Matemática en Arquitectura
Parte 2
Un aporte para la formación en Matemática
de los estudiantes de Arquitectura y Urbanismo
FACULTAD DE
ARQUITECTURA Y URBANISMO
Stella Maris Arrarás y Viviana Beatriz Cappello
(coordinadoras)
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Matemática para ARQUITECTURA, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas
Sobre temas de matemática paar arquitectura
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2022/2023
1 / 135
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Matemática en Arquitectura
Parte 2
Un aporte para la formación en Matemática
de los estudiantes de Arquitectura y Urbanismo
FACULTAD DE
ARQUITECTURA Y URBANISMO
Stella Maris Arrarás y Viviana Beatriz Cappello
(coordinadoras)
Libros de Cátedra
MATEMÁTICA EN ARQUITECTURA
P ARTE 2
UN APORTE PARA LA FORMACIÓN EN M ATEMÁTICA
DE LOS ESTUDIANTES DE A RQUITECTURA Y URBANISMO
Stella Maris ARRARÁS Viviana Beatriz CAPPELLO
(coordinadoras)
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Agradecimientos
En el aporte continuo de quienes nos dedicamos a la docencia con ferviente vocación se evidencia la tarea de contribuir en el mejoramiento de poder abordar a la matemática con ma- yor soltura. No verla como esa disciplina inalcanzable e inentendible, sino aprovechar de todas las herramientas que brinda, para lograr resolver las situaciones reales que se presentan en la vida cotidiana. Esa tarea fue la que nos propusimos realizar, y la que no nos resultó simple. Pero el anhelo de poder brindar un texto que haga accesible los temas que nuestros alumnos necesitan para complementar su magnífica creatividad en el diseño y la arquitectura, nos man- tuvo intactos en el objetivo propuesto. En los capítulos de este libro, encontraran años de experiencia y exposición de temas, sin quitarle la rigurosidad del caso haciéndolos significativos Deseamos manifestar un profundo agradecimiento a ellos que son los principales actores de este libro y a quienes va dirigido. Al grupo de docentes que conforma la cátedra de matemática. A todos los docentes que pasaron por esta cátedra, en todas sus versiones, modalidades y apellidos, dejándonos la impronta del ejemplo de docencia y el modelo a seguir. A nuestras familias, fieles compañeros. Muchas gracias a todos.
“Los que miran las leyes de la naturaleza como apoyo de sus nuevos trabajos, colaboran con el creador ANTONI G AUDÍ
- Capítulo
- Matrices y Grafos __________________________________________________________
- Matrices ____________________________________________________________ Romina Istvan
- Algebra matricial _________________________________________________
- Igualdad __________________________________________________
- Suma de matrices ___________________________________________
- Propiedades de la suma de matrices ____________________________
- Producto de una matriz por un escalar ___________________________
- Propiedades del producto de una matriz por un escalar _____________
- Producto ente matrices _______________________________________
- Propiedades del producto entre matrices _________________________
- Matrices particulares ________________________________________
- Algebra matricial _________________________________________________
- Introducción de la teoría de grafos ________________________________________
- Teoría de grafos _________________________________________________
- Definiciones ____________________________________________________
- Subconjuntos de un grafo _____________________________________
- Grado de un vértice ______________________________________________
- Modelización mediante grafos ______________________________________
- Red valorada ______________________________________________
- Redes de comunicación ______________________________________
- Relación de comunicación en dos etapas ________________________
- Aplicación de matrices y grafos en el diseño arquitectónico_____________________
- Aplicación de matrices y grafos al problema del camino crítico __________________
- Administración de proyectos por análisis de redes ____________________________
- Metodología de gestión de proyectos _________________________________
- Etapa de planificación_____________________________________________
- Herramientas de software para administración de proyectos ____________________
- Bibliografía __________________________________________________________
- Webgrafía ___________________________________________________________
- Matrices ____________________________________________________________ Romina Istvan
- Capítulo
- Vectores _________________________________________________________________
- Magnitudes escalares y vectoriales _______________________________________ Viviana Cappello
- Clasificación de lps vectores _____________________________________________
- Igualdad entre magnitudes vectoriales _____________________________________
- Suma geométrica de vectores ___________________________________________
- Propiedades de la suma ___________________________________________
- Producto de un vector por un escalar (por un número) ________________________
- Vectores en coordenadas ______________________________________________
- Generalización a 3 dimensiones __________________________________________
- Producto escalar _____________________________________________________
- Condición de paralelismo entre vectores ______________________________
