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Soluciones a problemas relacionados con la ingeniería que involucran magnitudes proporcionales, porcentajes, descuentos y operaciones con polinomios. Se abordan temas como magnitudes proporcionales directas y inversas, regla de tres simple y compuesta, porcentajes, descuentos y aumentos sucesivos, y operaciones con polinomios. El documento incluye ejemplos y ejercicios resueltos para ayudar a comprender los conceptos.
Tipo: Apuntes
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A MAYOR PRECIO (P) MENOR CANTIDAD DEMANDADA (Q) A MAYOR PRECIO (P) MAYOR CANTIDAD OFERTADA (Q) Observamos y respondemos
Según lo que hemos visto: La podemos leer como: "A es proporcional a B" o "A y B son directamente proporcionales"
También: La podemos leer como: "A es inversamente proporcional a B" o "A y B son inversamente proporcionales"
Ejercicio 1 Solución Respuesta: "A" es I.P. a y cuando A = 6; B = 4. ¿Cuánto valdrá "A", cuando B = 9? Según la información: A es I.P. a se plantea: (^) A × √ B = k Luego: A = 4
Ejercicio 2 Solución Respuesta: x = 160 "x" varía en razón directa a "y" e inversa al cuadrado de "z". Cuando: x = 10, entonces y = 4, z = 14. Hallar "x", cuando: y = 16; z = 7. De acuerdo a la información se plantea:
2
Reemplazando: 10 × 14 2 4 = x × 7 2 16 Resolviendo: (^) x = 160
Solución Respuesta: Su sueldo era $ 1600 El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su eficiencia, la cual se mide en puntos, y a sus años de servicio e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad. Un empleado de 25 años, con 4 años de servicio tiene 80 puntos de eficiencia, 11 años más tarde tiene 60 puntos de eficiencia y su sueldo era $ 2 150 más. ¿Cuál era su sueldo a los 25 años? Ejercicio 4 Definimos las variables:
Sueldo de un empleado : S Eficiencia : F A ñ os de servicio. A Edad : E Según el enunciado:
S D. P. F S D. P. A S I. P. (^) √ E = k Planteamos: Reemplazamos: 𝑆 × √ 25 80 × 4
( 𝑆 + 2150 ) (^) √ 36 60 × 15 Resolviendo: S^ =^1600
Respuesta: a + c = 41 Solución Ejercicio 5 Del gráfico, calcule "a + c" X
Se observa que para Luego: 12 a = 15 20 Resolviendo: a =^16 Se observa que para Luego: 15 ×^20 =^12 ×c Resolviendo: c =^25
N° manzanas Precio 8 24 15 x Es una aplicación de las magnitudes proporcionales donde al comparar dos o más se obtiene un valor desconocido. Se obtiene al comparar dos magnitudes directas o inversamente proporcionales. a) Regla de tres simple directa Ejemplo: Si 8 manzanas cuestan S/ 24. ¿Cuánto costarán 15 manzanas? Resolución:
REGLA DE TRES SIMPLE
b) Regla de tres simple inversa Ejemplo: Si 10 obreros hacen una obra en 36 días. ¿En cuántos días harán dicha obra 12 obreros? Resolución: N° obreros N° días 10 36
Ejercicio 1 Solución Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de largo puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la cuerda fuese de 15 m? Respuesta: Demoraría 8 días Área D.P. días 2 x De acuerdo a la información, se deduce que la cantidad de hierba que el buey puede comer es lo que se encuentra alrededor del poste de donde esta atado, describiendo un círculo cuya área es Luego: Resolviendo la regla de res simple directa, encontramos que x = 8
Ejercicio 2 Solución Respuesta: “A” demoraría 16 días. "A" es 25% más eficiente que "B". Si "B" puede hacer una obra en 20 días, ¿en cuántos días podrá hacer "A" la obra? Considerando que la eficiencia de “B” es 100% Eficiencia I.P. días B: 100% 20 A: 125% x Resolviendo la regla de tres simple inversa 100 × 20 = 125 × 𝑥 Planteamos: 𝑥 = 16
Ejercicio 4 Solución Respuesta: La obra se entregó con 12 – 8 = 4 días de retraso. Seis obreros se comprometen a construir un muro en 15 días. Luego de 7 días, dos de ellos dejan de trabajar. ¿Con cuántos días de retraso se entregó la obra? El muro se iba a construir en 15 días. Si trabajaron 7 días entonces le faltaron 8 días y además se retiran dos, luego quedan cuatro, es decir: Número de obreros I.P. días 6 8 4 x Resolviendo la regla de tres simple inversa 6 × 8 = 4 × 𝑥 Planteamos: 𝑥 = 1 2
Ejercicio 5 Solución Respuesta: Habrá que agregar 3 mujeres. Con 8 hombres o 20 mujeres se puede hacer una obra en 18 días. ¿Cuántas mujeres habrá que agregar a dos hombres, para hacer dicha obra en 45 días? Cuando nos dicen que 8 hombres o 20 mujeres hacen una obra quiere decir que son equivalentes desde el punto de vista de la eficiencia: número de mujeres I.P. días 20 mujeres 18 2 hombres +x mujeres 45 2 0 × 18 =( 5 + 𝑥 ) × 45 8 hombres = 20 mujeres 𝑥 = 3 Planteamos la regla de tres simple inversa: 2 hombres = 5 mujeres → 5 mujeres
