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Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura Departamento de Matem´atica - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales ALGEBRA y GEOMETR´^ ´ IA ANAL´ITICA I Licenciatura en F´ısica - 2015
Equipo docente: Viviana del Barco, Luc´ıa Caraballo y Ana Muringo
UNIDAD 5: N´umeros complejos
1. Definiciones y propiedades b´asicas - C como extensi´on de R.
Definici´on 1. Se llama n´umero complejo a todo par ordenado z = (a, b) de n´umeros reales.
Dado z ∈ C, z un n´umero complejo, si z = (a, b) los n´umeros a y b son respectivamente la parte real y parte impaginaria de z y esto lo notamos: a = Re(z), b = Im(z). Dados dos n´umeros complejos z = (a, b) y w = (c, d) definimos la igualdad de z y w como:
z = w ⇔
a = c b = d
Observemos que el par (a, b) es ordenado, en el sentido que el complejo (a, b) no es igual al complejo (b, a). Definimos a continuaci´on operaciones entre los n´umeros complejos: la suma y el producto de la siguiente manera:
Definici´on 2. Sean z = (a, b) y w = (c, d) dos n´umeros complejos (es decir a, x ∈ C). Entonces definimos Suma: z + w = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Producto: zw = (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Es importante notar que la suma (producto) que se est´a definiendo es la de los pares ordenados (a, b) y (c, d). Cuando decimos que esto equivale al par ordenado (a + c, b + d), la suma aqu´ı es la usual entre los n´umeros reales a y c, y b y d. Al conjunto de los n´umeros complejos junto con las operaciones definidas arriba lo indicamos con la letra C: C = {(a, b) : a, b ∈ R}.
Teorema 3. Los n´umeros complejos satisfacen las siguientes propiedades: si z, u, w son n´umeros complejos cua- lesquiera, entonces se verifican:
- Propiedad conmutativa: z + w = w + z, zw = wz.
- Propiedad asociativa: z + (u + w) = (z + u) + w, z(uw) = (zu)w.
- Propiedad distributiva: z(u + w) = zu + zw.
- Existencia de neutro: Existen (0, 0) ∈ C y (1, 0) ∈ C tales que (0, 0) + z = z y (1, 0)z = z.
- Existencia de opuesto: Si z = (a, b), existe −z = (−a, −b) ∈ C tal que z + (−z) = (0, 0).
- Exitencia de inverso: Si z = (a, b) 6 = 0, existe z−^1 =
( (^) a a^2 + b^2 ,^
−b a^2 + b^2
∈ C tal que zz−^1 = (1, 0).
Demostraci´on. ejercicio
El elemento (0, 0) del Teorema 3 se llama neutro de la suma en C y para cada z ∈ C, −z se llama opuesto de z. El elemento (1, 0) se llama identidad del producto en C y para cada z ∈ C, z 6 = (0, 0), z−^1 se llama inverso de z. A partir del teorema anterior, podemos definir la resta y el cociente de n´umeros complejos. 1
Definici´on 4. Sean z y w dos n´umeros complejos. Se define la resta de w a z y se denota z − w al n´umero complejo z − w = z + (−w). Si w 6 = (0, 0), se define el cociente de z por w y se denota (^) wz al n´umero complejo (^) wz = z · w−^1.
Ejemplo 5. 1. (1, 0) − (2, 1) = (1, 0) + [−(2, 1)] = (1, 0) + [(− 2 , −1)] = (1 + (−2), 0 + (−1)) = (− 1 , −1).
- (2, 1) − (1, 0) = (2, 1) + [−(1, 0)] = (2, 1) + [(− 1 , 0)] = (2 + (−1), 1 + 0) = (1, 1). Notar que este ejemplo muestra que la resta de n´umeros complejos no es conmutativa ya que (1, 0) − (2, 1) 6 = (2, 1) − (1, 0).
- (2 (1,,0)1) = (2, 0)(1, 1)−^1 = (2, 0)( 12 , − 12 ) = (2 12 − 0 − 21 , 2 − 21 + 0 12 ) = (1, −1). Notar que (1 (2,,1)0) = ( 12 , 12 ) 6 = (2 (1,,0)1) , por lo tanto el cociente de n´umeros complejos no es una operaci´on conmutativa. Una ´ultima operaci´on que ser´a interesante estudiar es la de potenciaci´on.
Definici´on 6. Sea z ∈ C un n´umero complejo. Para cada n ∈ N, se define el n´umero complejo zn^ de la siguiente manera (recursiva): (^) { z^1 = z zn^ = zn−^1 · z, n ∈ N, , n ≥ 2
Si z 6 = 0, se define z^0 = 1 y para todo n ∈ Z, n < 0 , se define zn^ = (z−^1 )(−n). El n´umero zn^ se llama potencia n-´esima de z.