- Condición de perpendicularidad entre vectores _________________________
- Ángulo entre vectores _____________________________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Bibliografía __________________________________________________________
- Capítulo
- Recta y Plano _____________________________________________________________
- Recta en el plano _____________________________________________________ Miguel Curell
- Ecuación vectorial de la recta _______________________________________
- Ecuación general de la recta _______________________________________
- Ecuación explícita de la recta _______________________________________
- Ecuación segmentaria o canónica de la recta __________________________
- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos __________________________
- Ángulo entre dos rectas ___________________________________________
- Intersección entre rectas __________________________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Plano _______________________________________________________________
- Ecuación del plano _______________________________________________
- Representación de planos _________________________________________
- Planos coordenados _________________________________________
- Planos paralelos a los planos coordenados _______________________
- Plano que pasa por el origen __________________________________
- Plano que pasa por tres puntos ________________________________
- Trazas de un plano _______________________________________________
- Posiciones particulares del plano ____________________________________
- Ángulo entre planos ______________________________________________
- Condición de paralelismo _____________________________________
- Condición de perpendicularidad ________________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Bibliografía __________________________________________________________
- Recta en el plano _____________________________________________________ Miguel Curell
- Capítulo
- Cónicas y Cuádricas _______________________________________________________
- Superficie cónica______________________________________________________ Carlos Chong
- Circunferencia ________________________________________________________
- Ecuación ______________________________________________________
- Posiciones particulares ____________________________________________
- Intersecciones ________________________________________________________
- Intersección de una circunferencia y una recta _________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Parábola ____________________________________________________________
- Posiciones particulares ____________________________________________
- Ecuaciones de la parábola de vértice desplazado _______________________
- Actividades __________________________________________________________
- Elipse ______________________________________________________________
- Ecuación _______________________________________________________
- Excentricidad ___________________________________________________
- Posiciones particulares de la elipse __________________________________
- Ecuación de la elipse con centro desplazado ___________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Hipérbola____________________________________________________________
- Ecuación _______________________________________________________
- Asíntotas de la hipérbola __________________________________________
- Posiciones particulares de la hipérbola _______________________________
- Hipébola equilátera ____________________________________________________
- Ecuación de la hipérbola con centro desplazado ________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Superficies __________________________________________________________
- Cilindros ____________________________________________________________
- Superficie Esférica o esfera _____________________________________________
- Elipsoide ____________________________________________________________
- Hiperboloide de 1 hoja _________________________________________________
- Hiperboloide de 2 hojas ________________________________________________
- Paraboloide elíptico ___________________________________________________
- Paraboloide hiperbólico ________________________________________________
- Cono _______________________________________________________________
- Actividades __________________________________________________________
- Bibliografía __________________________________________________________
- Capítulo
- Cálculo Diferencial _________________________________________________________
- Límite y Derivada _____________________________________________________ Stella Maris Arrarás y Viviana Beatriz Cappello
- Estudio de límites en forma gráfica _______________________________________
- Continuidad _________________________________________________________
- Actividad ___________________________________________________________
- Enunciados de teoremas sobre el cálculo de límites _________________________
- Cálculo de límites _______________________________________________
- Actividad ___________________________________________________________
- Incrementos ________________________________________________________
- Definición de derivada ________________________________________________
- Interpretación geométrica ______________________________________________
