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Taller de Cálculo Vectorial: Derivadas Parciales, Planos Tangentes y Más, Apuntes de Matemáticas

Matemáticas

Cálculo de derivadas , limites , cálculo diferencial e integral

Tipo: Apuntes

2023/2024

Subido el 29/03/2024

jose-martinez-1dp
jose-martinez-1dp 🇨🇴

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
Cálculo Vectorial
Taller 2: Derivadas parciales, Planos tangentes, Aproximaciones lineales y Regla de la cadena
1. Calcule las primeras derivadas parciales de la función:
(a) f(x, t) = e−tcos πx.
(b) u(r, θ) = sen(rcos θ).
(c) f(x, y) = arctan(xy2).
(d) f(x, y, z) = log(x+ 2y+ 3z).
(e) h(x, y, z, t) = x2ycos(z/t).
(f) f(x, y, z ) = zexyz .
(g) u(x, y, z) = xy arc sen(yz).
(h) u=px2
1+x2
2+···+x2
n.
2. Sea f:R2→Rdada por:
f(x, y) =
xy
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0si (x, y) = (0,0).
Demuestre que fx(0,0) = fy(0,0) = 0 y que fno es continua en (0,0).
3. Si f(x, y) = x(x2+y2)−3/2esen(x2y), determine fx(1,0).
Sugerencia: En lugar de hallar primero fx(x, y ), observe que es más fácil usar la definición de derivada
parcial.
4. Mediante derivación implícita determine ∂z /∂x y∂ z/∂y:
(a) x2+ 2y2+ 3z2= 1.
(b) x2−y2+z2−2z= 4.
(c) ez=xyz.
(d) yz +xlog y=z2.
(e) x3+y3+z3+ sen xz + cosyz = 15.
(f) ez+x2log z+y= 0.
5. Determine las segundas derivadas parciales:
(a) f(x, y) = x3y5+ 2x4y.
(b) f(x, y) = sen2(mx +ny).
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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

Cálculo Vectorial Taller 2: Derivadas parciales, Planos tangentes, Aproximaciones lineales y Regla de la cadena

  1. Calcule las primeras derivadas parciales de la función: (a) f (x, t) = e−t^ cos πx. (b) u(r, θ) = sen(r cos θ). (c) f (x, y) = arctan(xy^2 ). (d) f (x, y, z) = log(x + 2y + 3z). (e) h(x, y, z, t) = x^2 y cos(z/t). (f) f (x, y, z) = zexyz. (g) u(x, y, z) = xy arc sen(yz). (h) u = √x^21 + x^22 + · · · + x^2 n.
  2. Sea f : R^2 → R dada por: f (x, y) =

xy x^2 + y^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0), 0 si (x, y) = (0, 0). Demuestre que fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0 y que f no es continua en (0, 0).

  1. Si f (x, y) = x(x^2 + y^2 )−^3 /^2 esen(x^2 y), determine fx(1, 0). Sugerencia: En lugar de hallar primero fx(x, y), observe que es más fácil usar la definición de derivada parcial.
  2. Mediante derivación implícita determine ∂z/∂x y ∂z/∂y: (a) x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1. (b) x^2 − y^2 + z^2 − 2 z = 4. (c) ez^ = xyz. (d) yz + x log y = z^2. (e) x^3 + y^3 + z^3 + sen xz + cos yz = 15. (f) ez^ + x^2 log z + y = 0.
  3. Determine las segundas derivadas parciales: (a) f (x, y) = x^3 y^5 + 2x^4 y. (b) f (x, y) = sen^2 (mx + ny).

(c) w = √u^2 + v^2. (d) z = arctan 1 x−+xyy. (e) v = exey.

  1. Sea f : R^2 → R dada por: f (x, y) =

xy(x^2 − y^2 ) x^2 + y^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0), 0 si (x, y) = (0, 0). (a) Encuentre fx(x, y) y fy(x, y) cuando (x, y) 6 = (0, 0). (b) Calcule fx(0, 0) y fy (0, 0). (c) Demuestre que fxy(0, 0) = − 1 y fyx(0, 0) = 1.

  1. Sea f : R^2 → R dada por: f (x, y) =

x^2 arctan(y/x) − y^2 arctan(x/y) si xy 6 = 0, 0 si xy = 0. Demuestre que fxy(0, 0) 6 = fyx(0, 0).

  1. Le dicen que hay una función f cuyas derivadas parciales son fx(x, y) = x + 4y y fy (x, y) = 3x − y. ¿Debe creerlo?
  2. Encuentre la derivada parcial indicada: (a) f (x, y) = x^4 y^2 − x^3 y; fxxx, fxyx. (b) f (x, y, z) = exyz^2 ; fxyz. (c) u = erθ^ sen θ; (^) ∂r∂ 23 u∂θ. (d) f (x, y, z) = xy^2 z^3 + arc sen(x√z); fxzy. (e) g(x, y, z) = √1 + xz + √ 1 − xy; gxyz.
  3. Compruebe que la función u = e−αk^2 t^ sen(kt) es una solución de la ecuación de la conducción de calor ut = α^2 uxx.
  4. Verifique que la función u = (x^2 + y^2 + z^2 )−^1 /^2 es una solución de la ecuación de Laplace:

uxx + uyy + uzz = 0.

  1. Si f y g son funciones de una sola variable derivables dos veces, demuestre que la función

u(x, t) = f (x + at) + g(x − at) es una solución de la ecuación de onda utt = a^2 uxx.

(b) Demuestre que: (^) ( ∂z ∂x

( (^) ∂z ∂y

( (^) ∂z ∂r

  • r^12

( (^) ∂z ∂θ

  1. Si u = f (x, y), donde x = es^ cos t y y = es^ sen t. Demuestre que: ( (^) ∂u ∂x

( (^) ∂u ∂y

= e−^2 s

[( (^) ∂u ∂s

( (^) ∂u ∂t

) 2 ]

  1. Si z = f (x, y), donde x = r cos θ y y = r sen θ. (a) Determine ∂z/∂r y ∂z/∂θ. (b) Demuestre que: ∂ (^2) z ∂x^2 +^

∂^2 z ∂y^2 =^

∂^2 z ∂r^2 +

r^2

∂^2 z ∂θ^2 +

r

∂z ∂r.

  1. Una función f se llama homogénea de grado n si satisface la ecuación f (tx, ty) = tnf (x, y) para toda t, donde n es un entero positivo y f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. (a) Compruebe que f (x, y) = x^2 y + 2xy^2 + 5y^3 es homogénea de grado 3. (b) Demuestre que si f es homogénea de grado n, entonces x ∂f ∂x + y ∂f ∂y = nf (x, y). Sugerencia: aplique la regla de la cadena para derivar f (tx, ty) con respecto a t.
  2. Si f es homogénea de grado n, demuestre que x^2 ∂ ∂x^2 f 2 + 2xy ∂x∂y∂^2 f + y^2 ∂ ∂y^2 f 2 = n(n − 1)f (x, y).
  3. Si f es homogénea de grado n, demuestre que

fx(tx, ty) = tn−^1 fx(x, y).