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Modelo
Curso 2024-2025 Orientativo MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN El examen consta de 4 ejercicios : el primero sin apartados optativos y los tres siguientes con posibilidad de elección. Todas las respuestas deben ser razonadamente justificadas CALIFICACIÓN: cada ejercicio se valorará sobre 2,5 puntos. DURACIÓN: 90 minutos.
EJERCICIO 1 (2,5 puntos) Responda los tres apartados, este ejercicio no tiene opcionalidad.
HidroBio es una marca de un preparado en polvo para elaborar suero bebible que se utiliza para rehidratar a pacientes con gastroenteritis. El suero se prepara disolviendo un sobre de HidroBio en un litro de agua. La marca comercializa tres tipos de sobres, de sabor a naranja, fresa o limón. El contenido de cada sobre reacciona químicamente con el agua produciéndose en esa reacción un determinado principio activo, en cantidad variable en función del tiempo, de manera que la tasa de variación instantánea de la cantidad de principio activo, medida en mg/hora, viene dada por la función
c(t) =
t −
t^2 2
siendo t el tiempo transcurrido, en horas, desde la elaboración del preparado hasta pasadas tres horas. La cantidad de principio activo presente en la disolución potencia además el sabor del preparado, de forma que a más cantidad de principio más intenso es el sabor.
1.a) (1 punto) Indique la cantidad de principio activo al cabo de 60 minutos de haber sido preparado el suero. 1.b) (0,75 puntos) ¿Va aumentando la cantidad de principio activo a lo largo de las 3 primeras horas? ¿Por qué?. 1.c) (0,75 puntos) Se ha observado que para conseguir que los menores de 5 años ingieran el suero más fácilmente, lo mejor es disolver un sobre con sabor a fresa y darles el primer vaso en el momento en que el sabor de la disolución sea más intenso. ¿Cuándo le daría el primer vaso de suero a una niña de 4 años? Determine cuál será la cantidad de principio activo en el litro de suero en ese momento.
EJERCICIO 2 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2..
Pregunta 2. Se consideran las matrices A y B dadas por:
A =
y B =
2.1.a) (1,25 puntos) Calcule la matriz D tal que B(Dt^ + A−^1 )B−^1 = 2I, donde I es la matriz identidad de tamaño 2 × 2. 2.1.b) (1,25 puntos) La matriz A verifica la igualdad A^2 = A + 2I. Calcule A^4. Pregunta 2. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a:
x − y + z = − 1 ax + (−a + 2) y = 2 2 x − (a + 3)y + (a + 2)z = − 5
2.2.a) (1,5 puntos) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro a. 2.2.b) (1 punto) Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 1.
EJERCICIO 3 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3..
Una comunidad autónoma española quiere evaluar el nivel de compromiso con el reciclaje de sus ciudadanos y ciudadanas. Para ello, se realiza un estudio en dos municipios seleccionados al azar.
Pregunta 3. En el primer municipio, la proporción de personas comprometidas con el reciclaje es de p = 0, 7. Se toma una muestra aleatoria simple de 600 personas de dicho municipio: 3.1.a) (1 punto) Determine el número esperado de personas en la muestra elegida que no estarán comprometidas con prácticas de reciclaje. 3.1.b) (1,5 puntos) Mediante la aproximación por una normal, calcule la probabilidad de que el número de personas comprometidas con el reciclaje esté entre 408 y 432 , ambos inclusive.
Pregunta 3. En el segundo municipio: 3.2.a) (1,25 puntos) Se tomó una muestra aleatoria simple de 450 personas de las cuales 351 se declaran comprometidas con prácticas de reciclaje. Obtenga un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de personas del segundo municipio comprometidas con prácticas de reciclaje. 3.2.b) (1,25 puntos) Asumiendo que la proporción poblacional de los comprometidos con el reciclaje en este segundo municipio es p = 0, 8 , determıne el tamaño mínimo necesario de una muestra de personas para garantizar, con un nivel de confianza del 95 %, que el margen de error en la estimación no supere el 3 % (±3 %).
EJERCICIO 4 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4..