- Reglas de derivación _________________________________________________
- Derivada de la función constante ___________________________________
- Derivada de la función identidad ___________________________________
- Derivada la de suma y/o diferencia de funciones _______________________
- Fómula para derivar productos y cocientes de funciones _________________
- Tabla de derivada ____________________________________________________
- Actividad ___________________________________________________________
- Aplicaciones de la derivada ____________________________________________
- Interpretación geométrica _________________________________________
- Puntos críticos ______________________________________________________
- Máximos y Mínimos relativos ___________________________________________
- Estudio de la concavidad ______________________________________________
- Técnica para realizar el estudio completo de una función ________________
- Actividades _________________________________________________________
- Problema de aplicación________________________________________________
- Actividades _________________________________________________________
- Diferenciales ________________________________________________________
- Actividades _________________________________________________________
- Bibliografía _________________________________________________________
- Capítulo
- Cálculo Integral ___________________________________________________________
- Integral indefinida ____________________________________________________ Stella Maris Arrarás y Viviana Beatriz Cappello
- Teorema fundamental del Cálculo Integral _________________________________
- Tabla de integrales ___________________________________________________
- Actividades _________________________________________________________
- Integral definida _____________________________________________________
- Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas planas ______________
- Regla de Barrow ________________________________________________
- Actividad ___________________________________________________________
- Cálculo de áreas por integración definida __________________________________
- Actividades _________________________________________________________
- Bibliografía _________________________________________________________
- Los autores _____________________________________________________________
FACULTAD DE A RQUITECTURA Y URBANISMO | UNLP 11
CAPÍTULO 6
Matrices y Grafos
Romina Istvan
Matrices
Una matriz puede definirse como un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. De esta manera, podemos organizarlos en tablas de una o más entradas, donde los elementos están ordenados por uno o más subíndices. La forma de denotarla es mediante una letra mayúscula. Cada elemento se representa con la misma letra en minúscula y con dos subíndices: el primero es el número de orden de la fila contando desde arriba hacia abajo y el segundo es el número de orden de la columna, contan- do de izquierda hacia derecha. En el ejemplo siguiente se visualiza la matriz A; de mxn elementos, donde m es la cantidad de filas y n la cantidad de columnas que posee.
m m^ mn
ij
n
n A
a a a
a
a a
a a a
En notación abreviada podemos escribir: A = (a (^) ij ) donde i = 1,2,3,...m y j = 1,2,3....n Con esta notación el elemento a 23 está ubicado en la segunda fila y tercera columna. Cuando el número de filas es distinto del número de columnas, decimos que se trata de una matriz rectangular. Cuando ambos números coinciden hablamos de matrices cuadradas.
Veamos cómo construir una matriz cuadrada de orden dos para la cual a (^) ij = 2i - j. Cada elemento de la matriz se obtiene de la siguiente manera: a 11 = 2(1) - 1 = 1 a 12 = 2(1) - 2 = 0 a 21 = 2(2) - 1 = 3 a 22 = 2(2) - 2 = 2
resultando: (^)
A^10
M ATEMÁTICA APLICADA A LA ARQUITECTURA. P ARTE 2 – S. M. A RRARÁS Y V. B. CAPPELLO (COORDINADORAS )
FACULTAD DE A RQUITECTURA Y URBANISMO | UNLP 13
Suma de matrices Si tenemos en cuenta que las filas o las columnas de una matriz pueden considerarse como vectores fila o como vectores columna, la operatoria entre matrices debe ser equivalente a las reglas de operación entre vectores. Y dado que, los vectores se suman elemento a elemento correspondiente, definimos en forma análoga la suma entre dos matrices con el agregado de que, para que dos matrices resulten sumables deben ser del mismo orden. La suma entre ma- trices de distinta dimensión no está definida. Dadas entonces las matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) ambas de orden mxn, la suma resulta ser una matriz C = (c (^) ij) de la misma dimensión de los sumandos y elementos se obtienen haciendo la suma de los elementos correspondientes de las matrices dadas: Amxn + Bmxn = C mxn ; con (cij ) = (a ij) + (b ij)
Consideremos el siguiente ejemplo. Dadas las matrices A = (aij) y B = (bij) ambas de orden mxn:
^
A^2 13 B
La suma de A + B resulta ser una matriz C, con los siguientes elementos:
C A B^424
Propiedades de la suma de matrices Como la operatoria entre matrices fue definida de manera análoga a la operatoria entre vec- tores, las propiedades de la suma entre matrices resultan idénticas a las propiedades de la suma entre vectores:
1) La suma entre matrices es una ley externa o abierta: se suman elementos pertenecientes a
un determinado conjunto y el resultado es un elemento del mismo conjunto.
