¡Descarga Matematicas ejercicios de la selectividad y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
RECULL DE PROBLEMES I QÜESTIONS DE SELECTIVITAT SOBRE DERIVADES
1) PAU 1999 Sèrie 1 Problema 1:
Donada la funció ( )
f x x
x
a) Estudieu-ne la continuïtat. b) Estudieu-ne els intervals de creixement i decreixement i els màxims imínims locals.
c) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'eix OX i les rectesverticals x = 0 i x = 2.
2) PAU 1999 Sèrie 2 Qüestió 1: La gràfica d'una funció és la que hi ha en el dibuix següent. Quina és la gràficade la seva funció derivada? En quins punts és discontínua la derivada?
3) PAU 1999 Sèrie 2 Problema 1:
Considereu la funció ( ) 2
f x
x x
a) Trobeu el domini de f^ ( x^ )i les asímptotes.
b) Determineu el signe de la funció en el seu domini (determinar el signe de f ( x )vol dir establir per a
quins valors de x es compleix f ( x ) ≥ 0 i per a quins f ( x ) ≤ 0 ).
c) Trobeu-ne els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius. d) Feu un esquema de la gràfica de la funció.
4) PAU 1999 Sèrie 5 Problema 1: Trobeu l'altura i el radi de la base del cilindre de volum màxim inscrit en una esfera de radi 1.
5) PAU 1999 Sèrie 6 Problema 1:
Considereu la funció (^) ( )
2
x x
y f x
x
a) Feu un estudi de les seves asímptotes. b) Calculeu els punts en què aquesta funció té extrem relatiu i digueu per a quins intervals del domini la funció és creixent. c) Feu un esbós de la gràfica de la funció a partir de les dades obtingudes en els apartats anteriors.
6) PAU 2000 Sèrie 1 Qüestió 1:
Calculeu els valors de a tals que les tangents a la gràfica de la funció ( )
3 2
f x = ax + 2 x + 3 en els
punts d'abscisses x = 1 i x = − 1 siguin perpendiculars entre si.
7) PAU 2000 Sèrie 1 Problema 1: Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent:
Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25. pessetes per cada metre quadrat edificable. a) Determineu la relació que hi ha entre l'amplada x i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable. b) Determineu l'expressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada x del rectangle edificable. c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny? d) Quin és aquest valor màxim?
8) PAU 2000 Sèrie 2 Qüestió 1:
a) Trobeu els extrems relatius de la funció polinòmica ( )
3 3 2
f x = x − 2 x − 6 x − 3 i calculeu els valors
de f ( x )en aquests punts. A partir d'aquestes dades, feu undibuix aproximat de la seva gràfica.
b) Demostreu que l'equació 3 3 2
x − 2 x − 6 x − 3 = 0 té, exactament, tres solucions reals.
9) PAU 2000 Sèrie 2 Problema 1: El costat desigual d'un triangle isòsceles mesura 12 m, i l'altura sobre aquest costat és de 5 m. a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una expressió de la suma de les distàncies d'aquest punt a cada un dels vèrtexs del triangle. b) Determineu els punts sobre l'altura que compleixen que la suma de les distàncies als tres vèrtexs del triangle sigui màxima i els punts per als quals sigui mínima.
10) PAU 2000 Sèrie 3 Qüestió 2:
Determineu els punts de la gràfica de ( )
f x = x^4 + 5 x
on la recta tangent és paral·lela a la bisectriu
del primer quadrant. Calculeu l'equació d'aquestesrectes tangents.
11) PAU 2000 Sèrie 3 Problema 1:
Considereu la funció (^) ( )
2
x
f x
x a
, on a és un paràmetre.
a) Calculeu a sabent que la recta y = x + 2 és una asímptota obliqua d'aquesta funció.
