Calculo de intereses compuestos y anualidades ordinarias, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemática Financiera

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TEXTO UNIVERSITARIO

MATEMÁTICA FINANCIERA II

Compilador: Econ. Julio Lezama Vásquez

Código……………..

Adaptado por: Baldemar Quiroz Calderón

Chimbote, Perú

MATEMÁTICA FINANCIERA II

Serie UTEX Primera Edición 2015 Compilador: Econ. Julio Lezama Vásquez Adaptado por: Mg. Baldemar Quiroz Calderón De esta edición Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote Jr. Leoncio Prado N° 443 Chimbote, Ancash – Perú Telf.: (043) 327846.

Texto digital

Decreto Legislativo 822 – Ley sobre el Derecho de Autor Artículo 43º.- Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitido sin autorización del autor:

a) La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes en instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro.

• INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... ´ÍNDICE GENERAL i
• ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS ....... PRIMERA UNIDAD: INTERÉS COMPUESTO, VALOR ACTUAL, DESCUENTO,
• CAPÍTULO I: INTERÉS COMPUESTO ............................................................................
  • 1.1 INTERÉS COMPUESTO
    • 1.1.1 Función del Tiempo
    • 1.1.2 La Escala de Tiempo
    • 1.1.3 Valor del Dinero en el Tiempo
    • 1.1.4 Período de Capitalización
    • 1.1.5 Valor Futuro de un Capital
    • 1.1.6 Capitalización
    • 1.1.7 Interés Compuesto
    • 1.1.8 Cálculo del Monto
    • 1.1.9 Deducción de la fórmula del monto.............................................................
    • 1.1.10 Factor Simple de Capitalización
    • 1.1.11 El monto en periodos fraccionarios
    • 1.1.12 Capitalización Calendaría
    • 1.1.13 Monto con principal constante y tasa variable
    • 1.1.14 Monto con Capital y Tasa Variables
    • 1.1.15 Cálculo del Interés
    • 1.1.16 Cálculo de la tasa de interés.......................................................................
    • 1.1.17 Cálculo del número de periodos de capitalización
• RESUMEN.......................................................................................................................
• AUTOEVALUACIÓN........................................................................................................ - 1.1.18 Responder (V) o (F)
• SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN ...................................................................... - 1.1.18 Respuestas
• REFERENCIA BIBLOGRÁFICAS ....................................................................................
• ANUALIDADES ............................................................................................................... SEGUNDA UNIDAD: VALOR ACTUAL NETO, DESCUENTO BANCARIO,
• CAPÍTULO I: EL VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL ..................................................
  • 1.2 VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL
    • 1.2.1 Valor actual
    • 1.2.2 Factor simple de actualización....................................................................
    • 1.2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero
    • 1.2.4 Tasa nominal ii
    • 1.2.5 Tasa Efectiva
    • 1.2.6 Conversión de Tasas
    • 1.2.7 Conversión de una tasa efectiva en otra efectiva de diferente período
    • 1.2.8 Tasas equivalentes
    • 1.2.9 Tasa de inflación
• Año .................................................................................................................................. - 1.2.10 Tasa real - 1.2.11 Tasas reajustadas por efectos de inflación - 1.2.12 Listado de Formulas
• RESUMEN.......................................................................................................................
• AUTOEVALUACIÓN........................................................................................................ - 1.2.13 Responder (V) o (F)
• SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN ...................................................................... - 1.2.14 Respuestas
• REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................
• AMORTIZACIONES ........................................................................................................ TERCERA UNIDAD: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, - CAPÍTULO I: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR
  • 1.3 DESCUENTO
    • 1.3.1 Descuento Racional
    • 1.3.2 Cálculo del Descuento
    • 1.3.3 Cálculo del Valor Nominal y Valor Efectivo
    • 1.3.4 Descuento Bancario
    • 1.3.5 Descuento financier
    • 1.3.6 Descuento Comercial
    • 1.3.7 Línea de descuento
    • 1.3.8 Listado de Formulas
  • 1.4 ECUACIONES DE VALOR
    • 1.4.1 Marco referencial
    • 1.4.2 Ecuaciones de Valor
    • 1.4.3 Valor Equivalente
    • 1.4.4 Vencimiento Medio de obligaciones............................................................
  • 1.5 ANUALIDADES
    • 1.5.1 Clasificación de las anualidades
    • 1.5.2 Monto de una anualidad ordinaria simple
    • 1.5.3 Valor presente de una anualidad ordinaria simple
    • 1.5.4 Valor de la renta en una anualidad ordinaria simple
    • 1.5.5 Renta Ordinaria en Función del Monto
