Matemáticas básicas - Apuntes, Apuntes de Matemáticas

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Matem´aticas B´asicas

1 de octubre de 2005

´Indice general

Cap´ıtulo 1

Combinatoria, binomio de Newton y

simbolog´ıa

Sumario. El principio de inducci´on. El s´ımbolo sumatorio. Conceptos y f´ormu- las del an´alisis combinatorio: variaciones, permutaciones y combinaciones. N´umeros combinatorios. Binomio de Newton. Ejercicios.

1.1. Los n´umeros naturales y racionales. Combinatoria.

Sabemos que los naturales se notan por N y son { 0 , 1 , 2 ,.. .} , podemos definir en ellos una suma y un producto, propiedades que el alumno conoce y domina, aqu´ı recordaremos el principio de buena ordenaci´on y el m´etodo de inducci´on. Principio de buena ordenaci´on.- Todo subconjunto no vacio tiene primer elemento. M´etodo de inducci´on.- Dado un subconjunto U de N, cuyos elementos se caracterizan por verificar la propiedad P , es decir, U = {k ∈ N / P (k)} ; si se verifica:

1. La propiedad es cierta para un valor inicial. (0 ∈ U o 1 ∈ U)
2. Si un natural verifica la propiedad, tambi´en la verifica el siguiente. (k ∈ U ⇒ k + 1 ∈ U)

entonces U ≡ N. Observaciones.- Si en lugar de 1 se verifica que ˜n ∈ N, U ser´a el conjunto {˜n, n˜ + 1, n˜ + 2,.. .}. Si en lugar de 2 se verifica (k ∈ U ⇒ k + 2 ∈ U), entonces U ser´ıa el conjunto de los n´umeros pares o el de los impares, seg´un sea 0 ∈ U o 1 ∈ U. Se usa cuando necesitamos demostrar que una propiedad que depende de un n´umero natural, es cierta para todos los n´umeros naturales.

Ejemplo 1.1 Probar que

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n (n + 1) 2

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 =

n (n + 1) 2

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

Soluci´on.- Para n = 1 es cierta, tambi´en lo comprobamos para n = 2, 3 ,...

1 =

supuesto cierta para n = k, que se le llama hip´otesis de inducci´on, lo probamos para n = k + 1.

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =

k (k + 1) 2

• k + 1 =

k (k + 1) + 2 (k + 1) 2

=

(k + 2) (k + 1) 2

la primera igualdad es consecuencia de la hip´otesis de inducci´on y en la ´ultima hemos sacado factor com´un (k + 1). Probamos ahora la segunda identidad: Para n = 1 es cierta, tambi´en lo comprobamos para n = 2.

[

] 2

13 + 2^3 = 9 =

[

] 2

supuesto cierta para n = k, lo probamos para n = k + 1.

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + k^3 + (k + 1)^3 =

[

k (k + 1) 2

] 2

• (k + 1)^3 =

k^2 (k + 1)^2 + 4 (k + 1)^3 4

(k + 1)^2 [k^2 + 4 (k + 1)] 22

(k + 1)^2 [k^2 + 4k + 4] 22

(k + 1)^2 (k + 2)^2 22

[

(k + 1) (k + 2) 2

] 2

Ejercicio 1.1 Probar que

12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 =

n (n + 1) (2n + 1) 6

Ejercicio 1.2 Probar que 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n^2

Ejercicio 1.3 Probar que

1 1 · 2

n · (n + 1)

n

Ejercicio 1.4 Si n + (^1) n es un n´umero natural, tambi´en lo es na^ + (^) n^1 a.

Ejercicio 1.5 Hallar la ley general que simplifica el producto ( 1 −

n^2

y demostrarlo por inducci´on.

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

3. (^) n ∑

k=

a = na

4. Telesc´opica ∑n

k=

(ak − ak− 1 ) = an − a 0

Ejercicio 1.6 Calcular ∑n

k=

(2k − 1)

Sugerencia: 2 k − 1 = k^2 − (k − 1)^2.

Ejercicio 1.7 Calcular ∑n+r

k=

ak −

∑^ n+r

i=1+r

ai

Ejercicio 1.8 Razonar la veracidad o falsedad de las igualdades siguientes:

∑n

k=

ak −

∑n k=

ak n

n

∑^ n

k=

a^2 k n

( (^) n ∑

k=

ak n

2. (^) n ∑

i=

(2 + i) =

5 n + n^2 2

∑^2 n

j=1+n

j

∑^2 n

i=

(−1)i+ i

1.3. Combinatoria

La combinatoria es el arte de contar, y cuenta con dos principios b´asicos: el de adici´on y el de multiplicaci´on. Antes de abordar esto principios, recordemos que contar es hallar el n´umero de elementos de un conjunto, es decir, el cardinal de dicho conjunto. Y la primera forma de contar fue establecer corre- spondencias biyectivas entre los conjuntos a contar y los subconjuntos de N, de la forma { 1 , 2 ,... , n}.