2) Vale la propiedad conmutativa: A + B = B + A
3) Vale la propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
4) Existe en el conjunto un elemento neutro: (la matriz nula) A + N = A
5) Existe para cada elemento su inverso aditivo: A + (- A) = N (la suma de una matriz y su
opuesto aditivo, da como resultado el elemento neutro en la operación).
Producto de una matriz por un escalar La operación tiene las mismas características que el producto de un vector por un escalar: todos los elementos de la matriz quedan multiplicados por el escalar y se conserva la dimen- sión de la matriz. Veamos su demostración:
M ATEMÁTICA APLICADA A LA ARQUITECTURA. P ARTE 2 – S. M. A RRARÁS Y V. B. CAPPELLO (COORDINADORAS )
FACULTAD DE A RQUITECTURA Y URBANISMO | UNLP 14
Sea la matriz: (^)
21 22
11 12 a a A a a y el escalar = 2,
si realizamos la operación: A = A + A:
21 22
11 12 21 22
11 12 21 22
11 12 21 22
11 12 2 2
a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a
Propiedades del Producto de una matriz por un escalar
1) Es una ley externa o abierta. Se multiplican elementos que pertenecen a conjuntos distin-
tos y el resultado se da en uno de ellos: el conjunto de las matrices del mismo orden de la matriz factor del producto.
2) Vale la propiedad asociativa: α (β A) = (α β) A
3) Es válida la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares: (α + β) A = α A +βA
4) Es válida la propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: α (A+B) = α A + α B
5) Existe el elemento neutro para la operación; el escalar 1: 1 A = A
Veamos cómo hallar los valores de x, y, z y w que satisfacen:
^
z w
x y w
x z w
x y
Para ello, procedemos a realizar la multiplicación por un escalar y la suma de matrices en cada término:
z w w
x x y z w
x y
Si aplicamos luego la igualdad de matrices, la igualación de sus elementos da origen al si- guiente sistema de ecuaciones lineales:
La solución es entonces el conjunto: { x = 2 ; y = 7; z = 3; w = 4 }
Producto entre Matrices Es una operación cuyo resultado, si existe, depende del orden en que se coloquen los facto- res y sólo es posible cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Comencemos por tratar de multiplicar una matriz fila A 1xn por una matriz B mx1 , con m=n:
2x = x+ 2y = 5+ x+ y 2z = ‐1+ z+ w 2w = w+ 4
x = 2 y = x+ 5 => y = 2+ 5 = 7 z = w ‐ 1 => z = 4 ‐ 1 = 3 w = 4
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A = ; B = ; C =
En la intersección de la fila 1 de la matriz A con la columna 1 de la matriz B se encuentra el elemento c 11 cuya expresión se obtiene haciendo el producto escalar: c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 ; con análogo razonamiento: c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b (^32)
Propiedades del Producto entre Matrices
En general, el producto entre matrices no es conmutativo: A B B A
1) Si, como caso particular A B = B A se dice que las dos matrices son permutables.
2) Si A B = - B A, las matrices se dicen anticonmutativas.
3) Es válida la propiedad asociativa A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C
4) Es válida la propiedad distributiva a izquierda : (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
5) Es válida la propiedad distributiva a derecha : A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
6) Existe un elemento neutro (la matriz identidad) I ∙ A = A
7) El producto de dos matrices no nulas puede ser una matriz nula; en efecto:
Matrices Particulares a) Matriz Diagonal: Se denomina así a una matriz cuadrada tal que, los elementos ubicados fuera de la diagonal principal son todos nulos. Ejemplo:
b) Matriz Escalar: Es una matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos ubicados sobre la diagonal principal. Ejemplo:
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c) Matriz Identidad: Es una matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a la unidad. Ejemplo:
d) Matriz Traspuesta: Dada una matriz A, recibe el nombre de matriz traspuesta de A, At^ la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente filas por columnas (fila 1 por columna 1, etc.). No es necesario que la matriz sea cuadrada. Ejemplo:
Introducción a la Teoría de Grafos
La Teoría de Grafos es una rama de la Geometría Topológica, la cual es una parte de la Ma- temática que estudia la interrelación de los elementos que forman un conjunto. Muchos autores coinciden en señalar al matemático suizo Leonhard Euler como uno de los padres de la Topolo- gía ya que, al analizar en 1736 el famoso “Problema de los Puentes de Königsberg” y dar como solución la “no solución del problema”, revoluciona el pensamiento matemático de su época. El problema plantea la siguiente situación. La isla Kueiphof en Konigsberg (Pomerania) está rodeada por un río que se divide en dos brazos, sobre ellos están construidos siete puentes. Resulta interesante para los habitantes descubrir un itinerario, de modo que sea posible regre- sar al punto de inicio, después de haber cruzado por los siete puentes, pasando sólo una vez por cada uno de ellos.
