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Doble Grado en Finanzas y Contabilidad y Relaciones Laborales y Recursos Humanos.
Matemáticas.
FORMAS CUADRÁTICAS. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 3.1. Obtenga la expresión matricial de las siguientes formas cuadráticas a)
q ( x 1 , x 2
)
= 2 x 1
2
− 8 x 1 x 2 + 3 x 2
2
b) q ( x 1 , x 2 ) =− x 12 + 6 x 1 x 2
c) q ( x 1 , x 2
)
= 3 x 2
2
d) q ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 12 + 2 x 22 − x 32 − 4 x 1 x 2 + 6 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3
e) q ( x 1 , x 2 , x 3
)
= 5 x 1
2 − 2 x 3
2
f) q ( x 1 , x 2 , x 3 ) =− 2 x
2
Solución 3.1:
1
a) q ( x 1 , x 2 ) = 2 x 1 − 8 x 1 x 2 + 3 x ,
q ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 , x 2 )
− 4 3 x 2
Economía Aplicada III
b) q ( x 1 , x 2
)
=− x 1 + 6 x 1 x 2 , q ( x 1 , x 2
)
= ( x 1 , x 2 ) − 1 3 x 1
3 0
x
Ejercicio 3.2. Obtenga la expresión polinómica de las formas cuadráticas cuyas
matrices asociadas son las siguientes
Economía Aplicada III
q es definida
menores
s
indefinida.
− 1 − 1
d) q ( x 1 , x 2 , x 3 )= x 1
2
2
2
, A = 2 4
0 rango 2. No se puede
clasificar por menores principales porque D =
2
c) q ( x 1 , x 2 )= − x 1
2
− 2 x 1 x 2 , A
=
, D 1 = − 1 < 0, D 2 = − 1 < 0, q es indefinida.
λ
λ
0 = 0 ⇒ λ 1
= 0, λ 2
= 3,λ 3
= 5, q es semidefinida positiva.
0 0 3 −λ
d) q ( x 1 , x 2 , x 3 )= x 1
2
2
2
( ) 2 2
e) q x 1 , x 2 , x 3 = − x 1 + 2 x 1 x 2 − 3 x 2
Solución 3.3:
2 2
a)
q
( x 1 , x 2 )= x 1 − 2 x 1 x 2 + 4 x 2 , A =
, D 1 = 1 > 0, D 2 = 3 > 0 ,
positiva.
( ) 2 0 − 2
b) q x 1 , x 2 = − 4 x 1 x 2 + 3 x 2 , A =
no se puede clasificar por
principales ya que D 1 = 0.
0 −λ − 2
− 2 3 −λ
= −λ( 3 −λ)− 4 = λ
2
− 3 λ− 4 = 0 ⇒λ 1 = −1, λ 2 = 4 , q e
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e) q ( x 1 , x 2 , x 3 )= − x 1
2
2
,
A = 1
D 1 = − 1 < 0, D 2 = 2 > 0 ,
rango 2, q es semidefinida negativa.
0 d) 0 − 3 2
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Solución 3.6: q ( x 1 , x 2 , x 3 )= x 1
2
2
2
1 0 a
= 1 > 0, D 2 = 2 > 0, D 3 = 2 − 2 a 2 , q se puede clasificar
Matriz de q A = 0 2 0 . D 1
a
por
el
mét
o do
de
los
menores principales ∀ a
∈ R.
la matriz
( )
- Si a =±1 , rg A = 2 , q es semidefinida positiva
- No hay ningún valor de a tal que q sea definida negativa pues D 1
Ejercicio 3.7. Dada la forma cuadrática representada por
1 a 1/ 2
A = a 4 0 , determine el valor de a ∈ R
¿Podría en algún caso clasificarse como semidefinida positiva?
1 a 1/ 2
Solución 3.7: A = a 4 0
2
a
a
D
3 a
Economía Aplicada III
para que sea definida positiva.
D 1 = 1 > 0
= 4 − a
2
0, 4 > a
2
4 − a
2 = 0 ⇒ a = 4 =±2. Por tanto D 2 > 0 si a
∈
a 1/ 2
D = 4 0 = 4 − 1 − a
2
0, 3 > a
2
;
3 − a
2
= 0 ⇒ a =± 3. Luego D 3 > 0 si a ∈ (− 3 )
q es definida positiva ∀ a ∈ (− 3 ) y es semidefinida positiva si a =± 3.