Pregunta 4. De dos sucesos A y B sabemos que: P (A ∪ B) = 1, P (B) = 0, 8 y P ( A¯) = 0, 55 , donde A¯ es el suceso complementario de A. 4.1.a) (1 punto) Calcule P (A | B). 4.1.b) (1 punto) Calcule P ( B¯ | A) siendo B¯ el suceso complementario de B. 4.1.c) (0,5 puntos) Calcule P ( A¯ ∩ B).
Pregunta 4. En los premios Grammy Latino, se sabe que el 40 % de los artistas nominados en la categoría de Mejor Álbum del Año son dúos, el 30 % son grupos musicales (más de dos artistas) y el 30 % son solistas. Además, se ha observado que el 20 % de los dúos, el 15 % de los grupos musicales y el 25 % de los solistas nominados han ganado el premio de Mejor Álbum del Año. Eligiendo al azar un artista nominado al Mejor Álbum del Año, y sabiendo que en este concurso los artistas sólo pueden presentarse por una de las tres categorías musicales, calcule la probabilidad de que: 4.2.a) (1,25 puntos) Haya ganado el Grammy Latino en dicha categoría. 4.2.b) (1,25 puntos) Dicho artista sea solista, sabiendo que ha ganado el Grammy Latino en dicha categoría.
NOTA: La resolución de los ejercicios por cualquier otro procedimiento correcto, diferente al propuesto por los coordinadores, ha de valorarse con los criterios convenientemente adaptados.
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN
ATENCIÓN: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)
Apartado (1.a): 1 punto. Cálculo correcto de la primitiva ............................................................. 0,50 puntos. Cálculo correcto de 𝐹𝐹(𝑡𝑡) ....................................................................... 0,25 puntos. Cálculo correcto de 𝐹𝐹(1) ...................................................................... 0,25 puntos. Apartado (1.b): 0,75 puntos. Cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento ...... 0,50 puntos. Justificación correcta del aumento en las dos primeras horas ............... 0,25 puntos. Apartado (1.c): 0,75 puntos. Cálculo correcto del valor 𝑡𝑡 = 2 ........................................................... 0,50 puntos. Cálculo correcto de 𝐹𝐹(2) ...................................................................... 0,25 puntos.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)
Pregunta 2.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.1.a): 1,25 puntos. Cálculo correcto de 𝐴𝐴−1^ ................................................................... 0,50 puntos. Cálculo correcto de D ...................................................................... 0,75 puntos. Apartado (2.1.b): 1,25 puntos. Cálculo correcto de 𝐴𝐴^4 .................................................................... 1,25 puntos.
Pregunta 2.2 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.2.a): 1,5 puntos. Cálculo correcto del determinante .................................................... 0,25 puntos. Cálculo correcto de los valores críticos ............................................ 0,50 puntos. Discusión correcta del sistema ......................................................... 0,75 puntos. Apartado (2.2.b): 1 puntos. Obtención de la solución del sistema ............................................... 1 punto.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)
Pregunta 3.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (3.1.a): 1 punto. Determinación de la distribución y sus parámetros ........................... 0,25 puntos Cálculo de la esperanza de la distribución ........................................ 0,25 puntos. Determinación correcta del número esperado de personas no comprometidas ........................................................................... 0,50 puntos. Apartado (3.1.b): 1,5 puntos. Aproximación correcta y justificada a la distribución normal ........... 0,75 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad pedida ....................................... 0,75 puntos.
NOTA: La resolución de los ejercicios por cualquier otro procedimiento correcto, diferente al propuesto por los coordinadores, ha de valorarse con los criterios convenientemente adaptados.
Pregunta 3.2 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (3.2.a): 1,25 puntos. Determinación de la proporción ........................................................ 0,25 puntos Determinación del valor 𝑧𝑧𝛼𝛼 ⁄ 2 ........................................................... 0,25 puntos. Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo ............... 0,25 puntos. Determinación correcta del intervalo de confianza .......................... 0,50 puntos. Apartado (3.2.b): 1,25 puntos. Determinación del valor crítico 𝑧𝑧𝛼𝛼 ⁄ 2 ................................................. 0,25 puntos. Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error ................... 0,25 puntos. Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra ......................... 0,75 puntos.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)
Pregunta 4.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (4.1.a): 1 punto. Planteamiento correcto de la probabilidad ........................................ 0,50 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad................................................... 0,50 puntos. Apartado (4.1.b): 1 punto. Planteamiento correcto de la probabilidad ......................................... 0,50 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad.................................................... 0,50 puntos. Apartado (4.1.c): 0,5 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad.................................................... 0,50 puntos.