La potencia de complejos as´ı definida tiene las siguientes propiedades (an´alogas a las de los n´umeros reales)
Teorema 7. Sean z, w ∈ C, n, k ∈ Z. Entonces:
- zkzn^ = zk+n
zk )n = zkn
- (zw)n^ = znwn.
( (^) z w
)n = z
n wn^.
Ejemplo 8. (1, 1)−^2 =
(1, 1)−^1
= ( 12 , 12 )^2 = ( 12 , 12 )( 12 , 12 ) = (0, − 12 ).
Sea C 0 el subconjunto de C constituidos por los complejos de la forma (a, 0), esto es, los que tienen parte imaginaria nula. Entonces las operaciones de suma y producto son cerradas en C 0 , es decir, la suma y el producto de dos elementos de C 0 es nuevamente un elemento de C 0. En efecto,
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0)(c, 0) = (ac, 0).
Adem´as, si z ∈ C 0 y z = (a, 0), entonces
−(a, 0) = (−a, 0), y si a 6 = 0 tambi´en resulta (a, 0)−^1 = (a−^1 , 0).
Esto implica, en particular, que la resta y la divisi´on tambi´en son cerradas en C 0 : restar (o dividir) dos n´umeros complejos con parte imaginaria nula da como resultado un n´umero complejo con parte imaginaria nula (ejercicio: demostrar esta afirmaci´on). De igual manera, si z ∈ C 0 y z 6 = 0, zn^ = (an, 0) para todo n ∈ Z. Vemos entonces que los n´umeros complejos de C 0 se comportan de la misma manera que si fueran n´umeros reales. Por este motivo, no haremos diferencia entre un n´umero real x y el complejo (x, 0). De hecho, a cada n´umero complejo (x, 0) ∈ C 0 lo notaremos directamente como x. Via la identificaci´on:
x ∈ R ←→ (x, 0) ∈ C. De esta manera, diremos que C es una extensi´on de R, pues C contiene a R, pensando cada n´umero x ∈ R como (x, 0) ∈ C 0. Con esta convenci´on: 0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (− 1 , 0), etc.
Observaci´on 9. Decimos que un n´umero complejo z es imaginario puro si z = (0, b) con b 6 = 0, es decir si z 6 = (0, 0) y Re(z) = 0. Notar que el conjunto de n´umeros complejos imaginarios puros no es un conjunto cerrado por el producto.
Teorema 16. Sean z, w ∈ C, entonces
- z + w = z + w
- z · w = z · w
- z = z si y s´olo si z ∈ R
- z · z = Re(z)^2 + Im(z)^2.
Demostraci´on. Ejercicio.
La propiedad 4 del teorema anterior es de gran importancia a la hora de calcular el rec´ıproco de un n´umero complejo o el cociente de dos n´umeros complejos.
Ejemplo 17. Sean z = 2 + i y w = 1 − i, calcular z w. Vamos a utilizar 4 para calcular el inverso de w:
w−^1 = w^1 = (^) www = (^) Re(w) 2 1 + (^) + Imi (w) 2 = 1 + 2 i.
Luego, (^) wz = zw−^1 = (2 + i)( 12 + 2 i ) = 12 + 32 i
Ejemplo 18. Si z = 1 + 2i, w = − 2 − i, entonces w = −2 + i y resulta z w =^
z w
w w =
(1 + 2i)(−2 + i) (−2)^2 + (−1)^2 =^
− 4 − 3 i 5 =^ −^
5 −^
5 i. Para calcular el cociente de un n´umero complejo z por un n´umero complejo w, multiplicamos y dividimos por el conjugado de w. Gracias al teorema anterior obtenemos:
Corolario 19. Sean z = a + bi y w = c + di con w 6 = 0. Entonces
w−^1 = (^) Re(w) (^2) +w Im(w) 2 y (^) wz = (^) Re(w) 2 z+w Im(w) 2.
Demostraci´on. Ejercicio.
3. Representaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos - Forma polar y trigonom´etrica de un
n´umero complejo.
Dado que todo n´umero complejo es un par ordenado (a, b) de n´umeros reales, existe una correspondencia biun´ıvoca entre los n´umeros complejos y los puntos del plano, que recibe entonces el nombre de plano complejo. Dado z = (a, b), a z asociamos el punto P cuyas coordenadas cartesianas son (a, b) y el vector
→ OP , donde O = (0, 0) es el origen de coordenadas. Cuando trabajamos con n´umeros complejos en general denominamos como eje real al eje de las abscisas, dado que aqu´ı yacen los puntos que representan a n´umeros reales, y por eje imaginario al eje de las ordenadas, dado que aqu´ı est´an los puntos que representan a n´umeros imaginarios puros, es decir, n´umeros complejos con parte real nula.
