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LÓGICA PROPOSICIONAL:
LÓGICA: Es la ciencia formal que
estudia los principios de la
demostración e inferencia válida.
ENUNCIADO: Es una oración o
expresión (lingüística o matemática)
que expresa una idea con
ambigüedades, la cual no es posible
asignarle un valor definido de verdad o
falsedad.
Ejemplos:
Atiende al cliente (ORDENES)
¡Qué hermoso! (ADMIRACIÓN)
Quisiera ser próspero (DESEO)
Muchos millones se perdieron
(AMBIGUEDAD)
PROPOSICIÓN: En el ámbito de
las matemáticas , las proposiciones son oraciones o expresiones ( enunciados) que expresa ideas sin ambigüedades, la cual es posible asignarle un valor definido de verdad o falsedad. La verdad de la proposición ya aparece demostrada. Ejemplos: El río Ucayali es caudaloso. (V) El tuerto es apodo del hijo de Diego de Almagro. (V) Miguel Grau nació en Tumbes. (F) El último Inca Atahualpa nació en Quito Ecuador. (V) A Andrés Avelino Cáceres le decían el “Brujo de los Andes” (V)
(F)
11 es un número primo. (V)
sen ( 45 )=
El padre de la Contabilidad se llamó José Luís Rebaza Vásquez (F)
La fórmula del agua es^ H^2 O^ (V)
VARIABLE: Es una cantidad susceptible de variar en un cierto campo o recorrido
(conjunto: N ,R , Z ,…)
Notación: Las variables se representan por las letras minúsculas: x, y, z, t, w, v PROPOSICIÓN COMPONENTE O SIMPLE: Son los enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado, no llevan ningún conectivo lógico. Ejemplo: CONECTIVOS LÓGICOS: Los conectivos lógicos son palabras que se utilizan para ligar dos proposiciones componentes. Los conectivos lógicos tienen representación simbólica. PALABRAS REPRESENTACIÓN SIMPLE
“y” ∧
“o” ∨
Si,…entonces… ⟹
… si, y sólo si… ⟺
“no” ∽ ,− ,¬ PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas proposiciones que se obtienen de la combinación de dos o más proposiciones componentes, las cuales son ligadas por los conectivos lógicos. Ejemplo: Observación: El valor de verdad de una proposición compuesta dependerá de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Para determinar el valor de verdad se hace uso de las “tablas de verdad” Observación: (combinación de dos o más proposiciones) Para una proposición “p” le corresponde 2 1 = 2 posibles valores de verdad P 1 0
Para dos proposiciones “p” y “q” le corresponde (^22) = 4 p q 1 1 1 0 0 1 0 0 Para tres proposiciones “p”, “q” y “r” le corresponde (^23) = 8 p q r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Para “n” proposiciones p 1 , p 2 , p 3 ,… , p n
habrán 2 n^ combinaciones de valores de verdad. CONJUNCIÓN: Sean “p” y “q” dos proposiciones cualesquiera, si éstas proposiciones se unen por la palabra “y”, se forma la proposición compuesta “p y q”, que se denomina proposición conjuntiva o simplemente conjunción de “p” y “q”. La conjunción de las proposiciones “p” y “q” se
simboliza por la forma siguiente: p ∧ q.
La siguiente tabla muestra los valores de las
proposición compuesta p ∧ q , para todos los
posibles valores de las proposiciones componentes “p” y “q”.
p q p ∧ q
Esta tabla se denomina tabla de verdad, la cual define la conjunción. Observación: Es importante tener en cuenta que en el lenguaje común se utlizan las palabras: pero, sin embargo, más aún, además, etc., como significado equivalente al de la palabra “y”. Ejm. JCMC sabe manejar muy bien, sin embargo no posee licencia de conducir. Observación: Algunas veces se usa el símbolo de la coma (,) para evitar el empleo reiterado de la “y”. Ejm. 69 es un número natural, impar, menor que 100 y múltiplo de tres. (Posee 4 proposiciones componentes, el valor de verdad de ésta proposición compuesta dependerá de los valores de verdad de las proposiciones componentes) DISYUNCIÓN: Una proposición compuesta que se forma uniendo 2 proposiciones por la palabra “o” se denomina proposición disyuntiva o simplemente disyunción. No es fácil dar el valor de verdad de uan disyunción guiándose sólo por el uso que comúnmente damos a la palabra “o”. Esta dificultad proviene de la ambigüedad con que se usa la palabra “o”, como lo muestra los siguientes ejemplos. (1) JCMC es médico o matemático (2) LAVT tiene 45 o 52 años de edad En (1), se entiende que JCMC puede tener una de las dos profesiones o ser profesional en ambas disciplinas. En cambio en (2), se entiende que LAVT puede tener una de las dos edades indicadas, pero no ámbas. O sea que, en nuestro lenguaje, la palabra “o” puede usarse en sentido inclusivo (“p” o “q” o ámbos), como en el ejemplo (1), o más bien en
antecedente “p” es verdadero y el consecuente “q” es falso. Observación:
1. La proposición p ⟹ q , no significa
que “p” es la causa de “q”, ni tampoco significa que “q” se deduce de “p”.
