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Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias.
UNIDAD No^ III
Anualidades o Rentas Competencia que el participante habrá alcanzado: Resuelve situaciones problemáticas de las carreras profesionales de Administración, Contabilidad, Economía, Ingeniería,..utilizando comprensivamente a) Los conceptos y las leyes financieras de anualidades pospagables. b) Los conceptos y las leyes financieras de anualidades prepagables. c) Los conceptos y las leyes financieras de anualidades diferidas y perpetuas. d) Los conceptos de Gradiente Aritmético y Geométrico.
Capacidades que el participante adquirirá: a) Utiliza las leyes de las anualidades pospagables para plantear y resolver problemas. b) Utiliza las leyes de las anualidades prepagables para plantear y resolver problemas. c) Utiliza las leyes de las anualidades diferidas y perpetuas para plantear y resolver problemas. d) Aplica los principios gradiente aritmético y geométrico en el planteamiento y solución de problemas.
Contenidos conceptuales: a) Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. b) Anualidades prepagables o anticipadas o de imposición. c) Anualidades diferidas y perpetuas. d) Gradiente aritmético y geométrico.
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. Actitudes que desarrollará:
- Reconoce el valor de la matemática como herramienta necesaria para el aprendizaje científico de las ciencias Administrativas, Contables, Económicas, Financieras, Sociales, Biológicas, Ingenieríles,…
- Valora el papel formativo de la matemática sobre el pensamiento.
- Respeta el aporte de los demás participantes, está dispuesto a ponerse en el lugar del otro participante, es solidario y responsable frente a la tarea en equipo.
- Reconoce y valora las relaciones entre el lenguaje gráfico y el numérico.
- Respeta a los demás participantes y es flexible frente a los diferentes procedimientos para resolver un mismo problema.
- Demuestra interés por relacionar las operaciones numéricas con las transformaciones geométricas.
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. Plazo de la Anualidad o del Gradiente (n ). Es el tiempo que trascurre entre el inicio del primer período t 0 y el final del último período tn. (días, semanas, meses,…) Valor futuro (S=vf). Capital formado, es la suma de los montos compuestos de todos los abonos (depósitos o pagos). Valor actual o valor presente (va=P). Es la suma de los valores actuales de cada una de los depósitos o pagos. Tasa =Tasa efectiva por período (i). Es la tasa pasiva ó la activa por período. Nota: m = número de períodos de capitalización, generalmente en un (1) año. Tasa Nominal por periodo capitalizable por otro período (j). Nper = n = número de períodos de la operación financiera. Anualidades Las anualidades son operaciones financieras en las cuales se acuerda cancelar una obligación mediante una serie de pagos periódicos iguales que cumple con las siguientes condiciones:
- Las cuotas (pagos o depósitos) son de igual valor.
- Las cuotas (pagos o depósitos) se realizan a iguales intervalos de tiempo (anual,semestral,cuatrimestral,,…)
- A todas las cuotas (pagos o depósitos) se les aplica la misma tasa de interés.
- El número de cuotas y períodos pactados son iguales.
Contingent e
Perpetua
Variable Prepagable Constante
Variable Pospagable Constante Diferida
Variable Prepagable Constante
Variable Pospagable Constante Inmediata
Cierta Temporal Anualidad
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. a) De acuerdo a la naturaleza del capital. Anualidades constantes.Son aquellas en la cual todos los depósitos o pagos (términos de renta u anualidad) son iguales. b) De acuerdo con el momento en que se inician los pagos. b-1) Anualidades inmediatas. Son aquellas en la cual el primer depósito o pago (término de renta u anualidad) ocurre en el primer período. b-2) Anualidades diferidas. Son aquellas rentas o anualidades en las que la primera renta o primer pago se realiza después de haber transcurrido cierto número de períodos, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando. c) De acuerdo con el momento en que se realizan los pagos. c-1) Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. Son aquellas en las cuales el pago se realiza al final de cada período, es decir el primer pago se realiza al finalizar el primer período, el segundo pago se realiza al final del segundo periodo y así sucesivamente. A 1 =A 2 =A 3 = =An
c-2)Anualidades prepagable o anticipadas o de imposición. Son aquellas en las cuales el pago se realiza al inicio de cada período, es decir el primer pago se realiza al inicio del primer período, el segundo pago se realiza al inicio del segundo período y así sucesivamente. A 1 =A 2 =A 3 = =An
d) De acuerdo a la determinación temporal. d-1) Anualidades temporales. Son aquellas en las cuales se conoce cuando empieza y cuando termina, también se dice que tiene un número finito y conocido de capitales.