Ejemplo 20. En la gr´afica siguiente se muestran los puntos del plano correspondientes a los complejos z 1 = 2 + 3i, z 2 = z 1 , z 3 = 4 − i, z 4 = −z 3 , z 5 = z 1 + z 3.
Definici´on 21. Dado un complejo z se denomina m´odulo de z, y se denota |z| a la longitud del segmento OP , donde P es el punto del plano asociado a z.
Observar que si z = a + bi, entonces |z| = |
−→ OP | =
a^2 + b^2. Luego |z| =
Re(z)^2 + Im(z)^2 que por la propiedad vista anteriormente resulta |z| =
zz.
Definici´on 22. Sea z = a + bi un n´umero complejo tal que z 6 = 0. Se define el argumento de z como el ´angulo que forma el vector
→ OP = (a, b) con el eje positivo de las abscisas. El n´umero complejo z = 0 no tiene argumento.
Notar que un n´umero complejo tiene infinitos argumentos, dependiendo de cuantas ((vueltas)) demos alrededor del origen para medir el ´angulo. En cualquier caso, si φ y θ son dos argumentos del mismo complejo z debe valer
θ = φ + 2kπ, para alg´un k ∈ Z.
Notar que si θ es un argumento de z = a + bi, con a 6 = 0 entonces tg θ = b a. Si z es imaginario puro (a = 0), entonces su argumento es π/2 o 32 π, dependiendo si su parte imaginaria es positiva o negativa, respectivamente. Por ejemplo, si z = 1 + i, entonces π/4 y 94 π son dos argumentos para z.
Ejercicio 23. Calcular los argumentos de los n´umeros complejos graficados arriba.
Definici´on 24. Para cada z ∈ C, z 6 = 0, se llama argumento principal de zy lo denotamos por arg(z) al un ´unico argumento φ de z que verifica 0 ≤ φ < 2 π.
Tomemos por ejemplo z = 2 + 2i. Entonces φ = π 4 , θ = 94 π y γ = 174 π son argumentos de z, pero φ es el argumento principal. Observemos la siguiente figura:
Para cualquier argumento θ de z (en particular para φ = arg(z)), entonces por el teorema de pit´agoras y las relaciones trigonom´etricas en un tri´angulo rect´angulo obtenemos
(1) |z|^2 = a^2 + b^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2 = z · z,
(2) tg(θ) = (^) a b.
a = ρ cos θ b = ρ sen θ
, donde ρ = |z|
y por lo tanto
(4) z = ρ(cos θ + i sen θ).
Esta ´ultima expresi´on de z se denomina forma trigonom´etrica de z.
Teorema 30. Sean z = ρφ y w = δθ dos complejos dados en forma polar. Entonces:
- z · w = (ρδ)φ+θ
- (^) wz =
( (^) ρ δ
(φ−θ)
- zn^ = ρnnφ.
Demostraci´on. Ejercicio.
Corolario 31. Si z 6 = 0 y z = ρθ en forma polar, entonces z−^1 = ρ− −^1 θ.
Ejemplo 32. Nuevamente usamos los n´umeros complejos z y w del Ejemplo 29 y calculamos:
z · w =
(^3) π/ 6
(^2 34) π
- π 6 + 34 π = 54
(^6 1112) π.
Ya hemos visto que la unidad imaginaria i es la raiz cuadrada de −1 ya que i^2 = −1 y por lo tanto i =
En realidad, la unidad imaginaria permite calcular la raiz cuadrada de cualquier n´umero real negativo posee raiz cuadrada ya que si x ∈ R−, entonces (
−xi)^2 = (−x)i^2 = (−x)(−1) = x. Veremos a continuaci´on que es posible calcular la ra´ız n-´esima de cualquier n´umero complejo (en particular de los reales negativos), para cualquier n natural. Comenzamos con la definici´on.
Definici´on 33. Dado un n´umero complejo w y un n´umero natural n ∈ N, decimos que z es una ra´ız n-´esima de w si zn^ = w.