Ejemplo 1.5 ¿C´uantos n´umeros tiene el conjunto { 7 , 8 , 9 ,... , 53 }? Soluci´on. 7 8 9 · · · 53 ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 · · · 53 − 6

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

Ejemplo 1.6 ¿C´uantos n´umeros hay entre m y n, con m < n?

Soluci´on. m m + 1 m + 2 · · · n = m + (n − m) ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 · · · (n − m) + 1

Ejemplo 1.7 ¿C´uantos n´umeros hay entre 597 y 3378?

Soluci´on. 3378 − 597 + 1.

Ejemplo 1.8 ¿C´uantos n´umeros impares hay entre 597 y 3378? Soluci´on. 597 599 601 · · · 3377 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 (298) + 1 2 (299) + 1 2 (300) + 1 · · · 2 (1688) + 1

y entre 298 y 1688, hay 1688 − 298 + 1.

Principio de adici´on.- Si se desea escoger un objeto que puede presentar r tipos distintos, y que para el primer tipo hay n 1 opciones, para el segundo tipo tenemos n 2 opciones, ..., y para el r − ´esimo nr ; entonces para escoger un elemento tenemos n 1 + n 2 + · · · + nr formas distintas.

Principio de multiplicaci´on.- Si un suceso se realiza en k fases y para la primera fase tenemos n 1 posibilidades, para la segunda n 2 , ..., y para la ´ultima nk; entonces el n´umero de formas en que se puede dar el suceso es n 1 · n 2 · · · · · nk.

Ejemplo 1.9 Si dispongo en mi armario de 5 camisas, 3 pares de pantalones, 6 pares de calcetines, y dos pares de zapatos. ¿De cu´antas formas distintas puedo vestirme?

Soluci´on.- Por el principio de multiplicaci´on ser´an:

5 · 3 · 6 · 2 = 180

formas distintas.

Ejemplo 1.10 ¿Cu´antos n´umeros distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?

Soluci´on.- Para elegir el primer n´umero s´olo tenemos una posibilidad, y es el 1, para la segunda tenemos dos posibilidades, al igual que para la tercera y la cuarta, luego el n´umero es:

Ejercicio 1.9 ¿Cu´antos n´umeros de 5 cifras son pares?¿Cu´antos empiezan por 5 y acaban en 8?

Aunque con estos principios se pueden resolver gran cantidad de problemas, existen f´ormulas que permiten hacer el conteo m´as rapidamente.

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

Ejemplo 1.15 ¿De cu´antas formas distintas se pueden sentar cinco personas en un banco?

Soluci´on. S´olo importa el orden, ya que se sientan todas, luego se trata de una permutaci´on

P 5 = 5! = 120

Observemos que n n! = (n − 1)! y como 1! 1 = 1 = 0!, se define 0! = 1.

1.3.2. Variaciones con repetici´on

Definici´on 1.2 Si consideramos que los elementos pueden repetirse, se tienen las variaciones con repetici´on que se notan por RV (^) nm y su n´umero es nm. Notemos que la restricci´on m ≤ n, carece ahora de sentido. Observemos que para la primera posici´on tenemos n posibilidades, n para la segunda, n para la tercera, ..., y n para la m-´emesima posici´on.

Ejemplo 1.16 ¿Cu´antas quinielas hay que rellenar para asegurar un pleno? Tenemos tres elementos 1 , x, 2 , que se pueden repetir y 15 partidos, por lo que son variaciones con repetici´on de tres elementos tomados de 15 en 15.

RV 315 = 3^15 = 14348907

1.3.3. Combinaciones

Definici´on 1.3 Llamaremos combinaciones de orden m, de n objetos a 1 , a 2 ,... , an, a todos los sub- conjuntos de m elementos que se puedan formar, de modo que dos combinaciones son distintas si difieren en alg´un elemento.

