles de millones de dólares). Por el contrario, la gestión pasiva no requiere un departamento de analistas que sigan el comportamiento del mercado y de los diversos valores, dado que no se requiere un especial seguimiento de la cartera.
c) Impacto en el mercado: si las órdenes de compra o venta son de abultado volumen
tendrán un impacto desfavorable en el precio, especialmente si los valores que compramos o vendemos tienen poca liquidez. Esto agrega un nuevo costo a las técnicas de gestión activa por cuanto, por ejemplo, al intentar vender un valor contribuiremos a que su precio descienda. Además, supone una fuente de incertidumbre ya que el precio al que decidimos vender y el precio real de venta serán distintos ( deslizamiento ). En casos extremos - con títulos muy ilíquidos - no sabemos si podremos llevar a cabo la venta, por falta total de demanda.
d) Cada vez se hace más difícil prever las tasas de interés.
e) Los inversores institucionales están cada vez más preocupados por mantener un cierto
nivel de riesgo, que les permita hacer frente a sus obligaciones en el futuro, más que de obtener una alta rentabilidad de su cartera.
f) La hipótesis de la eficiencia de los mercados (HEM) ha ganado aceptación en el mundo
inversor y, en general, los resultados obtenidos por los gestores confirman dicha hipótesis. En promedio, entre un 30 y un 40 % de los gestores logra superar el rendimiento del mercado medido a través de un índice.
Veremos a continuación dos modalidades: la estrategia de comprar y mantener (buy and hold) y la estrategia índice (index portfolio).
2.1 Comprar y mantener
Un modo de evitar el riesgo de tipos de interés es comprar un bono y mantenerlo hasta su amortización. Todavía tendremos el riesgo crediticio del bono, que se puede eliminar comprando sólo bonos de primera clase (empresas con alta calificación – por ejemplo Triple A - ) o mejor todavía, bonos del Estado. Se deberían evitar no sólo los bonos de peor calificación (bonos basura o junk bonds ) sino también aquellos que introducen incertidumbre en la rentabilidad esperada (bonos con amortización anticipada, bonos convertibles, indiciados, etc). Sin embargo, todavía permanece el riesgo de reinversión que sólo se puede evitar intentando comprar – si existen en el mercado – bonos cupón-cero. Se trata en definitiva de conseguir una cartera con unos flujos lo más seguros posibles y con baja volatilidad.