0 1 4 n H T
A 1 A 2 A 3 A 4 A(n-1) An
2^3 n-^1 VF
n
A 2 A 3 A 4 A 5 An
VF
A 1 (^01 2 3 4) n 1
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. Ejemplo No 1 Diga usted si el siguiente diagrama de flujo de efectivo corresponde a una anualidad, justifique su respuesta.
Solución.
- Las cuotas A=R son iguales, en total son cinco, 2) Las cuotas se realizan a iguales intervalos de tiempo (cinco períodos), al inicio de cada período, 3) A todas las cuotas se le aplica la misma tasa,
- El número de cuotas y períodos pactados son iguales. Sí es una anualidad: porque el número de cuotas iguales = 5 es igual al número de períodos de pago = 5, corresponde a una anualidad prepagable.
Ejemplo No^2 Diga usted si el siguiente diagrama de flujo de efectivo corresponde a una anualidad, justifique su respuesta.
Solución.
- Las cuotas A=R son iguales, en total son seis, 2) Las cuotas se realizan a iguales intervalos de tiempo (cinco períodos), al inicio de cada período, 3) A todas las cuotas se le aplica la misma tasa,4) El número de cuotas y períodos pactados no son iguales. No es una anualidad: porque el número de cuotas es diferente al número de períodos. Ejemplo No 3 Diga usted si el siguiente diagrama de flujo de efectivo corresponde a una anualidad justifique su respuesta.
Hoy = 0 1 2 3 4 5 HT
A A^ A^ A^ A Tasa efectiva i = 0,
Hoy =0 (^1 23 4 5) HT
A A^ A^ A^ A^ A Tasa efectiva i = 0,
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias.
Solución.
- Las cuotas A=R son iguales, en total son cinco, 2) Las cuotas se realizan a iguales intervalos de tiempo (cinco períodos), al final de cada período, 3) A todas las cuotas se le aplica la misma tasa,
- El número de cuotas y períodos pactados son iguales. Sí es una anualidad porque el número de cuotas iguales = 5 es igual al número de períodos de pago = 5, corresponde a una anualidad pospagable.
Ejemplo No^4 Diga usted si el siguiente diagrama de flujo de efectivo corresponde a una anualidad, justifique su respuesta.
Solución.
- Las cuotas no son iguales, en total son cinco, pero la tercera cuota es diferente a las otras. No es una anualidad por lo indicado en el punto uno.
Anualidad simple Cuando el periodo de pago es el mismo que el período de capitalización.
Anualidad General Cuando el periodo de pago es diferente que el período de capitalización.
Hoy =0 (^1) Tasa 2 efectiva i = 0,078 (^3 4 5) HT
A A^ A (^) A A
Hoy = 0 (^1 23 4 5) HT
A A^ A 1 A Tasa efectiva i = 0,
A
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. colocado a interés compuesto durante (n – 1) años, F 1 =A (1+i)n^ ^1. El segundo depósito o pago “A = R” se realiza al finalizar el segundo año, está colocado a interés compuesto durante (n – 2) años, F 2 =A (1+i) n^ ^2. ………………………………………………………………………………………… El (n – 1) ésimo depósito o pago “A = R” se realiza al finalizar el año (n – 1), está colocado a interés compuesto durante 1 año, F(n–1) =A (1+i) 1. El n- ésimo depósito o pago “A = R” se realiza al finalizar el año “n”, está colocado a interés compuesto durante 0 años, Fn=A (1+i) 0 = A
El capital formado S = V F es la suma de todos los pagos con sus respectivos intereses.
FCS FactordeCapitalizacióndelaSerie Uniforme
n n n i n
VF A i i i i i i ,
1 (^1 ) 1 (^2 ) 1 (^3 ) 1 2 1 1 1 0
a) Esta fórmula nos da el valor futuro o capital formado o el monto de la anualidad justamente después que el último pago ha sido efectuado. b) Esta fórmula contiene cuatro variables: valor futuro (VF), pago o cuota (A = R ), número de períodos(n) y la tasa efectiva por período(i) , luego conociendo tres de ellas se puede calcular la cuarta. Factor de capitalización de la serie uniforme (FCSi;n ). FCSi;n = (1+i)(n1)^ +(1+i)(n^2 )^ +(1+i)(n^3 )^ ++(1+i)^2 +(1+i)^1 +(1+i)^0 , corresponde a la
suma de los “n” términos de una progresión geométrica: ^ ^ in
n n (^) q FCS S t q
A
Hoy = 1 2 3 n n A (^) A (^) A A
FF
(n perí odos)
(n perí 2)odos F = A(1+i)( n 2)
F = A(1+i)^0 F = A(1+i)^1 ……………
F = A(1+i)( n 1)
1
TEP = i en tanto por uno (^) n períodos
i VF A (^1 i )^ n^ ^1
HT
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias.