16) PAU 2001 Sèrie 4 Problema 1:
La riba d'un tram de riu descriu la corba 2
y = x per a x entre –3 i 3, i en elpunt A = (0, 4) hi ha un
poble, tal com es pot veure en l'esquema següent:
a) Expresseu la distància des d'un punt qualsevol d'aquesta vora del riu fins alpoble, en funció de l'abscissa x. b) Quin és el punt de la vora d'aquest tram de riu que és més lluny del poble? c) Hi ha algun punt de la vora del riu a una distància del poble inferior a 2?
17) PAU 2001 Sèrie 5 Qüestió 1:
Per a cada valor del paràmetre a ∈ ℝ , considereu la funció ( )
3 a
f x x
x
= + (definida per a tots els
valors de x diferents de 0).
a) Determineu per a cada valor del paràmetre a, els extrems relatius que té la funció f ( x ).
b) Per a quins valors del paràmetre a la funció f ( x ) és sempre creixent?
18) PAU 2002 Sèrie 1 Qüestió 2:
Se sap que la derivada d'una funció f ( x )és: ( )
2
x x
f x
x
Calculeu les abscisses dels punts on la funció f^ ( x )^ té els seus extrems relatius,especificant per a cada
un dels valors que obtingueu si es tracta d'un màxim od'un mínim relatiu.
19) PAU 2002 Sèrie 1 Problema 1: Suposem que el Sol es troba a l'origen d'un sistema de coordenades i que un cometa segueix una
trajectòria donada per la paràbola 2 y = − 1 x , tal com es veu a la figura següent:
a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol? b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa? c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la màxima distància del Sol? d) Hi ha algun punt en què la distància entre el Sol i el cometa sigui un màximlocal o relatiu? Nota : Teniu present que la distància entre dos punts és màxima o mínima quan el quadrat de la distància és màxim o mínim.
20) PAU 2002 Sèrie 2 Qüestió 2:
Sabent que la funció y = (^) ( x + a (^) )( x^2 − (^4) ), on a és un nombre real, té un màxim i unmínim relatius, i
que el màxim relatiu s'assoleix en el punt
x = − , trobeu l'abscissa del mínim relatiu.
21) PAU 2002 Sèrie 3 Problema 1:
S'ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 81 π 3 m de volum. La superfícielateral ha de ser
construïda amb un material que costa 30 € el 2 m i les duesbases amb un material que costa 45 € el 2 m . a) Determineu la relació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars il'altura h del cilindre, i doneu el cost C(r) del material necessari per construiraquest dipòsit en funció de r. b) Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost delmaterial necessari per construir-lo sigui el mínim possible? c) Quin serà, en aquest cas, el cost del material?
22) PAU 2003 Sèrie 2 Qüestió 1:
Calculeu les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt P = ( 1, − 1 )i que són tangents a
la corba d’equació ( )
2
y = x − 1.
23) PAU 2003 Sèrie 2 Problema 1: Volem unir el punt M situat en un costat d’un carrer de 3 m d’amplada amb el punt N situat a l’altre costat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l’altre costat del carrer i un altre des de P fins a N seguintel mateix costat del carrer, segons l’esquema següent:
El cost de la instal·lació del cable MP és de 12 € per metre i del cable PN de 6 €per metre. Quin punt P haurem d’escollir de manera que la connexió de M amb N sigui taneconòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim?
24) PAU 2003 Sèrie 3 Qüestió 2:
Calculeu el punt de la corba 2 y = 2 + x − x en què la tangent és paral·lela a la recta y = x.
30) PAU 2004 Sèrie 3 Qüestió 1:
Considereu la funció ( )
3 2
f x = x − 3 x + 2 x + 2.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f^ ( x^ )en el punt d’abscissa
x = 3.
b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f ( x )que sigui paral·lela a laque heu trobat?
Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l’equació.
31) PAU 2004 Sèrie 3 Qüestió 3:
Considereu la funció ( ) 2
a
f x
x x
= + + on a és un paràmetre.
a) Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f ( x )té un extrem relatiu en el puntd’abscissa x = 3.
b) Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mínim? Raoneu la resposta.
