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Una colección de ejercicios y problemas de matemáticas, abarcando temas como ecuaciones lineales y cuadráticas, sistemas de ecuaciones, geometría analítica y funciones. Incluye preguntas sobre álgebra, geometría y cálculo, con soluciones detalladas para cada problema. Es un recurso útil para estudiantes de bachillerato que buscan practicar y reforzar sus habilidades matemáticas, ofreciendo una variedad de problemas con diferentes niveles de dificultad y enfoques teóricos. Los ejercicios están diseñados para mejorar la comprensión de conceptos clave y la aplicación de técnicas de resolución de problemas. Además, se incluyen problemas de geometría que requieren el uso de propiedades geométricas y trigonometría para su solución. Ideal para la preparación de exámenes y la consolidación de conocimientos matemáticos.
Tipo: Apuntes
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Área de Matemáticas
GUÍA PARA EL EXAMEN DE CONOCIMIENTOS Y
HABILIDADES DISCIPLINARIAS Promoción XXXVIII
Matemáticas I-IV
- I. Presentación Pág. - A. Enfoque Disciplinario II. Enfoque de la materia - B. Enfoque Didáctico - C. Contribución del área de Matemáticas al perfil del egresado - D. Descripción de la estructura general del examen que implica entre otras cosas, que los conceptos, no podrán presentarse de manera formal
y acabada ya que los cursos se consideran un primer acercamiento a la materia.
Los contenidos de los cuatro cursos básicos, se retoman y sirven de sustento para nuevos conocimientos y deberán ser revisados de manera no sistemática en el contexto en que se
presenten, ampliándose de forma que consoliden el conocimiento. Los contenidos nuevos,
deberán abordarse en un nivel medio de complejidad considerando que no existe experiencia previa de los estudiantes en su manejo.
En los programas se plantea iniciar a los alumnos a partir de la intuición, dando pie a la
abstracción de los razonamientos y procedimientos de análisis, buscando destacar las ideas fundamentales y su manejo simbólico, para finalmente introducir el rigor, precisando
ideas y sistematizando métodos hasta el nivel de algoritmos.
En cuanto al aprendizaje de los alumnos, el énfasis se hace en el desarrollo de
significados, que permitan al estudiante una interpretación correcta de los conceptos. Ya que no sólo se gradúa la dificultad de los conceptos con que se trabaja, sino también las
etapas de maduración, formalización y la manipulación de los algoritmos y procedimientos.
La guía tiene como base los programas vigentes de Matemáticas I a IV. En ella, se incluyen conocimientos de los diferentes ejes que conforman el plan de estudios del Área de
Matemáticas: Álgebra, Geometría Euclidiana, Geometría Analítica, Trigonometría y
Funciones.
Esta guía está elaborada para que el aspirante a profesor del Colegio, la resuelva considerando el enfoque pedagógico de la resolución de problemas como una fuente
generadora de ideas conceptuales de la temática a abordar en los cursos; por ello, se espera que quienes presenten su examen de ingreso a la docencia, expresen, al resolver
los ejercicios y problemas propuestos, elementos generalizadores y comunique
claramente, en ambos lenguajes, español y matemático, las interpretaciones a los resultados correspondientes a las soluciones que encuentre.
A. Enfoque Disciplinario
La enseñanza de la matemática atiende los principios educativos del Colegio de Ciencias y Humanidades, para cumplirlos debe lograr habilidades del pensamiento que permitan a los estudiantes ser capaces de adquirir por sí mismos nuevos conocimientos, además analizar, interpretar y modificar el mundo que lo rodea. Por lo que en el CCH se concibe a la matemática como una disciplina que: Posee un carácter dual: de ciencia y herramienta. Como ciencia tiene un desarrollo que admite titubeos, conjeturas y aproximaciones, al igual que rigor, exactitud y formalidad, por ser el producto de una actividad humana que evoluciona, construye, organiza y sistematiza conocimientos, a partir de la necesidad de resolver problemas teóricos o prácticos. Como herramienta, constituye un poderoso instrumento que contribuye con técnicas, procedimientos, métodos y teorías para la obtención de conocimientos y sus aplicaciones en diversos campos del saber, tanto humanístico como científico y tecnológico.
Manifiesta una gran unidad. No obstante, la diversidad de ramas y especialidades en las que actualmente se divide, éstas se vinculan complementan o trabajan desde otro punto de vista a través de las otras partes que la integran.
Contiene un conjunto de simbologías propias, bien estructuradas, sujetas a reglas específicas (simbología numérica, geométrica, algebraica), que permiten establecer representaciones de distinto nivel de generalidad sobre características, propiedades, relaciones y comportamientos; aspectos que contribuyen a avanzar en su construcción como ciencia y a extender el potencial de sus aplicaciones.
