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1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito
Teoría de grafos
Por: Iván Cruz Aceves
Es común escuchar y utilizar la palabra gráfica que se usa para mostrar ciertas estructuras que representan un comportamiento de datos, mapas, circuitos e inclusive diagramas de flujo, tales como los mostrados a continuación en la figura 1 :
Figura 1. Distintos tipos de gráficas.
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Dentro de las matemáticas discretas se suelen utilizar gráficas que sean capaces de describir situaciones de cálculo de caminos, probabilidad, o cualquier problema que lo permita.
Por ejemplo, es común utilizar gráficas, también conocidas como grafos, para describir conexiones entre ciudades, como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Ejemplo de grafo. UVEG (2015)
Un grafo dirigido simplemente es una gráfica del tipo:
La cual indica una dirección, lo que significa que únicamente debe ser tomado en cuenta estrictamente en esa dirección y no tiene regreso explícito al punto de origen. Se dice que la gráfica anterior contiene dos vértices o nodos y una arista.
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Figura 5. Diagrama de flujo de la estructura de selección múltiple ejemplificando un grafo dirigido.
Como se puede observar en el fragmento de diagrama de flujo anterior, el orden de jerarquía es descendente e inicia con el valor de var = 3, posteriormente entra a la selección múltiple mejor conocida como switch o case , la cual se encarga de buscar si el caso o valor de la variable var existe dentro de los casos predefinidos y en caso de encontrarlo, como lo indica, los grafos dirigidos le señalan a la variable un nuevo valor a tomar que en este caso se mantendría en 3.
Grafos no dirigidos Los grafos no dirigidos son líneas que no necesariamente tienen que llevar una dirección por lo cual se puede interpretar que la separación entre dos puntos es simétrica. Este tipo de gráficos es muy utilizado para cálculo de distancias, o bien, de cableado en redes dentro de edificios u organizaciones.
Para ejemplificar más su uso vamos a tomar únicamente el diagrama formado por los estados de la República Mexicana de la figura 2 de la lectura.
Figura 6. Grafo de seis estados de la República Mexicana, extraído de la figura 2.
var = 3
var
var = 1 var = 2 var = 3 var = 4^ var = 5
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En esta figura se puede observar que ningún grafo está dirigido, por lo tanto, podemos asumir varias cosas; por ejemplo, podemos afirmar que existe la misma distancia del punto 1 al punto 2, que del punto 2 al punto 1, es decir, existe la propiedad de simetría.
Ahora bien, con esa información podemos generar una matriz, tomando como base los nodos y las aristas que tiene el diagrama; por ejemplo:
El nodo 1 tiene una arista hacia el nodo 2 y hacia el nodo 3, por lo que si representamos esa información en una matriz tendríamos lo siguiente:
Tabla 1. Representación matricial de la relación entre el nodo 1 y los demás nodos de la figura 6.
Por otro lado, el nodo 2 tiene aristas con los nodos 1, 3, 5 y 6, por lo que la representación en la matriz quedaría de la siguiente manera:
Tabla 2. Representación matricial de la relación entre el nodo 2 y los demás nodos de la figura 6.
Por su parte, el nodo 3 tiene aristas con los nodos 2, 4 y 5, por lo que la representación quedaría:
Tabla 3. Representación matricial de la relación entre el nodo 3 y los demás nodos de la figura 6.
Al final, revisando cada uno de los nodos y las aristas con que cuenta se tendría una tabla como la que se muestra a continuación.
P1 P2 P3 P4 P5 P
P1 1 1 0 0 0 1
P2 1 1 1 0 1 1
P3 0 1 1 1 1 0
P4 0 0 1 1 1 0
P5 0 1 1 1 1 1
P6 1 1 0 0 1 1
Tabla 4. Vista en forma de matriz del grafo de la figura 6.
nodos 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 0 0 1
nodos 1 2 3 4 5 6 2 1 0 1 0 1 1
nodos 1 2 3 4 5 6 3 0 1 0 1 1 0
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3.- Ahora consideramos el nodo 2. Nos posicionamos en el renglón 2 y completamos las aristas hacia los nodos correspondientes.
Figura 9. Relación del nodo 2 con los demás nodos que componen la tabla 2.
4.- Ahora consideramos el nodo 3. Nos posicionamos en el renglón 3 y completamos las aristas hacia los nodos que hagan falta.
Figura 10. Relación del nodo 3 con los demás nodos que componen la tabla 2.
5.- Ahora sería el turno del nodo 4 pero, como podemos observar en la imagen anterior, ya se encuentran todos los nodos unidos, por lo tanto, hemos terminado de dibujar el grafo correspondiente a la tabla.
Una manera de verificar la corrección del grafo es revisar que cada nodo tenga n-1 aristas, donde n es el número de nodos. Para el ejemplo anterior, ya que los nodos son cuatro, cada nodo deberá tener tres aristas.
Bibliografía
Gutiérrez, E., y Larios, R. (1998). Fundamentos de Matemáticas y Lógica. México: Instituto Politécnico Nacional. Johnsonbaugh, R., y Palmas, O. (1999). Matemáticas discretas. México: Prentice Hall.