Fuente: Euler, L. (1735). Publicación original. Solution problematis and geometriam situs pertinentis. St. Petersburg Academy.
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Jordan, en 1869 estudia estructuras de árbol en forma abstracta.
En 1852 Francis Guthrie plantea el problema de los cuatro colores en el que se trata de averiguar si utilizando sólo cuatro colores se puede colorear cualquier mapa, de manera que dos países vecinos nunca coincidan en color. Este problema no se re- suelve hasta un siglo más tarde. Fuente de la imagen: Octubre 2017. La Rambla de les Matemàtiques. Grafs, mapes i colors.
Con este nuevo enfoque, la Matemática descubre una nueva faceta que dota de libertad a sus teorías. Desde aquel momento, la solución a ciertos problemas no depende de la forma exacta de los objetos involucrados, sino de la manera en la que los elementos estudiados se relacionan entre sí. Es por eso que en el trazado no tiene importancia ni la forma, ni la longitud de las líneas que unen los puntos, ni las ubicaciones relativas de los mismos; sólo interesa visualizar las cone- xiones establecidas entre ellos. Así, la Teoría de Grafos comienza a dar resultados importantes en distintos campos de la actividad del hombre y aplicada a problemas diversos, demuestra importantes ventajas sobre algunos procedimientos analíticos. Veamos un poco de su teoría.
Teoría de Grafos
Un grafo puede representarse mediante Diagramas de Venn, diagramas cartesianos, tablas de simple entrada o de doble entrada (matrices), pero la practicidad de la representación ha hecho prevalente la utilización del denominado diagrama sagital o simplemente, grafo:
De una manera más simple y conceptual, un grafo queda definido por un conjunto de elemen- tos vi pertenecientes a un conjunto V y una ley de correspondencia C entre dichos elementos. Así, por ejemplo, un Grafo V = {v 1 ,v 2 }, con una ley de correspondencia C se expresa: C(v 1 ) = (v 1 ,v 2 ) C(v 2 ) = (v 1 ,v 2 )
Los grafos pueden ser orientados o no. En los casos de ser orientado, se denomina Dígrafo. Por ejemplo:
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El conjunto de los vértices es V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 7 } y la ley de correspondencia: C(v 1 ) = {v 2 , v 3 , v 4 } C(v 2 ) = {v 4 , v 5 } C(v 3 ) = {v 4 , v 6 } C(v 4 ) = {v 5 , v 6 , v 7 } C(v 5 ) = {v 7 } C(v 6 ) = {v 7 } C(v 7 ) =
Observemos que aunque existe conexión entre v 4 y v 3 estando el arco orientado no se pue- de ir de v 4 a v3. Del mismo modo, el nodo v 7 está conectado con v 4 , v 5 y v 6 pero no se puede avanzar en contra de cada una de las flechas. Por esta razón a la ley de correspondencia de v 7 la designamos con un conjunto vacío.
Definiciones
Para un grafo resulta interesante definir:
Camino: conjunto de dos o más arcos. Circuito: camino cerrado. Bucle: camino de un solo arco. Longitud de un camino: es el número de arcos que lo componen.
En el grafo de la figura anterior pueden observarse varios caminos entre los nodos V 1 y V 4. Se listan a continuación algunos de ellos:
V
V2 V
V
V
V1 (^) V