32) PAU 2004 Sèrie 4 Qüestió 3: El consum d’un cotxe depèn de la seva velocitat v (expressada en km/h) segons la funció
( )
3 e 0,012 v
f v
v
= (en litres/km). Quina és la velocitat més econòmica?
33) PAU 2004 Sèrie 4 Qüestió 4: Considereu la funció f(x) de la figura definida a l’interval [0, 2].
a) Calculeu la funció derivada f’(x) a l’interval (0, 2). b) Hi ha algun punt de (0, 2) en el qual f ’(x) no existeixi?
c) Calculeu (^) ( )
2
0
∫^ f^ x dx.
Raoneu totes les respostes.
34) PAU 2004 Sèrie 5 Qüestió 2:
La gràfica següent correspon a una funció f : 2 ,6[ ]→ ℝ derivable i amb derivada
contínua. Feu un esbós de la gràfica de f ' : 2 , 6( )→ ℝ i justifiqueu-ne el perquè.
35) PAU 2004 Sèrie 5 Problema 1:
Considereu la funció polinòmica de tercer grau, ( )
3 2
f x = ax + bx + cx + d ,( a ≠ 0 ).
a) Trobeu els valors de a, b, c i d per als quals f(x) talla l’eix OX en els punts x = 0 i x = 1 i presenta un mínim relatiu en el punt x = 0. b) Feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, i acabeu de calcular els elements necessaris per dibuixar-la.
36) PAU 2005 Sèrie 1 Qüestió 6:
La recta tangent a la paràbola 2 y = 3 − x en un punt M situat dins del primer quadrant
( x^ >^ 0 ,^ y >^0 ), talla l’eix OX en el punt A i l’eix OY en el punt B.
a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fan que el triangle OAB tingui l’àrea mínima.
37) PAU 2005 Sèrie 1 Problema 2:
Considereu la funció ( )
2
f x = 4 x − x.
a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d’abscisses x = 0 i x = 4.
b) Feu un gràfic dels elements del problema.
c) Calculeu l’àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat al’apartat a).
38) PAU 2005 Sèrie 3 Qüestió 5:
Considereu la funció ( )
f x = 3 − x^2
i un punt de la seva gràfica, M , situat en el primer quadrant
( x^ >^ 0 ,^ y >^0 ). Si pel punt^ M^ tracem paral·leles als eixos de coordenades, la sevaintersecció amb^ OX^ i
OY determina dos punts, A i B , respectivament. a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui l’àrea màxima.
39) PAU 2005 Sèrie 4 Qüestió 3:
Trobeu els màxims i mínims relatius de la funció ( )
5 4 3
f x = 6 x − 15 x + 10 x.
46) PAU 2006 Sèrie 4 Qüestió 1:
Sigui f :ℝ →ℝ la funció definida per ( ) ( )
x
f x = e ax + b , on a i b són nombres reals.
a) Calculeu els valors de a i b per tal que la funció tingui un extrem relatiu en elpunt (^) ( ) 3
3 , e.
b) Per als valors de a i b obtinguts, digueu quin tipus d’extrem té la funció en elpunt esmentat.
47) PAU 2006 Sèrie 4 Problema 1:
Considereu la paràbola d’equació 2 y = x + 2 x − 3.
a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d’abscissa x = − 1 i x = 1.
b) Calculant el mínim de la funció y = x^2^ + 2 x − 3 , trobeu el vèrtex de la paràbola.
c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eixos i feu una representació gràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. d) Calculeu l’àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents.
48) PAU 2007 Sèrie 1 Qüestió 1:
En quin punt la recta tangent a la funció ( )
f x = x e ⋅ x
és paral·lela a l’eix d’abscisses?
Escriviu l’equació de la recta tangent en aquest punt.
49) PAU 2007 Sèrie 1 Qüestió 3: Busqueu els extrems relatius i els punts de tall amb els eixos, i feu una representació aproximada de la
corba d’equació 4 2 y = x − x. A continuació, calculeu l’àrea del recinte tancat per aquesta corba i l’eix
d’abscisses.