Como es usual, las ra´ıces 2-´esimas de un n´umero se llaman ra´ıces cuadradas; las ra´ıces 3-´esimas de un n´umero se llaman ra´ıces c´ubicas; las ra´ıces 4-´esimas de un n´umero se llaman ra´ıces cuartas; las ra´ıces 5-´esimas de un n´umero se llaman ra´ıces quintas, etc... La f´ormula (3) del Teorema 30 nos permitir´a calcular de manera f´acil ra´ıces n-´esimas de los n´umeros complejos. Comencemos analizando un ejemplo. Supongamos que tenemos w = 16π/ 4 y queremos calcular las ra´ıces cuartas de w. Si z = ρφ es una de esas ra´ıces, debe ser z^4 = ρ^44 φ = w. De la igualdad de complejos dados en forma polar (6), obtenemos ρ^4 = 16 ⇒ ρ = 2
y
4 φ = π 4 + 2kπ ⇒ φ =
π 4 + 2kπ 4 , k^ ∈^ Z Si bien en la ´ultima expresi´on k var´ıa en todo Z, s´olo para k = 0, 1 , 2 , 3 obtenemos complejos distintos. De hecho tomando para k = 4, obtenemos el argumento π 6 + 2π que es el mismo argumento que π 6 , obtenido tomando k = 0. Luego las cuatro ra´ıces cuartas de w son
z 1 = 2 16 π , z 2 = 2 (^169) π , z 3 = 2 (^1716) π , z 4 = 2 (^2516) π Graficamos las cuatro raices cuartas de w:
Se ve en la figura que las ra´ıces cuartas son los v´ertices de un cuadrado inscripto en la circunferencia de radio 2. Siguiendo exactamente el mismo razonamiento es posible probar el siguiente teorema, denominado F´ormula de Moivre:
Teorema 34. Sea w = ρφ un n´umero complejo no nulo en forma polar. El n´umero complejo z = δθ es una ra´ız n-´esima de w si y s´olamente si se verifica
(7) δ = √nρ, θ = φ n +^2 kπ n , para alg´un k tal que k = 0, 1 , · · · , n − 1.
Demostraci´on. Supongamos z = δθ es una ra´ız n-´esima de w. Por definici´on se tiene zn^ = w y por otro lado, el Teorema 30 implica que zn^ = δnnθ. Luego
zn^ = δnθn = ρφ = w
y esto sucede siempre y cuando ρ = δn^ y al mismo tiempo los ´angulos nθ y φ difieren en un m´ultiplo de 2π, es decir,
zn^ = w ⇔
δn^ = ρ nθ − φ = 2lπ, para alg´un l ∈ Z
δ = √nρ θ = φ n + (^2) nlπ , para alg´un l ∈ Z.
Resta probar que el valor l puede tomarse entre 0 y n − 1. Primero notemos que si l es mayor o igual que n, podemos tomar la divisi´on l = n · c + k, siendo k el resto de la divisi´on y por lo tanto k est´a entre 0 y n − 1. Adem´as
φ n +
2 lπ n =^
φ n +
2(n · c + k)π n =^
φ n +
2 kπ n + 2cπ
y por lo tanto δ φ n + 2 lπ n es el mismo n´umero complejo que δ (^) nφ + 2 kπ n , siendo k natural entre 0 y n − 1. De manera an´aloga se prueba que si l < 0 entonces δ φ n + 2 lπ n = δ φ n + 2 kπ n. Luego, en la ecuaci´on de arriba podemos escribir
zn^ = w ⇔
δ = √nρ θ = (^) nφ + 2 kπ n , para alg´un k n´umero natural entre 0 y n − 1.
De la ecuaci´on (7) las ra´ıces n-´esimas de w son los n´umeros complejos que se obtienen de darle diferentes valores al k entre 0 y n − 1:
z 0 = √nρ φ n , z 1 = √nρ φ n + (^2) nπ , z 2 = √nρ φ n + (^4) nπ ,... zk = √nρ (^) nφ + 2 kπ n ,... zn− 1 = √nρ (^) φ n + 2(n− n1)π.
Es important´ısimo notar que estos n n´umeros complejos z 0 , z 1 ,... , zn− 1 son todos diferentes. En efecto supongamos que dos de ellos son iguales, pongamos zs = zt con s y t dos n´umeros naturales entre 0 y n − 1. Entonces zs = zt implica que sus argumentos difieren en un m´ultiplo de 2π, es decir, existe l ∈ Z tal que
φ n +
2 sπ n =^
φ n +
2 tπ n + 2lπ^ ⇒^ s^ =^ t^ +^ l^ ·^ n
pero como s y t son n´umeros naturales menores que n, la igualdad s = t + ln s´olo se da si l = 0 y por lo tanto s = t. Hemos probado entonces el siguiente resultado:
Corolario 35. Todo n´umero complejo w 6 = 0 tiene exactamente n ra´ıces n-´esimas que est´an dadas por la F´ormula de Moivre (7).
Gr´aficamente, los n n´umeros complejos z 0 , z 1 ,... , zn− 1 que son ra´ız n-´esima de w = ρφ tienen todos igual m´odu- lo √nρ y dos consecutivos de ellos difieren en un ´angulo de 2π/n. Por lo tanto, z 0 , z 1 ,... , zn− 1 yacen sobre una circunferencia de radio √nρ y forman un pol´ıgono regular de n lados (comparar con la figura del ejemplo anterior).