Razón de la progresión: ((^11 )) 1 1 1 ;
2 1
2 i i
i t q t n
n
t 1 =(1+i)(n^ –^ 1)
in
n
n n n n n (^) i FCS
i
i
i
i
i
i
i i
i
i i S (^) ;
(^11) ( 1 ) 1
1
( 1 )^1
,
El factor de capitalización de la serie uniforme a una tasa efectiva por período (i ) durante “ n” períodos se encuentra tabulados en tablas, se puede hallar su valor con una calculadora científica,“i” y “n” deben estar referidos al mismo período de tiempo (años; bimestres,…) Valor futuro o monto de anualidades pospagables:
FCSin
n i VF A i ;
( 1 ) (^1) o
FCSin
n i S R i ;
( 1 ) 1
Se lee: El factor de capitalización de la serie uniforme a una tasa efectiva “ i” por período durante n períodos de capitalización transforma una serie uniforme de rentas A=R en un valor futuro VF = S_._ Tablas: Factor de capitalización de la serie uniforme
A
VF
i FCS i^ n i n
(^1 ) ^1
;
n 2,5%=0,025 3,0%=0,030 3,5%=0,035 4 ,0%=0,040 4,5%=0,045 5 ,0%=0,050 n 1 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1 8 8 ,7361 1590 8,9823 3605 9,05168677 9,21422626 9 , 38001362 9,54910888 8 9 9,95451880 10,15910613 10,36849581 10,58279531 10,80211423 11,02656432 9 (^10) 11,20338177 11,46387 331 11,73139616 12,00610712 12,28820937 12,57789254 10 11 12,48346631 12,80779569 13,14199192 13,48635141 13,84117879 14,20678716 11 12 13,79555297 14,19202956 14,60196164 15,02580546 15,46403184 15,91712652 12
Cálculo del valor futuro( VF ) en función de la renta o cuota períodica(A), el número de periodos (n) y la tasa efectiva por periodo( i) Ejemplo Nº Suponga que deposita al final de cada año 400 u.m. durante 8 años, en una
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. a) Diagrama de flujo desde el punto de vista de la institución financiera.
b) Calcular el factor de capitalización de la serie uniforme y el valor futuro de
todas las cuotas utilizando calculadora. ^ ^ in
FCS
n VF A ii A FCS i n
; ;
b-1)Factor de capitalización de la serie uniforme: FCS ii
n i ; n (^1 )^1
FCS (^) TEBn bimestres (^1 TEBTEB ) ^1
12 ; 12
( 1 , 0485 )^121
FCS 0 , 0485 ; 12
b-2) Valor futuro ^ ^ in
n VF A (^1 ii ) ^1 A FCS ;
VF = 8000 [FCS0,0485;12 = 126 236,86 u.m. c) factor de capitalización de la serie uniforme y el valor futuro Utilizando la tabla, c-i) Factor de capitalización de la serie uniforme : la tasa efectiva bimestral 4,85% ó 0,0485 en tanto por uno no se encuentra tabulada ,nos ubicamos en la fila de n = 12 bimestre , teniendo en cuenta que : 4,5% 4,85 % 5,0% , se procede por interpolación lineal. n 4,5%=0.0450 4,85%=0.0485 5,0%=0.0500
0 , 0500 0 , 0485
0 , 0500 0 , 0450 15 , 91712652
15 , 9171265215 , 46403184 12 15,46403184 x 15,91712652^ x x = FCS(0.0485;12)=15, c-2) Valor futuro: VF = A [FCSi;n VF = 8000 [FCS0,0485;12 = 126 249,58 u.m. Interpretación: EL factor de capitalización de la serie uniforme FCS0,0485;12 una tasa efectiva bimestral :TEB = i = 0,0485 durante 12 bimestres transforma una serie uniforme de rentas o cuotas o pagos A = R = 8 000,00 u.m. en un valor futuro VF = 126 249,58 u.m. d) Valor futuro Utilizando excel, =vf(tasa;nper;pago;va;tipo) Tasa=0,0485=TEB; nper= 12 bimestres; pago = 8000; va= 0; tipo =0 porque las
(^0 1 2 3) TEB=0,0485 11 12 HT
A A^ A A A VF S
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. cuotas se realizan al final de cada período.
VF = 8 000 FCS0,0485,12 = 126 236,86 u.m. Cálculo de la cuota o pago o renta(R = A) en función del valor futuro( VF ) , el número de períodos (n) y la tasa efectiva por período( i) Permite determinar que cantidad debemos ahorrar cada período de tiempo con la finalidad de acumular una determinada cantidad de dinero para algún tiempo futuro.
Del modelo matemático
FCSin
n i VF A i ;
(^1 )^1 , despejamos A,
FDFAin
in A VF i ;
Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA). FDFAi ; n (^) ( 1 ii ) n 1
2,5%=0,025 3,0%=0,030 3,5%=0,035 4%=0,040 4,5%=0,045 5,0%=0,059 n 1 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,0000 0000 1 (^6) 0,15654997 0,15459750 0,15266821 0,15076190 0,14887839 0,14701747 6 7 0,13249543 0,13050635 0,12854449 0,12660961 0,12470147 0,12281982 7 8 0,11446735 0,11245639 0,11047665 0,10852783 0,10660965 0,10472181 8 9 0,10045689 0,09843386 0,09644601 0,09449299 0,09257447 0,09069008 9 (^10) 0,08925876 0,08723051 0,08524137 0,08329094 0,08137882 0,07950457 10
Se llama factor de depósito al fondo de amortización ; debido a que la serie de depósitos iguales realizados para acumular la cantidad de dinero en el futuro. El valor del factor de depósito al fondo de amortización se encuentra tabulado en tablas, se puede hallar su valor con una calculadora científica, “i” y “n” deben
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias.
b-2) Valor de cada cuota: A VF ( 1 ii ) n (^) 1 VF FDFA (^0) , 038 ; 6 445 , 98 u. m.
c) Calcular el factor de depósito al fondo de amortización y el valor de cada cuota utilizando la tabla. c-1) factor de depósito al fondo de amortización n … 3,5%=0,035 3,8%=0,038 4,0%=0,040 … n 6 … 0,15266821 x = FDFA0,038;6 0,15076190 … 6
0 , (^150761900) , 15076190 0 , (^15266821) x 00 ,, 040040 00 ,, 038035 x = FDFA0,038;6=0,
c-2) Valor de cada cuota:
A VF ( 1 ii ) n (^) 1 VF FDFA (^) i ; n 446 , 9970507 447 u. m.
Interpretación: El FDFA0,038;6= 0,1515244240 a una tasa efectiva cuatrimestral de 0,038 durante 2 años = 6 cuatrimestres de capitalización, transforma un valor futuro VF = 2 950 u.m. en un conjunto de cuotas o rentas o pagos iguales A = 447 u.m_._ d) Calcular el valor de cada cuota utilizando Excel. Con Excel, utilizando la Función pago: = pago (tasa; nper; va; vf; tipo) Tasa= 0,038= TEC; neper = 6 cuatrimestres; va =0; vf = 2950 ; tipo = 0 significa que las cuotas se realizan al fin de cada periodo
Dar enter 446,99 u.m. Ejemplo Nº Suponga que Juan Pérez García ha decidido hoy adquirir dentro de 5 meses una PC cuyo precio de lista será de 2999,90 u.m. Con la finalidad de disponer de esa
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. cantidad al vencimiento del plazo ahorra cada fin de mes en un Banco que paga una tasa nominal anual del 1,32% capitalizable mensualmente. a) Diseñar el diagrama de flujo de efectivo (utilice flechas). b) Hallar el factor de depósito al fondo de amortización. c) ¿Cuánto deberá depositar cada mes? Solución. Anualidad pospagable simple porque periodo de la anualidad o renta o pago es el mismo que el período de capitalización
TEM TNA. del^0 ,^0132 m 12 capit. mensual ^0 ,^013212 0 , 0011 en tanto por uno
a) Diagrama de flujo de Juan Pérez García.
b) El factor de depósito al fondo de amortización. FDFAi ; n ( 1 ii ) n 1
1 , 0011 1 0 ,^1995604837
0 , 014875 ; 5 ^ ( 1 i ) n 1 (^5) FDFA i
c) ¿Cuánto deberá depositar cada mes? A = VF[FDFAi;n = 2 999,90[FDFAi;n = 598,6614952 u.m. 598, 66 u.m. Interpretación: El FDFA0,0011;5= 0,1995604837 a una tasa efectiva mensual TEM=0,0011 durante 5 meses de capitalización, transforma un valor futuro VF = 2 999,90 u.m. en un conjunto de cuotas o rentas o pagos iguales A = 598,66 u.m_._ Con Excel, utilizando la Función pago: = pago (tasa; nper; va; vf; tipo) Tasa= 0,0011= TEM; neper = 5 meses; va =0; vf = 2999,90; tipo = 0 significa que las cuotas se realizan al fin de cada periodo
Hoy =
i = TEM = 0, HT(meses)
VF=2 999,90.m. 1 2 3 4 5 A=? (^) A=? A=? A=? A=?
