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SEMANA 5-
Números enteros negativos Los números enteros negativos son todos aquellos números enteros que son precedidos por un signo negativo (-) y que son considerados menores a cero. Por ejemplo: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7 … -20 … -100 … - 12520, etc. En una recta numerica los números enteros son los siguientes:
Nota: De acuerdo a la figura anterior cuando nos refiramos a números enteros positivos éstos estarán antecedidos por un signo positivo (+) o simplemente no tendran signo, mientras que los numeros enteros negativos siempre van antecedidos por el signo negativo (-). Suma y resta de números enteros negativos Generalmente tenemos mucha practica en la suma y resta de números enteros positivos, ya que lo practicamos cuando vamos a la tienda, en el mercado y en muchos otros lugares, es una actividad común. Sabemos que 2+2=4, lo que hemos aprendido desde muy pequeños. Si quisieramos ser un poco mas respetuosos y formales reescribiriamos esta suma de la siguiente manera: (+2) +( +2)=+4, donde + corresponde al signo del número y + es el simbolo de la operación que hacemos entre los dos números. Usualmente a los números positivos no se les escribe el signo + ya que éste es muy noble ¡ya veremos por qué! Si quiero llevarlo a la vida cotidiana simplemente digo: gané, lo que es positivo, 2 dulces en un rifa y despues encontre , lo que tambien es positivo, 2 dulces más, ¿Cuántos dulces tengo en total? Tengo 4 dulces y el 4 tiene signo positivo por que es bueno para mi.
Objetivos
Recordar cómo operan los números enteros negativos en base a la ley de la multiplicación y división de los signos. Representar aprender (o recordar) como operar entre ellos. gráficamente números fraccionarios y
Si ahora resto dos números positivos, por ejemplo (+5) -( +2)=+3, tendremos que gané 5 dulces y me quitan 2 dulces de los que habia ganado, entonces me quedan 3, como aún me quedan es positivo el resultado. En este punto, y para resolver con mayor facilidad estos problemas, es necesario introducir la ley de multiplicación de los signos. Esta multiplicación de SIGNOS se presentara siempre que dos signos esten separados por un parentesis (ej. – ( +, + ( -, + ( +, …) Entonces dice la ley de los signos de la multiplicación :
- ( +)=+, se lee “más por más es más”
- ( -)= -, se lee “más por menos es menos”
- ( +)= -, se lee “menos por más es menos
- ( -)=+, se lee “menos por menos es más” Asi por ejemplo, si queremos resolver el problema (+2) +( +2)=+4, puedo realizar la multiplicación de los signos y reducir un problema que tiene tres signos a un problema de solo dos signos. Puedo quitar todos los paréntesis una vez multiplique^ (+2) +( +2)=+2+2=+4, ya que^ +( +)=+ De igual forma podemos resolver el problema (+5) -( +2) usando la ley de multiplicación de los signos. (+5) -( +2)=+5 - 2=+3, ya que -( +)= - Pero la respuesta +3 en este problema no es muy claro, ¿Por qué el 3 es positivo y no es negativo? Si lo llevamos a la vida cotidiana seria como decir que tengo 5 pesos y me quitan 2 por tanto quedo con 3 pesos lo que aún indica que tengo dinero a mi favor. Para evitar este tipo de conflictos a la hora de solucionar estos problemas se puede utilizar una regla muy sencilla para saber el signo del resultado. Si los signos son diferentes los números se restan y el resultado tendrá el signo del número mayor. Si los signos son iguales los números se suman y el resultado tendra el signo que tienen en común. Como en el caso +5- 2 ambos números tienen signos diferentes, el resultado será la resta de 5 y 2, y el signo de dicho resultado sera + ya que 5>2 (5 mayor que 2).
(-)/(-) =+, se lee “menos dividido menos es más” Donde / representa la división. ¡Si observas con cuidado las leyes de multiplicacion y división de los signos son iguales, así será más fácil aprenderlas! Entonces si tenemos: (-8)/(-2) Dividimos los números normalmente 8÷2=4 y el signo se obtiene de la ley de división de los signos donde (-)/(-) =+, por tanto: (-8)/(-2)=+ 4 Otro ejemplo puede ser: (+20)/(-4) Dividimos los números normalmente 20÷4=5 y el signo se obtiene de la ley de división de los signos donde (+)/(-) = - , por tanto: (+20)/(-4)= - 5
- Realiza las siguientes operaciones a. Como existe un signo en medio de los parentesis (+10) -( +5) sabemos que ambos números estan restando. Usando la ley de los signos de la multiplicación podemos reducir los 3 signos a solo 2, quedando (+10) ( +5)=+10-5 - Observamos los signos de los números y como son diferentes realizamos una resta entre los números 10- 5=5 y el signo del resultado será el signo del número mayor que en este caso es +10. De modo que el resultado es: (+10) -( +5)=+10-5= + b. Como existe un signo en medio de los parentesis (+8) -( -4) sabemos que ambos números estan restando. Usando la ley de los signos de la multiplicación podemos reducir los 3 signos a solo 2, quedando (+8) ( -4)=+8+4 - Observamos los signos de los números y como son iguales sumamos los números 8+4=12 y el signo del resultado será el signo que tienen en común, en este caso +. De modo que el resultado es: (+8) -( - 4)=+8+4= + c. Como NO existe un signo en medio de los parentesis (-8)(-9) sabemos que ambos números estan multiplicando. Empiezo por multiplicar los números normalmente 8×9=72 y multiplico los signos menos por menos da más (-)(-)=+ Por tanto, (-8)(-9)= + d. Como existe el simbolo / en medio de los parentesis (-50)/(-25)
Ejercicios resueltos
sabemos que ambos números estan dividiendo. Dividimos los números normalmente 50÷25=2 y el signo se obtiene de la ley de división de los signos donde (-)/(-) = + por tanto: (-50)/(-25)= + Números fraccionarios Los números fraccionarios representan una relación entre en una cierta cantidad de partes en las que se divide un objeto y las partes que se toman o realmente se utilizan de dicho objeto. Por ejemplo: si tengo una torta y la divido en 6 pedazos pero solo me como 1 pedazo, la cantidad de torta con la que me quedo correspondera a 16 lo que se lee “un sexto”. En este ejemplo el 1 es llamado numerador y el 6 denominador. Para representar graficamente los números fraccionarios se utilizan las tortas, donde el denominador de la fracción indicará el número de piezas en las que debo dividir la o las tortas y el númerador nos dice cuantas partes tomo. Por ejemplo, representemos graficamente la fracción (^59) Entonces tomamos una torta y la dividimos en 9 pedazos iguales (denominador) y de las nueve tomamos 5 pedazos (numerador).
