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ejercicios de Matemáticas aplicadas
Tipo: Ejercicios
1 / 24
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En los problemas 1 a 10 , halle y grafique el dominio de las
siguientes funciones_._
y 1 z arcsen x
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 01
Resuelva a continuación los siguientes
2 2 z = ln 36 − 4 x − 9 y
2 2 2 2
2
x y z
y x
−
2 2 z = arctg x − y
2 2
2 z = x + 1 − y
En los problemas 11 a 19 , dibuje las curvas de nivel y luego
grafique las siguientes funciones.
x z
y
=
2 2 x y w z
(^) + =
2 2 2
2 2 2
24. (^ )
2 2 2
2 2 2 w = x + y − z
demuestre los límites siguientes_._
( )
2 2
, 2, 2
lim 3 4 4 x y
x y → −
− = −
( ) ( )
( )
2 2
, 3, 1
x y
→ −
( ) ( )
( )
2 2 ln ln
, 3, 1
x y
x y
→ −
( ) ( )
2 2
, 2,
lim 5 x y
y x →
− =
( ) ( )
2
, 1,
x y
→
( ,^ ) ( 1,^1 )
x y
→ − −
( ) ( )
2
, 1,
( ) ( )
( ) , , 1,4,
x y z
→
lim 6 x y z
xyz →
=
( ) ( )
2
, , 0,1,4^2
lim 1 x y z
xy y yz x y
→ xz y
( ) ( )
( ) , , 1,4,
lim 4 x y z
x y z xy yz →
( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 3 (^) 1 3
, , , 1,1,1,
x y z t
→
En los problemas 38 a 4 2 , analice la continuidad de las
siguientes funciones.
43. Dada la función
2 3 5 7 11 F x y z ( , , ) = xy z + ( x − 3) y + 2 z − 1
Halle
2
2
x
y
2
2
y
en los puntos donde la superficie de
44. Sea (^ )
2 2 z^ =^ f^ y^ −^ x^ , y^ − x una función
2 ^ C. Halle
2
2
y
2
45. En la ecuación sen x (^^ +^ y^ +^ z^ )+^ sen xz =^1 se define
implícitamente z^ = f^ (^ x y^ , ). Halle
z
x
y
46. Sea (^ ) ,
x y f x y = xye
. Halle el valor de la constante
tal que:
2 2 2
2 2 2
f f (^) x y x x y e x y x y y
47. Sea (^ )^
( )
x y
xy
(^) . Halle
G (^) ( x y , )
x
48. Sea
( )
2 2 2 2 2 2 , 0 ( , )
0 , , 0, 0
xy x y x y f x y (^) x y
x y
(^) − + = (^) +
=
. Halle 12 (^ ) f 0, 0
y 21 (^ ) f 0, 0 .
49. Sea
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , , 0, 0 ( , )
2 , , 0, 0
x y xy e e x y f x y x^ y
x y
Halle
( )
2
2
f 0, 0
x
y
( )
2 f 0, 0
x y
50. Sea
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , , 0, 0 ( , )
0 , , 0, 0
x x x arctg y arctg x y f x y y y
x y
(^) −^ = (^)
Halle 12 (^ ) f 0, 0 y 21 (^ ) f 0, 0 .
51. Sea
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 4 , , 0, 0 ( , )
0 , , 0, 0
x y x y f x y x^ y
x y
= +
. Halle f 12 (^ 0, 0) y
f 21 ( 0, 0).
En los problemas 55 a 69 , halle los extremos relativos de las
siguientes funciones_._
2 2 f ( , x y ) = 18 x − 32 y − 36 x − 128 y − 110
2 2 f ( , x y ) = 4 xy − 2 x y − x
3 3 2 f ( , x y ) = x + y + 3 y − 3 x − 9 y + 2
3 3 f ( , x y ) = x + y − 18 xy
2 2 f ( , x y ) = x + xy + y − 2 x − y
4 4 2 2
62. (^ )
2 2 2 3
2 2
1
2 cos cos
x y y
65. (^ )
2 2 f ( , x y ) = ln x + y + 1
66. (^ )
2 2
x xy y
− + +
2 2 ( , ) 2 ln 3 , 0
y f x y x y x y arctg x x
= − + − +
2 2 2 f ( , x y z , ) = 4 x + xy − yz − x − y − z
69. f^ ( , x y z^ ,^^ )^ =^ 3ln^ x^ +^ 2 ln^ y^ +^ 5ln^ z^ +^ ln(22^ −^ x^ −^ y^ − z )
En los problemas del 70 al 75 halle los extremos absolutos
de las funciones dadas sobre las regiones indicadas.