Dada una combinaci´on m-aria, ordenando sus elementos de todas las formas posibles, obtenemos variaciones distintas. Cada combinaci´on m-aria da lugar a m! variaciones distintas. Por tanto, si Cnm es el n´umero de combinaciones, tendremos que:

V (^) nm = Cmn · Pm ⇒ Cmn =

V (^) nm Pm

n! m! (n − m)!

n m

1.3.4. Combinaciones con repetici´on

Definici´on 1.4 A los grupos de m objetos, distintos o repetidos, elegidos de entre un grupo de n elementos, se llaman combinaciones con repetici´on. Se nota por RCmn y su n´umero es:

RCnm =

n + m − 1 m

para obtener este n´umero se reducen las combinaciones con repetici´on a combinaciones ordinarias, de la siguiente forma:

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

Dada una combinaci´on con repetici´on, por ejemplo, a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 a 4 a 5 , se le incrementa el ´ındice tantas veces como elementos le preceden, es decir, el 1o^ en 0, el 2o^ en 1, el 3o^ en 2, y as´ı sucesivamete, obteniendo, c 2 c 3 c 5 c 6 c 7 c 9 c 11 , as´ı logramos que todos los ´ındices resulten distintos y crecientes, ya que dos elementos consecutivos reciben ´ındices que por lo menos difieren en 1. Cada combinaci´on con repetici´on de n elementos tomados de m en m, queda representada por

una combinaci´on ordinaria de n+

︷^ ´ındices ︸︸ ︷ m − 1 elementos tomados de m en m. Rec´ıprocamente, toda combinaci´on de orden m formada con los n + m − 1 elementos, una vez reordenada por ´ındices crecientes, determina una combinaci´on con repetici´on sin m´as que rebajar los ´ındices sucesivos en 0, 1 ,... , m − 1 unidades.

Ejemplo 1.17 ¿De cu´antas formas distintas se pueden repartir 100 bolas en 25 urnas? Soluci´on. (^) ( 100 + 25 − 1 25 − 1

Ejemplo 1.18 ¿De cu´antas formas se pueden repartir 100 bolas en 25 urnas, de manera que no quede ninguna vacia? Soluci´on. Tenemos que colocar una bola en cada urna, luego nos quedan 75 bolas a repartir en 25 urnas. (^) ( 75 + 25 − 1 25 − 1

Ejercicio 1.10 ¿Cu´antas diagonales tiene un ex´agono? ¿Cu´antas diagonales tiene un pol´ıgono reg- ular de n lados?

1.3.5. Numeros combinatorios

Definici´on 1.5 Se define el n´umero combinatorio

(n k

= (^) k! (nn−!k)! , que representa el n´umero de sub- conjuntos de k elementos, que se pueden obtener de un conjunto de cardinal n.

Propiedades

1. (^) ( n 0

n n

n 1

= n

n k

n n − k

Cada vez que escogemos un subconjunto de k elementos, dejamos univocamente determinado un subconjunto de n − k elementos, y reciprocamente.

Combinatoria, binomio de Newton y simbologıa

Ejercicio 1.14 Calcular: ∑n

i=

n i

Ejercicio 1.15 Calcular: ∑n

i=

i

n i

Ejercicio 1.16 Sumar: ∑n

i=

i + 1

n i

Ejercicio 1.17 Calcular (^) ∑

i+j=

i^3 j^3

Ejercicio 1.18 Desarrollar

(a + b)^3 (a + b)^4

Ejercicio 1.19 ¿Qu´e es m´as f´acil acertar el gordo de la loteria nacional, la loteria primitiva o una quiniela de 15?

Cap´ıtulo 2

Trigonometr´ıa

Sumario. Angulos. Razones trigonom´´ etricas. Relaciones fundamentales en un tri´angulo. Funciones rec´ıprocas. Resoluci´on de triangulos. F´ormulas trigonom´etricas. Ejercicios.

2.1. Trigonometr´ıa

Trigonometr´ıa, rama de las matem´aticas que estudia las relaciones entre los lados y los ´angulos de tri´angulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonom´etricas de ´angulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometr´ıa son la trigonometr´ıa plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometr´ıa esf´erica, que se ocupa de tri´angulos que forman parte de la superficie de una esfera. En esta secci´on nos centraremos en el estudio de los conceptos fundamentales de la trigonometr´ıa plana.

2.1.1. Trigonometr´ıa plana

El concepto de ´angulo es fundamental en el estudio de la trigonometr´ıa. As´ı, un ´angulo queda determinado por un par de semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen com´un se le denomina v´ertice del ´angulo.

Angulo´

Teniendo en cuenta que las semirrectas son diferentes en cuanto a su identificaci´on (lado inicial y final), se suele identificar ´angulos de magnitud positiva si se generan con un radio que gira en el

Trigonometrıa

Radi´an. Es la medida usual de ´angulos en matem´aticas. La medida, en radianes, de un ´angulo se expresa como la raz´on del arco formado por el ´angulo, con su v´ertice en el centro de un c´ırculo, y el radio de dicho c´ırculo. Esta raz´on es constante para un ´angulo fijo para cualquier c´ırculo.

La magnitud de un ´angulo medido en radianes est´a dada por la longitud del arco de circunferencia, dividido por el valor del radio. El valor de este ´angulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ´angulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es peque˜na o familiar.

De esta forma, se puede calcular f´acilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ´angulo en radianes.

