¡Descarga Matemáticas 2º bachillerato y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!
Unidad 2. Determinantes BACHILLERATO Matemáticas II
Resuelve
Página 63
Determinantes de orden 2
■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes:
a)
x y x y
d)
x y x y
a) (^32) x x^ – +^3 yy^ == 2954
- 1 = –11 ≠ 0^ Solución:^ x^ = 4,^ y^ = 7
b)
x y x y
= 0 Solución: x = 58 + 53 λ, y = λ
c)
x y x y
2 = 3 ≠ 0^ Solución:^ x^ = 5,^ y^ = –
d) (^) –^96 xx^^ +– 64 yy^ == 11 74
= 0 Sistema incompatible
e)
x y x y
20 = 0^ Solución: x^ =^3
f )
x y x y
- 7 = –109 ≠ 0^ Solución:^ x^ =^109
1 402 (^) , y = 109
Matemáticas II
1 Determinantes de orden dos
Página 64
1 Siendo A una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Para que | A | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0. b) Si los dos elementos de la segunda columna de A son 0, entonces | A | = 0. c) Si las dos filas de A coinciden, entonces | A | = 0.
d) Si
a c
b d = –15, entonces^
c a
d b = 15.
e) Si
m n
7 = 43, entonces^
m n
a) Falso, 11 00 = 0
b) Verdadero, porque en los dos sumandos del determinante aparece algún elemento de la segunda fila.
c) Verdadero, A =
a a
a a
11 11
12 12
f p (^) → | A | = a 11 a 12 – a 11 a 12 = 0
d) Verdadero, ( ) ( )
c a
d b cb^ ad^ ad^ cb^
a c
b = – = – – = – (^) d = – – 15 = 15
e) Verdadero, ( ) ·
m n m^ n^ m^ n^
m n
70 70 30 10 7^3
2 Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:
a)
2 b)^
- 2 c)^
d) 77 – –^22 e) 213 1177 f ) –^14060 –^73
a)
b)
c) 111 00 = 0, porque tiene una columna de ceros.
d)
- = 0, porque tiene sus dos filas iguales.
e)
77 = 0, porque sus filas son proporcionales: (1.ª) · 7 = (2.ª)
f ) –^14060 –^73 = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2.ª) · (–20) = (1.ª)
Matemáticas II
2 Determinantes de orden tres
Página 65
1 Calcula los siguientes determinantes:
a)
b)
a)
= – 114 b)
2 Halla el valor de estos determinantes:
a)
b)
a)
= b)
Página 67
3 Dados los determinantes
A =
B =
C =
justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) A = 0 porque su tercera columna es suma de las dos primeras. b) B = 0 porque su tercera columna es diferencia de las dos primeras. c) C = 0 porque su tercera columna es producto de las dos primeras. a) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. b) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. c) Falso, porque el producto de dos líneas no es una combinación lineal de ellas.
4 Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:
a)
= b)
= c)
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2). b) La 3.ª^ fila es proporcional a la 1.ª: (3.ª) = (–2) · (1.ª) (propiedad 6) c) La 3.ª^ fila es combinación lineal de las dos primeras: (3.ª) = (1.ª) + 10 · (2.ª) (propiedad 9)
Matemáticas II
5 Sabiendo que
x y z 5 1
= 1 , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:
a)
3 x y z 5 1
b) /
5 x y z 1 1
c)
x x x
y y y
z z z
a)
3 x y z x y z 5 1
b) /
5 x y z 1 1
x y z 5 1
c)
x x x
y y y
z z z
x y z 5 1
Matemáticas II
c)
En cada fila y en cada columna solo hay un elemento distinto de cero. Por tanto, de los 4! = 24 su- mandos solo uno de ellos es distinto de cero (pues en los restantes hay algún factor 0): 4 · (–3) · 8 · 1 = – Vemos qué signo le corresponde. Se trata del producto a 11 · a 24 · a 32 · a 43. Los índices de las columnas son (1, 4, 2, 3), que es una permutación de (1, 2, 3, 4). Al contar sus inversiones, vemos que 4 está en inversión con 2 y 3. En total hay 2 inversiones, par. Le corresponde signo +, es decir, mantiene el mismo valor. 4 0 0 0
d)
El único sumando que no tiene ningún cero es: a 11 · a 22 · a 33 · a 44 = – Los índices de las columnas son (1, 2, 3, 4), que tiene 0 inversiones, luego: 1 4 7 3
e)
= 0, porque la primera fila es el doble de la cuarta.