    • 1.5.6 Renta Ordinaria en Función del Valor Actual
    • 1.5.7 El tiempo en una anualidad ordinaria simple iii
    • 1.5.8 El tiempo en función del monto...................................................................
    • 1.5.9 La tasa de interés en una anualidad ordinaria simple
    • 1.5.10 La tasa de interés en función del monto
    • 1.5.11 La tasa de interés en función del valor actual
    • 1.5.12 Listado de Formulas
  • 1.6 ANUALIDADES ANTICPADAS
    • 1.6.1 Monto de una anualidad anticipada simple
    • 1.6.2 Valor actual de una anualidad anticipada simple
    • 1.6.3 Rentas anticipadas simples
    • 1.6.4 Renta anticipada en función del monto
    • 1.6.5 Renta anticipada en función del valor actual
    • 1.6.6 El tiempo en una anualidad anticipada simple
    • 1.6.7 El tiempo en función del monto.................................................................
    • 1.6.8 La tasa de interés en una anualidad anticipada simple
    • 1.6.9 La tasa de interés en función del monto
    • 1.6.10 La tasa de interés en función del valor actual
    • 1.6.11 Listado de Formulas
• CAPÍTULO II: ANUALIDADES DIFERIDAS
  • 1.1 ANUALIDADES
    • 1.1.1 El monto en una anualidad diferida...........................................................
    • 1.1.2 Monto de una anualidad ordinaria diferida
    • 1.1.3 Monto de una anualidad anticipada diferida..............................................
    • 1.1.4 Valor actual de una anualidad diferida
    • 1.1.5 Valor actual de una anualidad ordinaria diferida
    • 1.1.6 Valor actual de una anualidad anticipada diferida
    • 1.1.7 La renta en una anualidad diferida............................................................
    • 1.1.8 Renta de una anualidad ordinaria diferida en función del monto
    • 1.1.9 Renta de una anualidad anticipada diferida en función del monto
    • 1.1.10 Renta de una anualidad ordinaria diferida en función del valor actual
    • 1.1.11 Renta de una anualidad anticipada diferida en función del valor actual
    • 1.1.12 Cálculo de k y t en una anualidad diferida
    • 1.1.13 Listado de Formulas
  • 1.2 RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS
    • 1.2.1 Valor actual de una renta perpetua ordinaria
    • 1.2.2 Valor actual de una renta perpetua anticipada
    • 1.2.3 Rentas de una Perpetuidad
    • 1.2.4 Renta perpetua anticipada
    • 1.2.5 Tasa de interés en una perpetuidad
    • 1.2.6 Listado de Formulas iv
  • 1.3 ANUALIDADES GENERALES
    • 1.3.1 Monto con varios períodos de capitalización por período de pago
    • 1.3.2 Monto con varios períodos de pago por período de capitalización
    • 1.3.3 Valor actual de una anualidad general......................................................
    • 1.3.4 Renta de una anualidad general ordinaria
    • 1.3.5 Renta de una anualidad general anticipada
  • 1.4 AMORTIZACIÓNES
    • 1.4.1 Marco referencial
    • 1.4.2 Sistemas de amortización
    • 1.4.3 Un pago único al final del periodo del préstamo
    • 1.4.4 Amortización con cuotas ordinarias constantes.
    • 1.4.5 Amortización con cuotas anticipadas constantes.
    • desembolsa en partes 1.4.6 Amortizaciones ordinarias a cuota constante, cuando el préstamo se
    • 1.4.7 Amortización con periodo de gracia o pago diferido
    • solamente los intereses. 1.4.8 Amortización con periodo de gracia, cuando en el plazo diferido se pagan
  • 1.5 DEPRECIACIONES.........................................................................................
    • 1.5.1 Causas que originan la depreciación
    • 1.5.2 Factores de la depreciación
    • 1.5.3 Métodos de cálculo de las depreciaciones................................................
    • 1.5.4 Depreciación a cuota constante................................................................
    • 1.5.5 Depreciación a cuota decreciente
    • 1.5.6 Depreciación a cuota creciente.................................................................
  • 1.6 AGOTAMIENTO
    • 1.6.1 Métodos de cálculo del agotamiento.........................................................
    • 1.6.2 Método del factor o costo de agotamiento
    • 1.6.3 Método del descuento por agotamiento
  • 1.7 EVALUACIÓN ECONOMICA DE PROYECTOS DE INVERSION
    • 1.7.1 Evaluación de un proyecto de inversión
    • 1.7.2 Rentabilidad económica
    • 1.7.3 Flujo de caja.
    • 1.7.4 Costo de oportunidad
    • 1.7.5 Evaluación Económica
    • 1.7.6 Valor actual neto.......................................................................................
    • 1.7.7 Tasa interna de retorno
    • 1.7.8 Relación beneficio costo
    • 1.7.9 Período de recuperación de capital
• Años
• Años v
  • 1.8 EVALUACION FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION
    • 1.8.1 Evaluación Financiera
    • 1.8.2 Rentabilidad financiera
    • 1.8.3 Flujo de caja financiero
• Años
• RESUMEN.....................................................................................................................
• AUTOEVALUACIÓN......................................................................................................
• SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN
• REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