50) PAU 2007 Sèrie 1 Problema 1:
Considereu la recta d’equació
y z
r x
a ) Expresseu el quadrat de la distància d’un punt qualsevol ( x , y , z ) de la recta al punt P = (1, 2, 5) com una funció de la coordenada x. b ) Trobeu quin valor de x fa mínima aquesta funció, deduïu quin punt Q de la recta és el més proper a P i calculeu la distància del punt a la recta. c ) Escriviu l’equació de la recta que passa per P i Q i comproveu que és perpendicular a r.
51) PAU 2007 Sèrie 2 Qüestió 2:
2. La funció derivada f '( x )de certa funció contínua f :ℝ →ℝ és una funció a trossos formada per
les semirectes del dibuix.
a ) Digueu si f ( x ) és derivable en tots els punts de ℝ i per què.
b ) Estudieu el creixement i el decreixement de f ( x ).
c ) Trobeu si f^ ( x^ )té algun extrem relatiu i, si és així, per a quin valor de x i de quin tipus.
d ) Sabent que f ( 0 ) = 1 , calculeu el valor de f ( ) 1.
Justifiqueu totes les respostes.
52) PAU 2007 Sèrie 2 Qüestió 3:
Calculeu els valors del paràmetre a^ , a^ ≠^0 , que fan que les tangents a la corba d’equació
y = ax^4^ + 2 ax^3 − ax + 1512 en els punts d’inflexió siguin perpendiculars.
53) PAU 2007 Sèrie 2 Problema 1:
Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i un volum de 768 m^3. Se sap que la pèrdua
de calor a través de les parets laterals val 100 unitats per 2 m , mentre que a través del sostre és de 300
unitats per 2 m. La pèrdua pel sòl és molt petita i es pot considerar nul·la. Calculeu les dimensions del magatzem perquè la pèrdua de calor total sigui mínima.
54) PAU 2007 Sèrie 3 Problema 2:
Donades les funcions ( )
f x = x^2^ − ax − 4
i (^) ( )
2
x
g x = + b.
a ) Calculeu a i b de manera que les gràfiques de f ( x )i de g x ( )siguin tangents en el punt d’abscissa
x = 3 , és a dir, que tinguin la mateixa recta tangent en aquest punt.
b ) Trobeu l’equació de la recta tangent esmentada en l’apartat anterior. c ) Pel valor de a obtingut en el primer apartat, calculeu el valor de l’àrea de la regió limitada per l’eix
d’abscisses OX i la funció f ( x ).
55) PAU 2008 Sèrie 2 Problema 1: Considereu una funció tal que la seva representació gràfica a l’interval (–3, 3) és la següent:
a ) Determineu les abscisses dels punts extrems (màxims i mínims) relatius. b ) Estudieu el creixement i decreixement de la funció a l’interval (–3, 3). c ) Feu un esbós de la gràfica de la derivada d’aquesta funció.
d ) Sabent que la funció és de la forma ( )
f x = ax^4^ + bx^2 + c
, trobeu de quina funció es tracta.
56) PAU 2008 Sèrie 4 Qüestió 1:
Considereu la funció ( ) ( )
2
f x = ax + x + b a b , ∈ ℝ. Trobeu els valors de a i b que fan
que la recta y^ =^2 x +^1 sigui tangent a la gràfica de f^ quan x = 1.
63) PAU 2009 Sèrie 3 Problema 1:
Sigui la funció ( ) 2
4 b
f x a
x x
a ) Calculeu els valors de a i b , sabent que la recta 2 x + 3 y = 14 és tangent a la gràfica de la funció f^ ( x )
en el punt d’abscissa x = 3. Per a la resta d’apartats, considereu que a = –3 i que b = 4.
b ) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f^ ( x^ ). Trobeu iclassifiqueu els
extrems relatius que té la funció.
c ) Calculeu els punts de tall de la funció f ( x ) amb l’eix OX.
d ) Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f ( x ) , l’eix OX i les rectes x = 1 i x = 3.