- Una proposición condicional de la
forma p ⟹ q se puede leer de tres
maneras: “Si p, entonces q” “p, sólo si q” “q, si p” Ejemplo:
- Si veinticuatro es par, entonces es divisible por dos. Donde p: doce es par q: doce es divisible por dos. Esta proposición puede ser expresada también como: a. veinticuatro es par, sólo si es divisible por dos. b. Veinticuatro es divisible por dos, si es par. Observación: Cuando en un párrafo, se encuentran los términos: porque, puesto que, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, dado que; éstos términos, también son conectivos condicionales. Se caracterizan porque después de cada uno de éstos términos está el antecedente. Ejemplo: La profesora Maruja enseña a enfermería en el IESTPL, puesto que la profesora Diana Gil Peña está de licencia médica. Tenemos: p: La profesora Maruja enseña a enfermería en el IESTPL. q: La profesora DGP está de licencia médica.
En símbolos: q ⟹ p
EL BICONDICIONAL: La bicondicional de dos proposiciones “p” y “q” es la proposición compuesta que resulta de unir “p” y “q” con el conectivo “si y sólo si”. El bicondicional de las proposiciones “p” y “q” se simboliza por:
p ⟺ q
que se lee “p, si y sólo si q”, y es definida por la siguiente tabla de verdad:
p q p ⟺ q
Según la tabla podemos decir que la proposición bicondicional es verdadera si ámbas proposiciones componentes son verdaderas o falsas, en el resto de los casos es falsa Ejemplo:
Observación:
( p ⟺ q ) ≡ [( p ⟹ q ) ∧ ( q ⟹ p ) ]
USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
En un párrafo que se presentan proposiciones componentes, conectivos lógicos, comas y puntos se requiere, para su representación simbólica, el buen uso de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves). Los signos de agrupación se usan para indicar la jerarquía de los conectivos lógicos y asi evitar las ambigüedades. Ejemplo:
- Si me aumentan el sueldo y ahorro, entonces viajaré a Piura. p: Aumentan el sueldo q: Ahorro. r: Viajaré a Piura. La proposición compuesta que se formaría sería de la siguiente forma:
( p ∧ q ) ⟹ r
proposición condicional.
- Rony Mendez Pérez jugó la final de futbol inter institutos, puesto que Anthony Ruiz Torres se lesionó; además Rony Mendez Pérez jugó de posición defensa y Anthony Ruíz su posición es central.
- Si los alumnos del Instituto de educacion superior teconoligico publico laredo son cantantes entonces 8 no es un número entero; además, si 8 no es un número entero entonces los alumnos del Instituto de educacion superior tecnológico público laredo son cantantes. Mas aún 8 es un número entero.
- Si las bailarinas son actrices, entonces todos los números pares no son primos; más aún, si todos los números pares no son primos entonces las bailarinas son actrices. Consideremos las siguientes proposiciones componentes y las letras escojidas para representarlas: p: Las bailarinas son actrices q: Los números pares son primos. La expresión propuesta puede ser expresada en la forma compuesta siguiente:
( p ⟹ ∽ q ) ∧ ( ∽ q ⟹ p )
- A pedro le agrada la bebida “A” o la bebida “B”, pero no ámbas; Además si le agrada la bebida “A”, también le agrada la bebida “B”. Sea: p: Pedro le agrada la bebida “A” q: Pedro le agrada la bebida “B” La expresión simbólica de la proposición compuesta es:
[( p ∨ q ) ∧ ∽ ( p ∧ q ) ] ∧ ( p ⟹ q )
TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES
COMPUESTAS:
Ejemplos: TAUTOLOGÍA: Denominaremos tautología a toda proposición compuesta que es siempre verdadera, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. Ejemplos:
1. p ⟹ p
2. p ∨ ∼ p
3. ∼ ( p ∧ ∼ p )
CONTRADICCIÓN: Diremos que una proposición compuesta es una contradicción, si es siempre falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. Ejemplos:
1. p ∧ ∼ p
2. ∼ [( ∼ p ) ⟹ ( p ⟹ ∼ q ) ]
CONSISTENCIA:
Diremos que una proposición compuesta es una consistencia, si es siempre falsa y verdadera a la vez, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes Ejemplos:
1. ( p ∨ q ) ⟹ ( r △ ∼ p )
2. ( p ⟺ q ) △ ( ∼ q ∧ r )
PROPOSICIONES EQUIVALENTES:
Ejemplo: Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
p ∧ ( q ∨ r ) y ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
p q r p ∧ ( q ∨ r )
CIRCUITO EN PARALELO : Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno a lado del otro. Se le representa mediante una disyunción. BASTA QUE UNO DE LOS INTERRUPTORES ESTÉ CERRADO PARA QUE EL RESULTAO SEA IGUAL A UNO Las operaciones se expresan de la siguiente manera: La Conjunción: se representa mediante dos interruptores conectados en serie. Si uno de ellos está abierto la electricidad no llega a su destino, lo que se ve reflejado en las tablas de verdad. La Disyunción Inclusiva: se representa mediante dos interruptores en paralelo, donde le electricidad pasa a menos que los dos estén abiertos, es decir, los dos sean falsos. La Condicional: a partir de las leyes complementarias, podemos definir a la
condicional como ~p ∨ q , por lo que, mediante
un circuito lógico quedaría como: La bicondicional: mediante las leyes complementarias podemos redefinirla
como (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) , entonces:
La disyunción exclusiva: finalmente, podemos expresarla mediante leyes
complementarias por (p ∨ q) ∧ (~p ∨ ~q) , por lo
que quedaría:
