Lic.Mg.ManuelTues taMoreno
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Facultad deIngeniería
deSistemaseInformática
Lic. Manuel Tuesta Moreno Mg.
Docente FISI - UNAP
Si he conseguido ver más lejos, es porque
me he aupado en hombres de gigantes.
Isaac Newton.
ManuelTuestaMoreno
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Se representa en una de las siguientes formas:
𝑭 𝒙,𝒚,𝒅𝒚
𝒅𝒙 𝟎 … 𝟏
despejando la derivada
𝒅𝒚
𝒅𝒙
se obtiene:
𝒅𝒚
𝒅𝒙 𝒈 𝒙,𝒚
También se puede expresar como:
𝑴𝒙,𝒚𝒅𝒙𝑵𝒙,𝒚𝒅𝒚𝟎
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SEPARACIÓN DE VARIABLES Y REDUCCIÓN A
SEPARACIÓN DE VARIABLES
SEPARACIÓN DE VARIABLES. Las variables de la
ecuación 𝑴𝒙,𝒚 𝒅𝒙𝑵 𝒙,𝒚𝒅𝒚𝟎 se pueden separar
si es posible escribir la ecuación de la forma
𝒇
𝟏
𝒙.𝒈
𝟐
𝒚𝒅𝒙𝒇
𝟐
𝒙.𝒈
𝟏
𝒚𝒅𝒚𝟎 𝟏
El factor integrante
𝟏
𝒇
𝟐
𝒙.𝒈
𝟐
𝒚
hallado simplemente
observando la forma de la ecuación, transforma
𝟏en
𝒇
𝟏
𝒙
𝒇
𝟐
𝒙𝒅𝒙 𝒈
𝟏
𝒚
𝒈
𝟐
𝒚𝒅𝒚 𝟎
de donde se puede obtener por integración la
primitiva.
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P-01) Resolver 𝒙
𝟑
𝒅𝒙 𝒚𝟏
𝟐
𝒅𝒚 𝟎
𝑹:𝟑𝒙
𝟒
𝟒 𝒚𝟏
𝟑
𝒄
P-02) Resolver 𝒙
𝟐
𝒚𝟏 𝒅𝒙𝒚
𝟐
𝒙𝟏 𝒅𝒚 𝟎
𝒙𝟏
𝟐
𝒚𝟏
𝟐
𝟐𝑳𝒏 𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒄
P-03) Resolver 𝟒𝒙𝒅𝒚 𝒚𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝒅𝒚
𝑹:𝑳𝒏 𝒙𝟒 𝑳𝒏𝒙𝟒𝑳𝒏𝒚 𝒄 ó 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒙𝟒 𝒚
𝟒
𝒄𝒙
P-04) Resolver
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟒𝒚
𝒙𝒚𝟑
𝑹:𝑪𝒙
𝟒
𝒚
𝟑
𝒆
𝒚
𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒙
𝟒
𝒚
𝟑
𝑪𝒆
𝒚
P-05) Hallar la solución particular de 𝟏𝒙
𝟑
𝒅𝒚
𝒙
𝟐
𝒚𝒅𝒙 𝟎 que satisfaga las condiciones iniciales
𝒙𝟏,𝒚𝟐.𝑹: 𝒚
𝟑
𝟒 𝟏𝒙
𝟑
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ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Una función
𝒇
𝒙,𝒚se
llama homogénea de grado 𝒏si
𝒇
𝝀𝒙,𝝀𝒚 𝝀
𝒏
𝒇
𝒙,𝒚.
La ecuación diferencial 𝑴𝒙,𝒚𝒅𝒙𝑵𝒙,𝒚𝒅𝒚𝟎 se
denomina homogénea si 𝑴𝒙,𝒚y𝑵 𝒙,𝒚son
homogéneas y del mismo grado.
La transformación 𝒅𝒚 𝒖𝒅𝒙 𝒙𝒅𝒖 reduce cualquier
ecuación homogénea a la forma
𝑷𝒙,𝒖𝒅𝒙𝑸𝒙,𝒖𝒅𝒖𝟎
en la que las variables se pueden separar.
Después de integrar, se sustituye 𝒖por 𝒚𝒙
⁄para
recobrar las variables originales.
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P-06) Si 𝑴 𝒙,𝒚𝒅𝒙𝑵𝒙,𝒚𝒅𝒚𝟎 es homogénea,
demostrar que con la transformación 𝒚𝒖𝒙 se
conseguirá la separación de las variables.
P-07) Resolver 𝒙
𝟑
𝒚
𝟑
𝒅𝒙 𝟑𝒙𝒚
𝟐
𝒅𝒚 𝟎.
𝑹: 𝒙
𝟑
𝟐𝒚
𝟑
𝑪𝒙
P-08) Resolver 𝒙𝒅𝒚 𝒚𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝒚
𝟐
𝒅𝒙 𝟎.
𝑹:𝑪𝒙 𝒆
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒚𝒙
⁄
ManuelTuestaMoreno