64) PAU 2009 Sèrie 4 Problema 1:
La gràfica de la funció ( )
3 x
f x
x
= , des de^ x^ =^1 fins a^ x^ =^4 , és la següent:
a ) Calculeu l’equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d’abscissa x = 1 i x = 3.
b ) Dibuixeu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents que heu calculat. c ) Trobeu els vèrtexs d’aquest recinte. d ) Calculeu la superfície del recinte damunt dit.
65) PAU 2010 Sèrie 1Qüestió 3: Un segment de longitud fixada m recolza sobre els eixos de coordenades. Calculeu el valor de l’angle α que forma el segment amb l’eix OX perquè el triangle rectangle determinat pel segment amb els eixos i del qual m és la hipotenusa tingui àrea màxima. Comproveu que es tracta realment d’un màxim.
66) PAU 2010 Sèrie 4 Qüestió 3:
Sigui ( )
2
P x = ax + bx + c un polinomi qualsevol de segon grau.
a) Trobeu la relació existent entre els paràmetres a, b i c sabent que es compleix que P(1) = 0 i P(2) = 0. b) Quan es compleix la condició anterior, indiqueu quins valors pot tenir P′(3/2).
67) PAU 2010 Sèrie 4 Qüestió 5: En la figura següent es representen dues funcions. L’una és la derivada de l’altra. Decidiu si la funció f (x) és la derivada de la funció g(x) o és a l’inrevés, estudiant
què passa en els punts x = a, x = b i x = c.
68) PAU 2011 Sèrie 1 Qüestió 6:
Sigui ( )
2 ax
f x x e
−
= ⋅ quan a≠0.
a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x=2. b) Quan a=2, classifiqueu-ne els extrems relatius.
69) PAU 2011 Sèrie 2 Qüestió 3: Donada la funció f (x)=x3+ ax2+ bx+ c: a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f (x) tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x=−1. b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d’inflexió de la funció f (x) en el punt d’abscissa x=0. c) Determineu la relació entre els paràmetres a, b i c sabent que la gràfica de f (x) talla l’eix OX en el punt d’abscissa x=−2. d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleixin les tres propietats anteriors alhora.
70) PAU 2011 Sèrie 4 Qüestió 3: La gràfica corresponent a la derivada d’una funció f(x) és la següent:
a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius de f(x). b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x).
71) PAU 2011 Sèrie 4 Qüestió 6:
Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la hipotenusa del triangle. a) Feu un esbós de la situació descrita. b) Si x és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y ésl’altre costat del rectangle, comproveu que es compleix que 4x+3y=12. c) Determineu les dimensions del rectangle perquè l’àrea sigui màxima.
aquest cas, podem expressar el volum com (^) ( ) 2 2
h
V R h
b) Trobeu les dimensions d’aquest con (el radi de la base i l’altura) perquè el seu volum sigui màxim i comproveu que es tracta realment d’un màxim.
78) PAU 2013 Sèrie 3 Qüestió 6:
Sigui f ( x ) = x^3^ + ax^2 + bx + c. Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la recta
r : y = x + 3 en el punt d’abscissa x = − 1 , i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta tangent és
paral·lela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a , b i c.
79) PAU 2013 Sèrie 4 Qüestió 4: Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que l’amplària superior del canal sigui el doble de l’amplària inferior i que els costats no paral·lels siguin 8 metres. A la dreta teniu un esquema de la secció del canal.
a) Trobeu el valor del segment L de la gràfica en funció de la variable x
(amplària inferior del canal). b) Sabem que l’àrea d’un trapezi és igual a l’altura multiplicada per la semisuma de les bases. Comproveu que, en aquest cas, l’àrea de la secció és donada per
2
x x
A x
c) Calculeu el valor de x perquè l’àrea de la secció del canal sigui màxima ( no cal que comproveu que és
realment un màxim )
80) PAU 2013 Sèrie 4 Qüestió 6:
La funció f ( x ) és derivable i passa per l’origen de
coordenades. La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí
dibuixada, essent f '( x (^) ) creixent als intervals (^) ( −∞ −, (^3) ] i
[ 2,+∞^ ). a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la
funció f ( x )en el punt d’abscissa x = 0.
b) Indiqueu les abscisses dels extrems relatius de la funció
f ( x )i classifiqueu aquests extrems.