INTRODUCCIÓN

Estimado estudiante: La asignatura de Matemática Financiera II, se encuentra en el IV Ciclo de estudio de la Carrera Profesional de Contabilidad. Esta asignatura es fundamental, dado que le permitirá dar respuesta a una serie de interrogantes de carácter económico y financiero privado, teniendo en cuenta el contexto nacional e internacional.

Las matemáticas financieras, proporcionan herramientas que permite evaluar las diferentes alternativas de financiamiento empresarial; de manera que se constituyen en instrumentos técnicos, que orientan a los ejecutivos en la toma de decisiones, para asignar recursos monetarios a las operaciones más rentables y que mejor convengan a las organizaciones.

Como cualquier otra actividad científica las matemáticas financieras evolucionan, utilizan nuevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicaciones, se profundizan los conceptos. Por tanto en este curso estudiamos los fundamentos teóricos de las matemáticas financieras, la lógica de sus diferentes métodos y las herramientas que nos permiten dar solución a la infinidad de problemas que en este campo se presentan.

Uno de los principales objetivos del trabajo, es que el estudiante adquiera destrezas en la interpretación y manejo de los conceptos y las fórmulas de acuerdo a cada tema, a fin de afianzar sus conocimientos en la materia, los mismos que le permitirán una aplicación exitosa en el ejercicio profesional.

Con el propósito de dinamizar y hacer más comprensible el estudio de la asignatura de Matemáticas Financieras, diseñamos el presente texto, en el que el lector encontrará las respectivas instrucciones para su eficiente manejo y las estrategias de estudio de todos y cada uno de los temas, permitiendo el desarrollo de un aprendizaje de calidad.