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias. Tasa = TEB = 0,002484516724, pago= 400 bimestral =A; va = 0; vf = 5 150, 15 ; tipo = 0 significa que las cuotas se realizan al fin de cada período. Cálculo de la tasa de interés efectiva ( i ) en función del Valor futuro(VF), de la renta o cuota períodica (R = A) y del el número de períodos (n). Ejemplo No 10 Por un arartefacto financiado a 10 meses, Miguel García Aleman paga en cuotas mensuales pospagables o vencidas u ordinarias de 350,00 u.m. Si el monto total cancelado es de 4 251,18. u.m. a) Diseñar el diagrama de flujo de efectivo (utilice flechas). b) Hallar la tasa efectiva mensual: b-1) Utilizando tablas(Interpolación lineal), , b-2) Con calculadora (Por Aproximaciones sucesivas) b-3) Con Excel.
Tabla: Factor de capitalización de la serie uniforme. FCS ii
n i ; n (^1 )^ ^1
n 2,5% 3,0% 3,5% 4% 4,5% 5,0% n (^1) 1,000 00000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1 8 87361 1590 8,9823 3605 9,05168677 9,21422626 938001362 9,54910888 8 9 9,95451880 10,15910613 10,36849581 10,58279531 10,80211423 11,02656432 9 10 11,20338177 11,46387331 11,73139616 12,006 10712 12,28820937 12,57789254 10 11 12,48346631 12,80779569 13,14199192 13,48635141 13,84117879 14,20678716 11 12 13,79555297 14,60196164 14,60196164 15,02580546 15,46403184 15,91712652 12 Solución n = 10 meses; A = R = 350 u.m.; VF = 4 251,18 u.m.; TEM = …? a) Diagrama de flujo de efectivo de Miguel García Aleman (cliente).
b) Tasa efectiva mensual. b-1)Tasa efectiva mensual ,utilizando tablas(Interpolación lineal)
10 ...?
tiempon períodosmensuales TEM i
Valor futuro um CuotaorentaR A um
1 (^2 3 9 10) HT en meses
VF = 4 251,18 u.m.
350 350 350 350 350
0
i =TEM=....?
Hoy
Capítulo No1. Anualidades pospagables o vencidas u ordinarias.
A
VF
i
( 1 i ) n 1 ; E
TEM
TEM 12 , 14622857 350 , 00
( 1 )^1014251 , 18
En la tabla nos ubicamos en n = 10 meses, nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar E = 12,14622857 , este valor no figura en la tabla , pero se encuentra entre : 12,00610712 y 12,28820937, se procede por interplación lineal.
10 meses ... 12,0061071^0 ,^0402 (^12) , x 14622857 FCS 12 , 288209370 ,^045 ...
b-2) Tasa efectiva mensual utilizando calculadora (Por aproximaciones
sucesivas). VFA^ (^1 i ) i ^1 ^ ^4350251 , 00 ,^18 12 , 14622857 E
10
Supongamos i =TEM = 0,01 FCS 0 , 01 ; 10 VFA 10 , 46221254 12 , 14622857
Supongamos i =TEM = 0,05 FCS 0 , 05 ; 10 VFA 12 , 57789253 12 , 14622857
Implica : 0,01 < i < 0,05, pero más próximo 0,05 en tanto por uno
Supongamos i =TEM = 0,04 FCS 0 , 04 ; 10 VFA 12 , 00610712 12 , 14622857
Implica : 0,04 < i < 0,05, pero más próximo al 4 %
Supongamos i =TEM = 0,0425 FCS 0 , 0425 ; 10 VFA 12 , 14622277 12 , 14622857
TEM = 0,0425 ó 4,25% b-3) Tasa efectiva mensual, utilizando Excel. Se emplea la función tasa: =Tasa (nper;pago;va;vf;tipo) neper = 10 meses; pago = 350 = A; va = 0; vf = 4251.18; tipo = 0 significa que las cuotas se realizan al fin de cada período.
A
VF
12,
0,040 x
12, i
12,
0,
0 , 04248352237 0 , 042484 .. 4 , 2484 %
0 , 045
0 , 045 0. 040 12 , 2882093712 , 14622857
12 , 2882093712 , 00610712
x
x
TEM=0,042484 ó 4,2484%