4 Justifica que la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3 se ajusta a la definición general de determinante. Sí, porque: — En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna. — Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna. — La mitad de los sumandos tienen signo +, y la otra mitad signo –. Comprobamos que los signos corresponden a la paridad de la permutación: a 11 · a 22 · a 33 par: signo + a 12 · a 23 · a 31 par: signo + a 13 · a 21 · a 32 par: signo + a 13 · a 22 · a 31 impar: signo – a 12 · a 21 · a 33 impar: signo – a 11 · a 23 · a 32 impar: signo –
Matemáticas II
4 Menor complementario y adjunto
Página 70
1 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz M****.
M =
f p
Menores de orden dos; por ejemplo:
M =
f p ,
Menores de orden tres; por ejemplo:
M =
f p ,
2 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a 12 , a 33 y a 43.
A =
f p
α 12 =
= –2; A 12 = (–1)(1 + 2)^ · α 12 = –1 · (–2) = 2
α 33 =
- = 108; A 33 = (–1)(3 + 3)^ · α 33 = 1 · 108 = 108
α 43 =
- = 16; A 43 = (–1)(4 + 3)^ · α 43 = –1 · 16 = –
Matemáticas II
2 Dada esta matriz:
3 5 9
f p
a) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 1.ª^ fila por el correspondiente adjunto de la 3.ª^ fila. b) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 3.ª^ columna por el adjunto de los corres- pondientes elementos de la 2.ª^ columna. c) Justifica por qué los dos resultados anteriores son cero.
a) a 11 · A 31 + a 12 · A 32 + a 13 · A 33 = 3 ·
b) a 13 · A 12 + a 23 · A 22 + a 33 · A 32 = –1 · (–1) ·
c) Por la propiedad 12.
3 Calcula los siguientes determinantes:
a)
b)
c)
d)
a)
(1) Desarrollando por la 2.a^ columna.
b)
(1) Desarrollando por la 4.a^ fila. También podríamos haber observado que la 4.a^ columna es igual a la suma de las otras tres; y, por tanto, el determinante vale cero.
c)
(1) Desarrollando por la 1.a^ fila.
d)
(1) Desarrollando por la 4.a^ columna.
Matemáticas II
6 Método para calcular determinantes de orden cualquiera
Página 73
1 Calcula los siguientes determinantes:
a)
- b)
c)
d)
a)
columnas (1.ª) – 3 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) – 4 · (2.ª) (4.ª)
(1) Desarrollando por la 4.ª^ fila.
b)
columnas (1.ª) – 5 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) – 6 · (2.ª)
(1)
(1) Desarrollando por la 4.ª^ fila.
c)
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª) (4.ª) (5.ª) + (2.ª)
filas 1 0 1 3 2
filas (1.ª) – 3 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) + (2.ª)
d)
filas (1.ª) (2.ª) (3.ª) 4 · (3.ª) + (4.ª)
(1.ª) (2.ª) (–2) · (2.ª) + (3.ª)
columnas
Matemáticas II
8 Otro método para conseguir la inversa de una matriz
Página 78
1 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A =
f p B^ =^
e o
Calculamos la inversa de la matriz A : | A | = –1 ≠ 0 → existe A –
α ij ⎯⎯→ Adj ( A ) ⎯⎯→ ( Adj ( A )) t^ ⎯⎯→ A –1^ = (^) | A^1 |^ ( Adj ( A )) t
8 8 8 A
f p f p f p f p= –^1
Calculamos la inversa de la matriz B : | B | = –3 ≠ 0 → existe B –
α ij ⎯⎯→ Adj ( B ) ⎯⎯→ ( Adj ( B )) t^ ⎯⎯→ B –1^ = (^) | | B^1 ( Adj ( B )) t
8 8 8 B
e o e o e o e o= –^1
2 Calcula la inversa de estas matrices:
A =
f p B^ =
f p
Calculamos la inversa de la matriz A : | A | = –5 ≠ 0 →existe A –
α ij ⎯⎯→ Adj ( A ) ⎯⎯→ ( Adj ( A )) t^ ⎯⎯→ A –1^ = | A |
(^1) ( Adj ( A )) t
8 8 8 A
f p f p f p f p= –^1
Calculamos la inversa de la matriz B : | B | = 1 ≠ 0 → existe B – α ij ⎯⎯→ Adj ( B ) ⎯⎯→ ( Adj ( B )) t^ ⎯⎯→ B –1^ = | | B
(^1) ( Adj ( B )) t
8 8 8 B
f p f p f p f p= –^1
Matemáticas II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 79
1. Cálculo de un determinante de orden 4
Hazlo tú. Calcula el valor de este determinante en función del parámetro a :
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2 2 2 2 a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
=^4
Sumamos las filas 2.ª, 3.ª^ y 4.ª^ a la 1.ª:
a a
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
= 5 a a
El valor del último determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, por corres- ponder a una matriz triangular.