Pregunta 4.2 (Puntuación máxima: 2,5 puntos) Apartado (4.2.a): 1,25 puntos. Planteamiento correcto de la probabilidad ........................................ 0,50 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad................................................... 0,75 puntos. Apartado (4.2.b): 1,25 puntos. Planteamiento correcto de la probabilidad ......................................... 0,50 puntos. Cálculo correcto de la probabilidad.................................................... 0,75 puntos.
2.2.b)
(A|B) =
f −→^2 −f^1
f^3 −→−^2 f^1
=⇒ z = 2y − 3 , x = 2 − y Por tanto, la solución es y = λ, x = 2 − λ, z = 2λ − 3.
EJERCICIO 3
Pregunta 3. La variable aleatoria X = ’número de personas del primer municipio comprometidas con prácticas de reciclaje’ sigue una distribución B(600, 0 ,7). 3.1.a) Como E[X] = np = 420, de las 600 personas de la muestra, el número esperado de personas comprometidas con el reciclaje en la muestra es de 420 personas y por tanto, el número esperado de personas no comprometidas con el reciclaje en la muestra es de 180 personas. 3.1.b) Se cumple que n ≥ 30 , np ≥ 5 y nq ≥ 5 , por lo tanto, podemos utilizar la aproximación a la distribución normal y tenemos que X ∼ N (420; 11,225). Aplicando la corrección por continuidad, la probabilidad pedida puede calcularse, entonces, como:
P (407, 5 < X < 432 ,5) = P
< Z <
= P (− 1 , 11 < Z < 1 ,11)
= 2 P (Z < 1 ,11) − 1 = 2 · 0 , 8665 − 1 = 0, 733.
Pregunta 3. 3.2.a) La proporción muestral pˆ se calcula como:
p ˆ =
Para obtener el intervalo de confianza del 90 % para la proporción, usamos la fórmula:
p ˆ ± z α 2
r pˆ(1 − pˆ) n Sustituyendo los valores:
0 , 78 ± 1 , 645
r 0 , 78 · (1 − 0 ,78) 450
Por lo tanto, el intervalo de confianza del 90 % para la proporción de personas comprometidas con el reciclaje es (0,7479; 0,8121). 3.2.b) Para calcular el tamaño mínimo de muestra n, utilizamos la fórmula:
n >
z α 2
p p(1 − p) E
Sustituyendo los valores:
n >
p 0 , 8 · (1 − 0 ,8) 0 , 03
Por lo tanto, el tamaño mínimo de muestra necesario es de 683 personas.
EJERCICIO 4
Pregunta 4. 4.1.a) P (A | B) = P^ P(A (∩BB) )= P^ (A)+P^ P(B (B)−)P (A∪B)= 0 ,45+0 0 , 8 , 8 −^1 = 00 ,^25 , 8 = 0, 3125.
4.1.b) P (A ∩ B¯) = P (A) − P (A ∩ B) = 0, 45 − 0 ,25 = 0, 2 ⇒ P ( B¯ | A) = P^ (A∩^ B¯) P (A) =^
0 , 2 0 , 45 = 0,^44. 4.1.c) P ( A¯ ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B) = 0, 8 − 0 ,25 = 0, 55.
Pregunta 4. Definimos los sucesos A = ’dúo nominado’, B = ’grupo musical nominado’, C = ’solista nominado’ y G = ’gana el premio Grammy Latino en la categoría de Mejor Álbum del Año’. 4.2.a) La probabilidad pedida es: P (G) = P (G | A) · P (A) + P (G | B) · P (B) + P (G | C) · P (C)
= 0 , 20 ·
4.2.b) La probabilidad pedida es:
P (C | G) =
P (G | C) · P (C)
P (G)
