Funciones Matemáticas: Concepto, Tipos y Representación Gráfica, Apuntes de Matemáticas

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Ucaece Mar del Plata

MATEMÁTICA I

UNIDAD 1

FUNCIONES MATEMÁTICAS

Haeussler, Ernest F. Jr. y Paul Richard S. (1987). Matemática para Administración y

Economía. Grupo Editorial Iberoamérica.

Haeussler, Ernest F. Jr. y Paul Richard S. (1997). Matemática para Administración, Economía,

Ciencias Sociales y de la vida. México: Prentice Hall.

Introducción

Las funciones como modelos matemáticos…

La matemática provee herramientas que ayudan a describir, interpretar y analizar un fenómeno o hecho de la vida real a través de lo que sea denominan Modelos matemáticos. Así, un modelo matemático simula, en lenguaje matemático,una situación que necesita ser interpretada y analizada.

El proceso de modelización implica:

 La construcción del modelo (Lenguaje matemático)  El análisis del modelo  Interpretación del análisis matemático (Aplicación de los resultados del estudio matemático al problema inicial)

Las funciones son ejemplos de modelos matemáticos. Por ejemplo en economía, podemos mencionar los modelos lineales de costos, de ingresos, de oferta y de demanda, entre otros. Cada uno de ellos será descripto e interpretado por funciones o ecuaciones lineales.

Conforme avancemos con los contenidos daremos sustento a esta introducción.

d (p) = 50 0 – p Cantidad demandada de cierto artículo (d) en función del precio (p)

d: variable dependiente p: variable independiente

V (t) = 720 000 – 14 400t Valor de un bien (V) en función del tiempo (t) transcurrido desde su compra

V: variable dependiente t: variable independiente

I (q) = 3q - 0,0005q^2 Ingreso obtenido (I) por la venta de q unidades de un determinado producto

I: variable dependiente q: variable independiente

G(x) = 200x – x² - 4000 Ganancia (en miles de dólares) donde x es el dinero invertido en publicidad (en miles de dólares)

G: variable dependiente x: variable independiente

1.3 Consideraciones de dominio y rango

 Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de “x” para los cuales la función existe o está definida.

 Se llama imagen o rango de una función al conjunto de valores que toma la función sobre su dominio de definición.

Ejemplos

Función Domino Justificación

f (x) = 5x - 1 Dom (f) = R

Las operaciones que involucran a la variable independiente están definidas para todo valor real

f (x) = 3

x (^) Dom (f) = R

f (x) = 15 Dom (f) = R

f (x) = 1- 3x + 4x^2 Dom (f) = R

f(x) = x

3 x  2 Dom (f) = R - {0} El denominador debe ser distinto de cero x 0

f (x) = x 1

(^) Dom (f) = R- {1} El denominador debe ser

distinto de cero x- 1  0  x 1

f(x) = x x 2

x 2 2

2

 

Dom (f) = R- {2, - 1} El denominador debe ser distinto de cero x^2 x 2  0  x-1 y x 2

f (x) = x  1 Dom (f) = [-1; +)^ El radicando debe ser mayor o igual que cero x+1 0  x  - 1

(1) Intente responder…

De las siguientes funciones

f(x) = x  2 g(x) = x 2

h(x) = x 4

x 2 (^2) 

a) Todas las funciones dadas tienen por dominio al conjunto R - {2} b) Sólo en g y en f el dominio es el conjunto R - {2} c) Sólo en g el dominio es R - {2} d) Ninguna de las funciones dadas tiene por dominio al conjunto R - {2}

Verifique su respuesta

(2) Intente responder…

¿Cómo se clasifican las siguientes funciones?

a) f (x) = (2 – x)x b) f (x) = -

c) 4

20 4 x f (x)

d) x

20 4 x f (x)

e) f (x) = 2 x f) f (x) = 2 x Verifique su respuesta

Luego de ver la respresentación gráfica, analizaremos algunas particularidades de las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales.

3. Representación gráfica de funciones

3.1. Sistema de coordenadas rectangulares

El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un sistema de referencia formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano.

Las rectas son llamadas ejes, la recta horizontal es el eje x (o eje de abscisas) , la recta vertical es el eje y (eje de ordenadas)

Además, los ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.

De esta forma cada punto de coordenadas (x,y) se representa según se muestra con ejemplos en la figura: Para tener en cuenta…

 Esta ecuación y La pendiente y la ordenada al origen pueden asociarse a estos coeficientes, siempre que la ecuación esté expresada en forma explícita.

 El nombre de ordenada al origen se refiere a que el valor k es la ordenada de 0, es decir que el punto de intersección con el eje y, será (0,k)

3.2. Graficación de funciones en dos dimensiones

La representación gráfica de funciones de la forma y = f(x) se realiza sobre ejes cartesianos y se corresponde con el conjunto de todos los puntos de la forma (x; f(x)).

Las variables x e y son numéricas; y, para ser representadas sobre los ejes cartesianos, es necesario elegir adecuadamente una escala sobre éstos.

Algunos ejemplos

En esta etapa sólo mostraremos algunos gráficos a modo de ejemplos considerando que nos ocuparemos de algunas funciones puntuales en los módulos siguientes.

a) f(x) = x -

x f(x) Punto 0 -2 (0,-2) 2 0 (2,0)

b) f(x) = x^2 -2x-

x f(x) Punto 0 - 1 (0,-1) 1 - 2 (1,-2) vértice 2 - 1 (2,-1)

c) f(x) = x^3

x f(x) Punto

• 1 - 1 (-1,-1) 0 0 (0,0) 1 1 (1,1)

Algunos funciones particulares

La función lineal

Una función f: RR expresada en la forma y = f(x) = ax + b con a  IR- {0} y b  IR , se denomina función lineal, donde y es la variable dependiente y x la variable independiente.