Consientes que una de las características más relevantes del mundo globalizado, son los cambios vertiginosos en todos sus ámbitos, como en el tecnológico, económico y financiero, induciendo una evolución permanente de estas áreas del conocimiento y en

UNIDADES DE APRENDIZAJE

PRIMERA UNIDAD: INTERÉS COMPUESTO, VALOR ACTUAL, DESCUENTO,

ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS

CAPÍTULO I: INTERÉS COMPUESTO

1.1 INTERÉS COMPUESTO

Las matemáticas financieras como cualquier otra actividad científica utilizan categorías e instrumentos técnicos que ameritan su definición teórica para una mejor comprensión de sus contenidos.

En consecuencia, iniciamos el estudio de nuestra materia con el análisis de los conceptos básicos referentes a las categorías utilizadas en el cálculo financiero. Es evidente que algunos de ellos, ya nos son familiares por haberse tocado en Matemática Financiera I, pero es necesario mantenerlo vigente para su aplicación correspondiente en la presente asignatura.

1.1.1 Función del Tiempo

El crecimiento natural es una variación proporcional de la cantidad presente en cualquier orden de cosas en función del tiempo, tal es el caso de los vegetales, animales etc. Que crecen en función continua al tiempo, situación que también se presenta en la capitalización a interés compuesto.

1.1.2 La Escala de Tiempo

La escala de tiempo es indispensable para visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta o un flujo de pagos, de acuerdo al tipo de operación financiera que se efectúe.

La escala de tiempo muestra periodos de cálculo del interés, como también la frecuencia de capitalización de los mismos, y estos pueden ser: meses, trimestres, semestres, años o cualquier otro período de tiempo. Por ejemplo si los intereses se capitalizan trimestralmente, por un espacio de 10 años, la escala de tiempo mostrará 40 periodos y si se capitaliza semestralmente la escala mostrará 20 períodos de capitalización.

La escala de tiempo muestra también los periodos de pago a la deuda, los periodos de cobro de préstamos concedidos o erogaciones por diferentes conceptos.

Gráficamente la escala de tiempo, lo ilustramos en la figura siguiente:

Fig. 1.

200 200 200 200 200 200 200 200 Ι Ι Ι Ι Ι Ι....... … Ι Ι Ι 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

La Fig. 1.1 representa una serie uniforme de desembolsos anuales que tienen lugar al final de cada año durante un periodo de n años.

1.1.3 Valor del Dinero en el Tiempo

El concepto del valor del dinero en el tiempo, se sustenta en el hecho de que el dinero disponible ahora, vale más que la expectativa de la misma cantidad en un período futuro.

Debido a que una unidad monetaria ahora se puede colocar en una alternativa que permita un rendimiento en el futuro, convirtiéndose en una cantidad mayor que la actual. De manera que no es lo mismo recibir una unidad monetaria ahora, a recibir la misma cantidad dentro de un mes.

El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de interés y la tasa inflacionaria; la tasa de interés permite medir el valor económico del dinero y la tasa inflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un sol de hoy no es el mismo que el de ayer o el de mañana.

La explicación del valor del dinero en el tiempo, nos llevaría a afirmar que no nos atreveríamos a otorgar dinero en calidad de préstamo, sin exigir como pago una cantidad adicional, que compense la pérdida de la capacidad adquisitiva o conservar su valor equivalente en el tiempo.

La tasa exigible por el préstamo es la tasa de interés; en consecuencia, el tiempo y la tasa de interés son factores esenciales que nos permiten conocer el valor cronológico del dinero. Ahondando un poquito más, el interés puede definirse ya como un costo o como una ganancia. Será un costo, cuando se pide fondos prestados a terceros y por su

permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan de actualización.

Estos indicadores nos permiten también sumar o restar capitales ubicados en distintos momentos, calculando los equivalentes en un mismo momento.

Ejemplo: Si vamos a recibir S/.1,000 dentro de 6 meses y S/.2,000 dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses o cualquier otro periodo) y entonces si se pueden sumar. (Facil, 2000)

1.1.4 Período de Capitalización

Es el intervalo de tiempo convenido, para capitalizar los intereses formando un valor futuro o monto.