Long. arco de circunf erencia = [ Angulo´ en radianes] · [Radio de la circunf erencia]

1 rad



r ^ 

r

2.1.2. Relaci´on entre estas medidas

Teniendo en cuanta las relaciones anteriores se tiene sin dificultad la siguiente relaci´on:

2 · π rad = 360 grados

a partir de la cual se obtiene de manera inmediata la conversi´on entre ambas unidades de medida.

2.1.3. Angulos complementarios y suplementarios

En general dos ´angulos se dicen complementarios si verifican que su suma es igual a π/2 rad. ( grados), por otro lado,se dice que dos ´angulos son suplementarios si su suma es igual a π radianes (180 grados)

Trigonometrıa

α

α (^) β = π/ 2 − α

Angulos complementarios^ ´

α α

β = π − α

Angulos suplementarios^ ´

2.2. Razones trigonom´etricas

Dado un ´angulo cualesquiera, realizando un giro de manera adecuada podemos llevarlo a un sistema de referencia cartesiana que tiene origen en el punto (0,0), y la semirrectas inicial la haremos coincidir con el eje de abscisas. A partir del teorema de Tales que afirma que , ”Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la raz´on de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la raz´on de los correspondientes de la otra. ”

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

Obtenemos el siguiente resultado de manera inmediata: ”Dado un ´angulo α si trazamos perpen- diculares paralelas a uno de los lados, se determinan sobre ´estos segmentos proporcionales”.

α

a

a′ c

c′

b b′

Trigonometrıa

A

a

B

b C

c

Entonces se verifican las siguientes relaciones: Relaci´on fundamental entre los ´angulos de un tri´angulo A + B + C = π rad

Teorema del seno: a sen(A)

b sen(B)

c sen(C) Teorema del coseno: c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos(C)

Teorema de las tangentes: a + b tg

(A+B

2

a − b tg

( A−B

2

2.3.1. Funciones rec´ıprocas

Hasta el momento, dado un ´angulo nos proponemos obtener las razones trigonom´etricas asoci- adas a dicho ´angulo. Podemos plantearnos la pregunta rec´ıproca: Si conocemos el valor de la raz´on trigonom´etrica, ¿podemos conocer el ´angulo con el que trabajamos?. La respuesta es afirmativa definiendo de manera adecuada el conjunto donde podemos definir de manera rec´ıproca las funciones trigonom´etricas. As´ı, se definen las funciones arcoseno(arcsen), arcocoseno (arccos) y arcotangente (arctg) de la siguiente manera:

Arcsen : [− 1 , 1] → [−π/ 2 , π/2] x
α ⇔ sen(α) = x

Arc cos : [− 1 , 1] → [0, π] x
α ⇔ cos(α) = x

Arctg : (−∞, ∞) → [−π/ 2 , π/2] x
α ⇔ tg(α) = x As´ı, por ejemplo, tenemos: arcsen(^12 ) = π/ 6 arctg(1) = π/ 4 arc cos(^12 ) = π/ 3

arcsen(−

√ 3 2 ) =^ −π/^3 arctg(−1) =^ −π/^4 arc cos(

− 1 2 ) =^

3 π 2

Trigonometrıa

2.3.2. Resoluci´on de tri´angulos

Resolver un tri´angulo es hallar todos los elementos de este, es decir, sus tres lado y sus tres ´angulos. A partir de los resultados vistos anteriormente, es posible encontrar todos los elementos de un tri´angulo cualesquiera conociendo tres de sus elementos, siendo alguno de los datos conocidos la longitud de uno de sus lados.

A

a

B

b C

c

La siguiente tabla recoge los casos m´as comunes:

Datos a, A, B C = π 2 − A − B b = asen sen((BA)) c = asen sen((CA))

a, b, A c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos(C) B = arcsen

( (^) b a sen(A)

C = π 2 − A − B

a, b, c A = arc cos

b^2 +c^2 −a^2 2 bc

B = arc cos

c^2 +a^2 −b^2 2 ac

C = arc cos

a^2 +b^2 −c^2 2 ab

2.3.3. F´ormulas trigonom´etricas

F´ormulas de los ´angulos suma y diferencia:

• sen(α ± β) = sen(α) · cos(β) ± cos(α) · sen(β) • tg(α ± β) =

tg(α) ± tg(β) 1 ∓ tg(α)tg(β)

• cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sen(α) · sen(β)

F´ormulas del ´angulo doble y mitad:

• sen(2α) = 2 · sen(α) · cos(α) • cos(2α) = cos^2 (α) − sen^2 (α)
• sen(α 2 ) = ±

1 −cos(α) 2 •^ cos(

α 2 )) =^ ±

1+cos(α) 2

• tg(2α) = (^1) −^2 tgtg( 2 α()α)