Ahora, si tenemos la fracción 207 , debemos tomar una torta y dividirla en 7 pedazos iguales y de los 7 pedazos tomar 20. Ojo! Como de 7 pedazos vamos a tomar 20. En este punto es importante señalar que podemos tomar mas de una torta siempre y cuando cada torta la dividamos en 7 pedazos. Entonces para poder tomar 20 pedazos de torta debo comprar 3 tortas y dividir cada torta en 7 pedazos, asi:
Suma y resta de números fraccionarios Para sumar o restar dos números fraccionarios debemos: Paso 1. Multiplicar los denominadores y el resultado será el nuevo denominador.
Paso 5. Sumar o restar, según corresponda, los numeros que estan en el nuevo numerador. 1 6 +^
7 =^
42 =^
Ya que 7+18=
Ejemplo 2.^53 −^19
De realizando una resta entre ellas. Solucionemos este problema utilizando los acuerdo el signo que hay en el intermedio de las fracciones, se esta pasos anteriormente descritos. Paso denominador. 1. Multiplicar los denominadores y el resultado será el nuevo 5 3 −^
Ya que 3×9=27^9 =^27 ❑ Paso 2. Multiplicar el númerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y el resultado ponerlo en el nuevo numerador. 5 3 −^
9 =^
Ya que 5×9= Paso 3. Poner en el numerador del resultado el simbolo de suma o resta según corresponda.
5 3 −^
9 =^45 −^27 ¿ ¿
Es - ya que es una resta de fracciones. Paso 4. Multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el resultado ponerlo en el nuevo numerador. 5 3 −^
9 =^
Ya que 3×1=3^27 Paso 5. Sumar o restar, según corresponda, los numeros que estan en el nuevo numerador. 5 3 −^
9 =^
27 =^
Ya que 45-3=42^27
Multiplicación y división de números fraccionarios Para MULTIPLICAR dos números fraccionarios debemos: Paso 1. Multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo numerador. Paso 2. Multiplicar el denominador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo denominador.
Ejemplo 1.^16 ×^^37
De realizando acuerdo unael signomultiplicación que hay enentre el intermedioellas. Solucionemos de las fracciones, este problema se esta utilizando los pasos anteriormente descritos. Paso 1. Multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo numerador.
1 6 ×^
7 =^
Ya que 1×3= Paso 2. Multiplicar el denominador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo denominador. 1 6 ×^
7 =^
Ya que 6×7=
Ejemplo 2. (^) 103 ×^^23
De realizando acuerdo unael signomultiplicación que hay enentre el intermedioellas. Solucionemos de las fracciones, este problema se esta utilizando los pasos anteriormente descritos. Paso 1. Multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo numerador.
3 10 ×^
3 =^
❑^6
Ya que 3×2=
Paso 1. Multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo numerador. 3 10 ÷^
3 =^
Ya que 3×9= Paso 2. Multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y el resultado será el nuevo denominador. 3 10 ÷^
3 =^
Ya que 10×2=20 1. Representa graficamente las siguientes fracciones
a. (^56) Rta: b. (^129) Rta:
- Siguiendo los pasos indicados para cada una de las Resuelve las siguientes operaciones: operaciones con números fraccionarios tenemos: a. 2 5 +^
7 =❑^ ❑
5 +^
7 =^35 ❑
5 +^
7 =^14 +^35 ¿ ¿
5 +^
7 =^
5×7=35 2 2×7=14 5×1=
5 +^
7 =^
b. 12 3 −^
7 =❑^ ❑
3 −^
7 =^21 ❑
3 −^
7 =^84 −^21 ¿ ¿
3 −^
7 =^
3×7=35 12 12×7=84 3×2=
3 −^
7 =^
c.^21 4 8 ×^
2 =❑^ ❑
8 ×^
2 =^16 ❑
8 ×^
2 =^
d.^ 8×2=16^ 4×5=
Ejercicios resueltos
3 ÷^
2 =❑^ ❑
3 ÷^
2 =^
❑^84
3 ÷^
2 =^
4×2=8 3×1=
- Siguiendo los pasos indicados para cada una de las operaciones con números Resuelve las siguientes operaciones: fraccionarios tenemos: a. 15 + (^27) = 15 + 27 = 7 + 3510 = (^1735)
b. 29 − (^15) = 29 −^15 =^1045 − 9 =^459
c. 106 ×^54
=
10 ∗^5
d. 85 ÷^^14 = 85 /¿^14 = (^89)
- Resuelve los siguientes ejercicios. Si es posible utiliza las exponentes. leyes de los a. 40 b. (^23) + 22
=1 =