Observación: puede identificarse la ecuación que define a la función lineal con una ecuación lineal expresada en la forma pendiente-intersección (ver módulo 2). De esta manera distinguimos la pendiente y la ordenada al origen como:

a : pendiente b : ordenada al origen

La pendiente indica que la variación de y, respecto de la variación de x (tasa de variación) es constante.

(4) Intente responder…

¿Cuáles de las siguientes expresiones están asociadas a una función lineal?

a) f (x) = 2 – x b) f (x) = x

c) x

20 4 x f (x)

d) 4

f (x)^20 ^4 x

e) f (x) = x 4

En aquellas que lo sean, identifique pendiente y ordenada al origen

Verifique su respuesta

 Características gráficas

Al reconocer la expresión algebraica de una función lineal como una ecuación lineal de dos variables, sabemos que su representación gráfica es una recta en el plano.

El signo de la pendiente distingue el crecimiento de la función y la ordenada al origen indica la ordenada del punto de intersección con el eje “y”

a < 0 (función decreciente ) a > 0 (función creciente)

Utilice la actividad para funciones lineales con GeoGebra propuesta en el

Aula Virtual

La función cuadrática

Una función de la forma y = f(x) = ax^2 + bx + c con a, b y c  IR y a  0 se denomina función cuadrática

(5) Intente responder…

¿De las siguientes expresiones, todas están asociadas a una función cuadrática?

a) f (x) = x - 2x^2 b) f (x) = x^2 – 4

c) f (x) = 3

x 2  9 x

d) f (x) = x (x – 5)

e) f (x) = 3

x 2  9 x

En aquellas que lo sean, ¿cuáles son los valores que toman los parámetros a, b y c?

Verifique su respuesta

0 x

y

0 x

y

(0, b) (0, b)

y = f(x)

y = f(x)

x = 2 a

b  b^2  4 ac , de donde x 1 = 2 a

b  b^2  4 ac y x 2 = 2 a

b  b^2  4 ac

El signo de b^2 – 4ac (discriminante) permite distinguir el tipo de solución de la ecuación:

Si b^2 – 4ac >0  x 1 IR, x 2 IR y x 1 x 2 , resultando: (x 1 ; 0) y (x 2 ; 0) puntos de intersección

Si b^2 – 4ac =0  x 1 IR, x 2 IR y x 1 = x 2 , resultando: (x 1 ; 0) único punto de

intersección Si b^2 – 4ac <0  no tiene soluciones reales, en consecuencia no existen puntos

de intersección

(6) ¿Verdadero o falso? ...

En la función cuadrática graficada, puede afirmarse que:

a) El coeficiente principal “a” es negativo

b) La función cuadrática no tiene raíces reales

c) El discriminante es positivo

d) El eje de simetría no coincide con el eje y

Verifique su respuesta

Observación: Las funciones constante, lineal, cuadrática, cúbica, son casos particulares de las funciones polinómicas, algunas de ellas se ejemplifican a través de los siguientes gráficos:

Análisis del

signo del

discriminante

Ejemplos de funciones racionales

IMPORTANTE: Utilice el gráficador dinámico propuesto en el Aula Virtual

para visualizar su comportamiento gráfico.

Recordar : El dominio de una función racional está formado por todos los números reales

excepto aquellos para los cuales el denominador es cero

(7) Intente responder ...

¿Cuál es el dominio de las funciones ejemplificadas?

Busque ejemplos de funciones racionales tales que su dominio sea: R - {2;-1} R – {3;-3} R

Utilice un software que le permita graficar las funciones ejemplificadas

Verifique su respuesta

(8) Intente responder ...

Para 1) y 2) realice:

(f o g) (x) (f o f ) (x) (g o g) (x)

Puede afirmarse que en general, la composición de funciones es conmutativa?

Verifique su respuesta

Respuestas a los interrogantes

Interrogante 1

Respuesta correcta c) Para realizar la justificación deberá considerar:

 Dom(f) = [2, +) Para determinarlo, basta hallar los x reales que satisfacen la inecuación : x - 2  0

 Dom(g) = R - {2} En este caso el análisis consiste en determinar los reales tales que x - 2  0

 Dom (h) = R - {2,-2} (¿por qué?)

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Interrogante 2

a) f (x) = (2 – x)x Cuadrática o polinómica de 2ºgrado b) f (x) = -3 Constante

c) 4

20 4 x f (x)

Lineal

d) x

f (x)^20 ^4 x Racional e) f (x) = 2 x Exponencial f) f (x) = 2 x Lineal

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Interrogante 3

Sólo b) y d)

Para ellas se verifica existencia y unicidad del vínculo (para cada “x” existe un único “y”) En las restantes alguna o las dos condiciones no se verificas. Debe identificar cada caso. Si no, puede consultar a su tutor

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Interrogante 4

a) f (x) = 2 – x Sí (pendiente -1, ord. al origen 2) b) f (x) = x Sí (pendiente 1, ord. al origen 0)

c) x

20 4 x f (x)

No

d) 4

20 4 x f (x)

 Sí (pendiente 1, ord. al origen 5)

e) f (x) = x 4

 No

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