Esta concepción tiene como consecuencia desechar la enseñanza de la matemática como un conjunto de conocimientos acabados y organizados según la estructura formal y tomar la posición de desarrollar en el alumno habilidades intelectuales que caracterizan la construcción de la misma.
B. Enfoque Didáctico.
La columna vertebral de la metodología didáctica es la resolución de problemas, que consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas para despertar el interés de los alumnos, y los inviten a reflexionar. La resolución de problemas promueve el trabajo grupal, el diálogo entre alumnos, entre el maestro y los alumnos y apoya la construcción de un vínculo entre iguales para fomentar el trabajo en equipo, la solidaridad entre compañeros y la aceptación de la corresponsabilidad en el proceso educativo, favoreciendo el desarrollo de habilidades del pensamiento que permitan al alumno el aprender a aprender y el aprender a hacer. Considerar la resolución de problemas como metodología didáctica no consiste simplemente en enfatizar esta actividad para dar “sentido” a una serie de conceptos y métodos que son previamente expuestos por el profesor, sino que éstos deben surgir, en el alumno, como necesidad en la etapa de comprensión de situaciones problemáticas o como generalización de la resolución y la solución de éstas.
Esta forma de proceder debe ser inducida primeramente con el planteamiento de estas
sugerencias y preguntas por parte del profesor, hasta que el alumno lo haga de manera independiente.
C. Contribución del Área de Matemáticas al perfil del egresado
El Área de Matemáticas, como uno de los pilares principales en la formación de los estudiantes, contribuye al perfil del egresado al formar a un alumno que esté preparado para:
Aplicar y adaptar una variedad de estrategias para resolver problemas. Generar conocimientos a través de la resolución de problemas. Utilizar su conocimiento matemático en la resolución de problemas en contextos que lo requieran. Utilizar diversas formas de razonamiento que le permita en el análisis de eventos, tomar decisiones y ser consciente de la incertidumbre o certidumbre de los resultados de éstas. Elaborar conjeturas, construir argumentos de forma oral y escrita para validar o refutar los de otros. Incorporar a su lenguaje y modos de sistematización y argumentación habituales, diversas formas de representación matemática (numérica, tabular, gráfica, geométrica y algebraica) para comunicar sus ideas y consolidar su pensamiento matemático. Utilizar las nuevas tecnologías para la búsqueda de información relevante y su sistematización. Utilizar las tecnologías digitales para favorecer la adquisición de conocimientos. Adquirir el hábito de la lectura y comprensión de textos científicos, tanto escolares como de divulgación. Valorar las aportaciones de las matemáticas en todos los campos del saber. Exponer y aplicar sus conocimientos matemáticos con seguridad en sí mismo.
R. La maestra tenía 98 dulces.
galgo da un salto, la liebre da tres. Si en este momento la liebre lleva una ventaja de ocho de sus saltos, ¿cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?
R. 8 saltos tiene que dar el galgo para alcanzar a la liebre, mientras que la liebre da 24.
suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0 ; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es el dígito de las centenas de su número secreto?
10. La suma de tres dígitos es 5. El primero y el último dígito son iguales. Si el dígito de las
el número original. ¿Cuál es el número original?
R. El número original es 212
11. El precio de cierta mercancía cambió durante cuatro períodos consecutivos, como se
indica:
primer período creció el 25 %. segundo período creció el 25 %. tercer período decreció el 25 %. cuarto período decreció el 25 %.
Determinar el cambio neto al cabo de los cuatro períodos, expresarlo en términos de un porcentaje aproximado a enteros.
2
4. Dibujar con regla y compás un triángulo cuyos ángulos sean de 900 , 750 y 150 , los lados de cualquier dimensión. 5. Dada una recta y un punto fuera de ella, trazar una recta que pase por el punto y forme con la primera recta un ángulo de 300.
hipotenusa y los ángulos agudos sean respectivamente de 300 y 600.
600 y 300 para el cual dicho segmento sea el cateto que se opone al ángulo de 600.
9. El diámetro de un círculo está dividido en una razón de ¾. Sobre cada diámetro se construyen dos semicírculos como muestra la figura. Establece la razón del área blanca respecto al área sombreada.
R. La razón del área blanca respecto al área sombreada es
10. Una pistola de señales es disparada verticalmente, la altura de la señal está dada por h = 51 t - 0.85 t^2 , en donde h es la altura de la señal, medida en metros, y t es el número de segundos que habrán transcurrido después del disparo. La luz de la señal aparece en el momento del disparo y la mantiene hasta que la señal regresa al suelo. Si la pistola es disparada verticalmente, la luz de la señal puede verse desde un puesto de observación solamente cuando su altura es de 425 metros o más.
a) ¿A los cuántos segundos alcanza la señal su altura máxima? b) ¿Cuál será la altura máxima que alcanza? c) ¿Cuánto tiempo será visible la señal desde el puesto de observación?