70. (^ )
3 3 f^ x y^ ,^^ =^ x^ +^ y^ −^3 xy ; región rectangular
R : x (^) 0, 2 , y − 1, 2.
71. (^ )
2 2 f^ x y^ ,^ =^ x^ − y ; región circular
2 2 E^^ :^ x^ +^ y ^1.
2 2
T : x = 1, y = 1, x + y = (^1).
73. (^ )^
2 2 f^ x y^ ,^^ =^1 −^ x^ − y ; región circular
Halle los puntos más fríos y más calientes de la esfera.
79. Halle las constantes y de tal manera que
2 2
0
F , sin x x x dx
= ^ − + sea mínimo.
En los problemas del 8 0 al 87 halle los extremos relativos de
las funciones dadas sujeta a las restricciones dadas.
2 2 cos cos ; 4
z x y y x
= + − =
2 2 2 2 z = 25 − x − y ; x + y − 4 y = 0
2 2 2 2 z = 4 x + 2 y + 5; x + y − 2 y = 0
2 2 z = xy ; x + y = 4
3 3 3
86. (^ )
2 2 2
87. (^ )
3 2 2 2 2 f x y z , , = y + xz ; x + y + z = 1
Resuelve los problemas del 88 al 90.
88. Halle las distancias máxima y mínima de un punto de
la elipse
2 2 x^ +^4 y =^4 a la recta x^ +^ y =^4.
89. Sea C la curva de intersección de las superficies
2 2
en la curva C que esté más alejado del plano
90. En la superficie
2 2 2 S : x + 96 y + 96 z = 96
halle los puntos cuyas distancias al plano
sean la menor y mayor posibles.
Resuelva los problemas del 91 al 93 usando el método de
Lagrange.
91. Minimice la función (^ )
2 2 2 f^ x y z^ ,^ ,^ =^ x^ +^ y^ + z sujeta a
las restricciones: x^ +^2 y^ +^3 z =^6 y x^ +^3 y^ +^9 z =^9.
96. Ley de los Gases Ideales Según la ley de los gases
ideales pV^ = mRT , donde R es una constante, m
es una masa constante y p y V son funciones del
tiempo. Halle la
dT
dt
, la velocidad o el ritmo de cambio
de la temperatura con respecto al tiempo.
97. Momento de Inercia Un cilindro anular tiene un radio
interior de r 1 y un radio exterior de r 2 (ver la figura).
Su momento de inercia es (^ )
2 2 1 2
^ I^ =^ m r^ + r , donde m
es la masa. Los dos radios se incrementan a razón de 2
centímetros por segundo. Halle la velocidad al que
varía I en el instante en que los radios son 6 y 8
centímetros. (Suponer que la masa es constante.)
se incrementa a razón de ^90 radianes por hora,
= (^4).
99. Volumen y Área Superficial Los dos radios del tronco
de un cono circular recto se incrementan a razón de 4
centímetros por minuto y la altura se incrementa a
razón de 12 centímetros por minuto (ver la figura).
Halle a qué velocidad cambian el volumen y el área
superficial cuando los radios son 15 y 25 centímetros,
respectivamente, y la altura es de 10 centímetros.
103. Topografía La figura muestra un mapa topográfico
utilizado por un grupo de excursionistas. Dibuje las
trayectorias de descenso más rápidas si los
excursionistas parten del punto A y si parten del
104. Meteorología Los meteorólogos miden la presión
atmosférica en milibares. A partir de estas
observaciones elaboran mapas climáticos en los que
dibujan las curvas de igual presión atmosférica
(isobaras) (ver la figura). Son curvas de nivel de una
función que dan la presión en cualquier punto. Dibujar
Aunque no se conocen las magnitudes de los
gradientes, sus longitudes relativas pueden estimarse.
¿En cuál de los tres puntos es la velocidad del viento
mayor si la velocidad del viento se incrementa
conforme el gradiente de presión aumenta?
105. Investigación Un equipo de oceanógrafos está
elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar
a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido,
desarrollan el modelo:
2
distancias en kilómetros.
a) Utilice un sistema algebraico por computadora
para representar gráficamente la superficie.
b) Como la gráfica del inciso a ) da la profundidad, no
es un mapa del fondo del océano. ¿Cómo podría
modificarse el modelo para que se pudiera obtener
una gráfica del fondo del océano?