2. Propiedades de los determinantes
Hazlo tú. Si
a p x
b q y
c r z
= 7, calcula el valor de estos determinantes sin desarrollarlos:
a)
a x p x p
b y q y q
c z r z r
b)
b q y
c b r q z y
a p x
a)
a x p x p
b y q y q
c z r z r
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)
a x p x
b y q y
c z r z
a x p x
b y q y
c z r z
(2.ª) (3.ª)
a p x
b q y
c r z
b)
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c r z
a p x
a p x
b q y
c r z
() 2.ª^ columna – 1.ª. (*) Permutamos la 3.ª^ columna por la 2.ª^ y luego, la 2.ª^ columna por la 1.ª.
Matemáticas II
5. Estudio del rango de una matriz que depende de un parámetro
Hazlo tú. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k :
a) M = k
1 k 3 6 4
f p b)^ N^ =^
k
k
f p
a) El menor formado por las tres primeras columnas es:
k
1 k 3 6 4
9 k^2 – 36 k + 36 = 0 → k = 2
- Si k ≠ 2 → ran ( M ) = 3
- Si k = 2 → ran ( M ) < 3, porque la 3.ª y la 4.ª columnas son proporcionales.
Para k = 2: M =
f p
Todas las columnas son porporcionales, luego ran ( M ) = 1
b)
= –3 ≠ 0 → ran ( M ) ≥ 3
k
k
= 20 – 2 k
20 – 2 k = 0 → k = 10
- Si k ≠ 10 → ran ( M ) = 4
- Si k = 10 → ran ( M ) = 3
Página 81
6. Propiedades de los determinantes y rango de una matriz
Hazlo tú. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, tales que ran ( A ) = 2 y ran ( B ) = 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?:
a) ran ( A + B ) = 3
b) ran ( A + B ) ≤ 2
c) ran ( A + B ) > 1
a) Falsa, porque A + B tiene dimensión 2 × 2, no tiene 3 filas ni 3 columnas.
b) Verdadera, porque A + B tiene dimensión 2 × 2.
c) Falsa:
A =
e – o → ran ( A ) = 2 B =
e – o → ran ( B ) = 1
A + B = 10110110
e –^ o + e – o =e o → ran ( A + B ) = 1
Matemáticas II
7. Cálculo de la matriz inversa
Hazlo tú. Dada esta matriz:
A = (^) a a
f p
a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.
b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A****.
a) | A | = a a
= – a^2 + 4 a – 3
- a^2 + 4 a – 3 = 0 → a = 3, a = 1 A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.
b) a = 2:
| A | = 1
A = 8 8 8 A
f p f^ p^ f^ p^ f –^ p= –^1
Matemáticas II
4. Rango de una matriz que depende de dos parámetros
Estudiar el rango de esta matriz:
B = (^) f a
1 b 1 1
p
ran ( B ) ≤ 3
a
= a + 1
Si a ≠ –1 → ran ( B ) = 3
1 b 1 1
= –2 b – 4
Si b ≠ –2 → ran ( B ) = 3
Si a = –1 y b = 3 → ran ( B ) = 2
5. Resolver una ecuación matricial
Dada la matriz A = (^) f
m m
p :
a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa.
b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0****.
a)
m m
= m^2 – 2 m
m^2 – 2 m = 0 → m = 0, m = 2 Si m ≠ 0 y m ≠ 2 → A tiene inversa.
b) XA + X – 2 A = 0 → X ( A + I ) = 2 A → X = 2 A ( A + I )–
Para comprobar que este paso es válido, veamos si ( A + I )–1^ existe.
A + I =
f p +^ f p =f p
| A + I | = –1, luego tiene inversa.
( A + I )–1^ =
f – p
X = 2
f pf p =f p
Matemáticas II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 83
P ara practicar
Determinantes. Propiedades
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) a
= 0 b)
a
a
a
+ = 0 c) a
2
= 0 d)
a
a
a
a) a
= 7 – 7 a = 0 → a = 1
b)
a
a
a
- = a^2 + 2 a – 3 = 0 → a = 1, a = –
c) a
2
= 4 a^2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3
d)
a
a
a
= – a^3 – a^2 + 6 a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2
2 Halla el valor de los siguientes determinantes de orden 4:
a)
b)
a)
(1) Desarrollamos por la 3.ª^ columna.
b)
filas (1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
(1) El determinante se anula, puesto que tiene dos filas iguales.