Ejercicio 3.8. Clasifique las formas cuadráticas
a) q
b) q
c) q
d) q
restringidas a los siguientes subconjuntos 1)
S 1 ={( x 1 , x 2 )∈ R
2
/ x 1 + 5 x 2 = 0 }
2) S 2 ={( x 1 , x 2 )∈ R
2
/ x 1 − x 2 = 0 }
Solución 3.8: a)
Sea q
2
2 2
x x , 0 2
x
Economía Aplicada III
Ejercicio 3.9. Clasifique las formas cuadráticas representadas por las siguientes
matrices
a) A = 1 0 1 b) A = − 1 3 0 c) A = 1 1 1
restringidas a los siguientes subconjuntos
1) S 1
=
{( x 1 , x 2 , x 3 )∈ R
3
/ x 1 − x 2 + x 3 = 0 }
2) S
2
=
{( x 1
, x 2
, x 3
)∈ R
3 / − 2 x 1
− x 3
= 0 }
3) S 3
=
{( x 1 , x 2 , x 3 )∈ R
3 / x 1 − x 2 + x 3 = 0,− 2 x 1 − x 3 = 0 }
4) S 4
=
{( x 1 ,x 2 ,x 3 )∈ R
3
/ x = 0 ,x − x = 0 }
5) S 5
=
{( x 1 ,x 2 ,x 3 )∈ R / x = x }
Solución 3.9:
a)
A
, q es indefinida.
a1) Restringida a S
q ( x 1
, x 2
, x 3
) = 2 x 1
q (
D 1 = 2 > 0, D 2 = 4
1 0 1 (λ ) λ 1 1 λ λ λ λ 3 λ 2 0
3 3 =− + + + + + =− + + = P
λ 2 λ 1 λ 1 1 2 3
x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ,
2 3 x x , x
) = 2 x
2
2
= ( x , x )
1
1 3 1 1 3 3 1 3 3 2 x
3
− 9 = − 5 < 0, q es indefinida en S 1
x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ,
− 4 − 1 x
2 1
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a2) Restringida a S q ( x 1 , x 2 , x 3
)
= 2 x 1
q ( x , x ) =− 4 x − 2 x x = ( x , x ) x 2
D , q restringida a S es indefinida.
a3) En S 3
=
{( x 1 , x 2 , x 3 )∈ R
3
/ x 1 − x 2 + x 3 = 0,− 2 x 1 − x 3 = 0 }, x , x 3 =− 2 x 1
q ( x 1 , x 2 , x 3
)
= 2 x 1 x 2
q q es definida negativa en S 3.
a4) Restringida a S 4
=
{( x 1 ,x 2 ,x 3 )∈ R
3
/ x 1 = 0 ,x 2 − x 3 = 0 }, x 1 = 0 , x 2
= x 3
q ( x 1 , x 2 , x 3
)
= 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 , q( x 2 ) 0 0, en
S
4 q^ es definida positiva.
2 x 1
q ( x 1 , x 3 ) = ( x 1 , x 3 ) 3 2 x 1 , D 1 = 3 > 0, D 2 = 5 > 0 , 2
3 x 3
q
1
2
q ,
q
q , q en S 4 es definida positiva.
b5) Restringida a S 5 ={( x 1 ,x 2 ,x 3 )∈ R
3
/ x 1 = x 2 }, x 1 = x 2
q
q , q es definida positiva en S 5
= 3 > 0 , D
2
= 2 > 0 y D 3
= 1 > 0, q es definida positiva en R 3
c) A = 1 1 1 , D 1
luego q es definida positiva restringida a cada uno de los subconjuntos.
Ejercicio 3.10. Una empresa fabrica tres tipos de estructuras metálicas: puentes, torres
eólicas y pasarelas peatonales. La función de beneficios de dicha empresa viene dada
por B ( x 1 , x 2 , x 3
)
= x 1
2
− x 2
2
2
- 6 x 1 x 2 + 4 x 2 x 3 , siendo x 1 el número de puentes, x 2 el número
de torres eólicas y x 3 el número de pasarelas peatonales que se fabrican.
a) ¿Existe alguna posibilidad de que esta empresa cierre con beneficios su ejercicio
económico?
Economía Aplicada III
b) Una multinacional, líder mundial en el mercado de torres eólicas, le ha propuesto
que, dada la demanda existente, produzca el triple de torres eólicas que de puentes,
¿Resulta interesante esta propuesta a la empresa?
c) Una segunda multinacional propone a la empresa comprarle toda su producción si
fabrica sólo puentes y pasarelas, en igual número.¿Será ésta una buena opción para
la empresa?
d) Ante la cantidad de propuestas que la empresa recibe, han encargado a un técnico
que determine otras posibilidades de producción. Este propone fabricar
exclusivamente torres eólicas, intentado así rentabilizar economías de escala. ¿Es
beneficiosa la idea del técnico?
Solución 3. 10 :
0 x 1
2 x 2
1 x 3
1
3
3
b) x = 3 x
Economía Aplicada III 16
