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Departamento de Matem´atica Aplicada a la I.T. de Telecomunicaci´on
ASIGNATURA: C´alculo I CONVOCATORIA: PRUEBA GLOBAL COM UN JUNIO 2011/2012´ FECHA: 1 de junio de 2012 Duraci´on del examen: 2 horas 30 minutos Fecha publicaci´on notas: 8 de junio de 2012 Fecha revisi´on examen: 12 de junio de 2012
TODOS LOS PROBLEMAS TIENEN LA MISMA PUNTUACI ´ON
- Sea f (x) la funci´on: f (x) =
x^3
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt, f (0) = k
a) Determina k de forma que f sea continua. b) Estudia si es derivable en el origen y calcula la derivada de f , ∀x ∈ R. c) Demuestra que se cumple para f la ecuaci´on diferencial: xf ′(x) + 3f (x) = sen x
y calcula su soluci´on general. SOLUCI ´ON a) f es continua ∀x 6 = 0 por ser cociente de dos funciones continuas. Para que sea continua en x = 0, debe cumplir:
xl´ım→ 0 f^ (x) =^ f^ (0) =^ k^ = l´ xım→ 0
x^3
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt = l´ xım→ 0
x^2 sen x 3 x^2 = l´ xım→ 0
sen x 3 = 0 luego f es continua ∀x ∈ R si k = 0. b) La funci´on f es derivable en x = 0, si existe
l´ım h→ 0
f (0 + h) − f (0) h
= l´ım h→ 0
f (h) h
= l´ım h→ 0
h^4
∫ (^) h
0
t^2 sen t dt =
hl´ım→ 0
h^2 sen h 4 h^3 = l´ hım→ 0
sen h 4 h =
luego es derivable en el origen y f ′(0) =^14. Si x 6 = 0
f ′(x) = 1 x^3
x^2 sen x − 3 x^4
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt =^1 x
sen x − 3 x^4
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt
c) En efecto:
xf ′(x) + f (x) = x
x sen^ x^ −^
x^4
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt
x^3
∫ (^) x
0
t^2 sen t dt = sen x
A continuaci´on se resuelve la ecuaci´on xf ′(x) + 3f (x) = sen x Por ser lineal ensayamos la soluci´on f (x) = u(x)v(x), f ′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x). Sustituyendo en la ecuaci´on:
x(u′(x)v(x) + u(x)v′(x)) + 3u(x)v(x) = sen x
xu′(x)v(x) + u(x)
xv′(x) + 3v(x)
= sen x
Hacemos xv′(x) + 3v(x) = 0 ⇒ v
′(x) v(x) =^ −^
x ⇒^ v(x) =^
x^3. Por otra parte xu′(x)v(x) = u′(x)
x^2 = sen^ x^ ⇒^ u
′(x) = x (^2) sen x. Integrando u(x) = (2 − x^2 ) cos x + 2x sen x + C. Entonces la soluci´on general de la ecuaci´on es:
f (x) = u(x)v(x) = (^1 x^3
((2 − x^2 ) cos x + 2x sen x + C)
- a) Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∑^ ∞
n=
( √−3)nxn n + 1 b) Desarrolla en serie de Fourier la funci´on:
f (x) =
− 1 −π < x < − π 2 1 − π 2 < x < π 2 − 1 π 2 < x < π peri´odica de per´ıodo 2π. ¿Cu´al es el valor hacia el que converge la serie anterior si x = kπ con k entero?, ¿y si x = (2k + 1) π 2
con k entero?
SOLUCI ´ON a) Estudiamos la serie en valor absoluto para cada valor de x y aplicando el criterio del cociente.
nl´→∞ım
√n+1xn+ n+
√ nxn n+
= l´ n→∞ım 3 |x|
n + 1 √ n + 2
= 3|x| < 1 ⇒ |x| <
Por tanto la serie es absolutamente convergente para todo x ∈ (− 13 , 13 ), divergente si x /∈ [− 13 , 13 ]) y no sabemos de momento lo que ocurre en los extremos.
Si x = 13 tenemos la serie
∑^ ∞
n=
√^ (−1)n n + 1
que es alternada y verifica el crite-
rio de Leibniz ya que la sucesi´on de termino general √n^1 +1 es decreciente y
nl´→∞ım
√^1
n + 1
Si x = − 13 tenemos la serie
∑^ ∞
n=
√^1
n + 1
que es divergente, basta compararla con
la serie
∑^ ∞
n=
√^1
n
divergente, pues su termino general es de la forma 1 nk^
con k < 1.
Por tanto el intervalo de convergencia es (− 13 , 13 ] b) La funci´on f (x) es par, ya que f (−x) = f (x) por tanto bn = 0
a 0 =^2 π
∫ (^) π
0
f (x)dx =^2 π
(∫ (^) π/ 2
0
1 dx +
∫ (^) π
π/ 2
− 1 dx
an =
π
∫ (^) π
0
f (x) cos nx dx =
π
(∫ (^) π/ 2
0
cos nx dx +
∫ (^) π
π/ 2
− cos nx dx
b) Como f (x) =
∑^ ∞
n=
xn (n + 2)! =
∑^ ∞
n=
f n)(0) n! x
n, tenemos:
f n)(0) n! =^
(n + 2)! ⇒^ f^
n)(0) = n! (n + 2)! =^
(n + 1)(n + 2)
c) Por el apartado a) f ′(x) =
∑^ ∞
n=
(n + 1)xn (n + 3)!
por tanto para x=-1 tenemos:
f ′(−1) =
∑^ ∞
n=
(n + 1)(−1)n (n + 3)!
= 3e−^1 − 1
ya que f ′(x) =
ex(x − 2) + x + 2 x^3