1.1.5 Valor Futuro de un Capital

Es el valor final o monto acumulado, después de transcurridas sucesivas capitalizaciones durante el horizonte temporal o también el equivalente de un capital en el futuro.

1.1.6 Capitalización

Capitalizar significa sumar el interés al capital al final de cada período, formando un nuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calculará el interés del siguiente período y así sucesivamente hasta el final, de manera que se capitalizarán, tantas veces como el número de períodos permanezca el capital invertido.

1.1.7 Interés Compuesto

Es el valor monetario que representa el costo del dinero beneficio o utilidad de un capital o principal y se obtiene mediante un proceso en el cual el interés generado por un capital al final de cada periodo de capitalización, no se retira sino que se suma al capital (se capitalizan) para formar un nuevo capital mayor y sobre la base de este, calcular el interés del siguiente período y así sucesivamente hasta el término del horizonte temporal.

1.1.8 Cálculo del Monto

En cualquier inversión o colocación de dinero se espera recibir, el capital más sus intereses. Se compran bonos, acciones u otros títulos, para recibir después de un determinado periodo de tiempo una cantidad mayor. En este caso el monto es igual a la suma del capital más el interés obtenido en un horizonte temporal, calculado a una tasa de interés (i) en (n) periodos de tiempo; operación que lo ilustramos en la escala de tiempo:

Fig. 1.

P S =? Ι Ι Ι Ι Ι Ι...... Ι Ι Ι 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

1.1.9 Deducción de la fórmula del monto

Para el efecto utilizaremos la simbología siguiente:

S = Monto o cantidad de dinero en una fecha futura, constituido por la suma del capital más el interés. P = Capital, valor actual o valor presente del dinero por el cual se paga intereses. En la escala de tiempo se ubica en el punto cero, o cualquier otro periodo en que se inicia el cómputo del tiempo. i = Tasa de interés de un capital o tasa de rendimiento de una inversión. n = Número de periodos en los que un capital se encuentra colocado. m = Frecuencia de capitalización I = Importe del interés

De conformidad con la definición del valor futuro de un capital, como la suma del capital más el interés, al que se le denomina también monto, deducimos la fórmula mediante el siguiente razonamiento:

Si un capital P, al final del primer período se ha convertido en

S = Pi- n.FSC

Y se le el monto es igual al producto del capital por el factor simple de capitalización a una tasa de interés i en n períodos de tiempo.

El FSC es el monto a interés compuesto, generado por una unidad monetaria, durante n períodos de tiempo y a una tasa de interés i por período. Dicho factor tiene por función llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

Ejemplo 1.2 Se deposita en una cuenta de Ahorros S/.5,000 a interés compuesto a la tasa efectiva del 20% anual. ¿A cuánto ascenderá el monto al cabo de 4 años?

S = P 1 in

S = 5,000 1. 20 ^4

S = 10,

Como la tasa efectiva esta dado

anualmente, significa que el cálculo

de los intereses y las

correspondientes capitalizaciones se

dan anualmente. Es decir al final de

cada año.

Ejemplo 1.3Se deposita en una cuenta un capital de S/.5,000 a una tasa del 20% anual con capitalización trimestral. ¿A cuánto ascenderá el monto al cabo de 4 años?

S = 5 000 1. 05 ^16

S = 5 000(2.18287)

S = 10,914.

En este caso la tasa nominal es

anual y la frecuencia de capitalización

es trimestral, haciéndose necesario

dividir la tasa anual entre 4 trimestres

que tiene un año y el resultado es la

tasa efectiva trimestral que lo

reemplazamos en la fórmula, así

mismo, el número de periodos se

expresa en la misma unidad de

tiempo que la tasa, ascendente a 16

trimestres. El valor del monto es

mayor al anterior producto de la

frecuencia de capitalización de los

intereses.