R. a) 30 segundos; b) 765 metros; c) 40 segundos
11. En el centro de un terreno cuadrado cuyos lados miden 20 metros, se quiere construir una caseta cuadrada. Además de la caseta, una parte del terreno se destinará a un patio y la otra a jardín, con la distribución que se muestra en la figura. Si en total se desean 224 m^2 de jardín, ¿cuáles serán las dimensiones del terreno que ocupará la caseta?
12. Suponiendo que en el problema anterior no se requiere que la caseta esté centrada y se mantengan las demás condiciones, el ancho del patio depende del lado del terreno de la caseta: a) Expresar y en función de x. b) Calcular los ceros de la función. c) Establecer los valores de x aplicables al terreno. d) Obtener el valor máximo que puede tener y.
R. a)^2
13. Sea x la distancia entre un vértice del cuadrado y el vértice del triángulo equilátero que se muestran en la figura; p es la magnitud del lado del cuadrado. Obtener el valor de p en términos de x.
Determina la medida del ángulo x.
x
p
20 m. mtsmts.
20 m.
x
19. En la figura:
Demostrar que el perímetro del triángulo
20. Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q respectivamente. El segmento PQ mide 3 centímetros. Por uno de los puntos “O” donde se cortan las circunferencias, trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?
R. ̅̅̅̅̅ = 6
Determinar el área del rectángulo inscrito en el triángulo, si se sabe que su lado sobre la hipotenusa del triángulo mide 3 unidades.
R. El área del rectángulo inscrito en el triángulo es
u^2
segmentos perpendiculares tangentes a la circunferencia de radio 1.
L es punto de tangencia entre la
Demostrar que el perímetro del triángulo PLK se puede expresar como:
23. Pedro y Luis copiaron una ecuación de la forma del pizarrón. Pedro copio mal el coeficiente b y obtuvo como soluciones 2 y 4. Luis copió mal el coeficiente c y
obtuvo como soluciones 5 y 4. ¿Cuáles eran las soluciones de la ecuación original?
R. 8 y 1
24. Un círculo de 8 centímetros de radio está inscrito en un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es igual a 40 centímetros. Determinar los catetos de este triángulo.
R. Los catetos de este triángulo miden 24 y 32 centímetros
cuadrado más pequeño mide 3 cm y cada lado del cuadrado más grande mide 6 cm , ¿qué parte del cuadrado mayor es el área sombreada?
R. Un tercio
26. La longitud del rectángulo ABCD es 8 u y su anchura 3 u. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?
R. 4 u^2
circunferencia desde un punto exterior C. Cada tangente toca a la circunferencia en los puntos D y E respectivamente. Una tercera tangente
tangente toca a la circunferencia en el
perímetro del triángulo CFG
R. El perímetro del triángulo CFG es de 40 cm.
32. Dibujar un triángulo ABC y trazar las
¿Qué parte es el área del triángulo FGE del área del triángulo ABC?
R. Es la doceava parte
33. En el paralelogramo ABCD , E es el punto medio
a) ¿Qué parte es el área del triángulo DFE del área del paralelogramo ABCD? b) ¿Qué parte es el área del triángulo DFE del área del cuadrilátero ABEF?
R. a) La doceava parte; b) La quinta parte
34. Sí^33
G
F
E D
A (^) B
C
35. La suma de los perímetros de dos círculos es 16 , y la diferencia de sus áreas es 32 ,
¿Cuánto miden sus radios?
R. Los radios de los círculos miden 6 y 2 unidades.
36. La siguiente tabla muestra algunos valores del peso promedio de recién nacidos
Edad (meses) 1 3 6 8
Peso (Kg) 3.600 5.450 7.200 7.
a) Aproximar los datos mediante una función cuadrática, esto es, sustituir los valores de la tabla en la ecuación f ( x ) = a + b x + cx^2 , escribir las tres ecuaciones que resultan. b) Resolver el sistema y estimar el peso de un bebé de acuerdo al modelo, a los nueve meses.
a)
b)
c) Al resolver el sistema, se tiene que: a = 2.47 ; b = 1.1983 ; c = −0.0683. El peso aproximado de un bebé a los nueve meses es de 7.72 Kg.
37. Si f(x) = ax2+ b x + c, determinar los valores de a, b y c para que la gráfica de f pase por
los puntos: (1,1), (11,2) y (5,1)
edad
peso