81) PAU 2013 Sèrie 5 Qüestió 4: (Incomplet)
Per a x ≥ 1 , considereu la funció f^ ( x^ ) = +^ x −^1.
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f ( x )en el punt d’abscissa igual a 10.
82) PAU 2013 Sèrie 5 Qüestió 6:
Un triangle rectangle situat en el primer quadrant té el vèrtex A
en l’origen de coordenades, el vèrtexs B^ =^ ( x ,0)en el semieix
positiu d’abscisses i el vèrtexs C^ pertany a la recta x + 2 y = 8.
L’angle recte és el que correspon al vèrtex B.
a) Comproveu que l’àrea del triangle es pot expressar de la manera següent: ( )
2
x
A x = x −.
b) Trobeu els vèrtexs B i C^ perquè l’àrea del triangle sigui màxima i comproveu que es tracta realment d’un màxim.
83) PAU 2013 Sèrie 1 Qüestió 6: Volem construir una tenda en forma de piràmide regular de base
quadrada. Disposem de 300 m^2 de tela per a la fabricació de les
quatre cares de la tenda (se suposa que en l’elaboració de les cares no es perd gens de tela). Designem x la longitud d’un costat de la base de la tenda. a) Sabent que el volum d’una piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura, comproveu que, en aquest cas,
( )
x x
V x
× −
b) Determineu el valor de x perquè el volum sigui el més gran possible (no cal que comproveu que el valor obtingut correspon realment a un màxim).
84) PAU 2014 Sèrie 3 Qüestió 3: Un nedador és al mar en un punt N , situat a 3 km d’una platja recta, i just al davant d’un punt S , situat a la platja arran de l’aigua; i vol anar a un punt A , situat també arran de l’aigua i a 6 km del punt S , de manera que el triangle NSA és rectangle en el vèrtex S. El nedador neda a una velocitat constant de 3 km/h i camina a una velocitat constant de 5 km/h. a) Si P és un punt entre el punt S i el punt A que està a una distància x de S , demostreu que el temps, en hores, que necessita el nedador per a nedar del punt N al punt P i caminar des del punt P fins al punt A
és determinat per l’expressió ( )
2
x x
t x
b) Calculeu el valor de x que determina el temps mínim que cal per a anar del punt N al punt A , passant per P. Quin és el valor d’aquest temps mínim?
85) PAU 2014 Sèrie 4 Qüestió 1:
Considereu la funció (^) ( )
x
f x
x
a) Calculeu les asimptotes verticals, horitzontals i obliques de la funcio f.
b) Trobeu l’equacio de la recta tangent a la grafica de la funcio f en aquells punts enque la recta
tangent sigui paraŀlela a la recta y = − 5 x + 4.
86) PAU 2014 Sèrie 5 Qüestió 2:
Siguin les funcions ( )
e ax b
f x
= i^ g x (^ ) = +^3 x +^4.
a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g.
b) Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les funcions són tangents (és a dir, tenen la
mateixa recta tangent) en el punt d’abscissa x = 0.
a) Si x és la mesura, en cm, del costat de la base, comproveu que la funció que determina el preu de
l’envàs és ( ) 2
P x 2,5 x
x
b) Calculeu les mides que ha de tenir l’envàs perquè el preu sigui el mínim possible.
94) PAU 2016 Sèrie 1 Qüestió 4: (Incompleta)
Sigui la funció f ( x ) = sin( x ).
a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a la funció f en els punts d’abscissa x = 0 i x = π,
respectivament. Trobeu les coordenades del punt en què es tallen les dues rectes.
95) PAU 2016 Sèrie 3 Qüestió 5:
Considereu el tetraedre que té per vèrtexs els punts A = ( x , 0,1), B = ( 0, x ,1), C = ( 3, 0, 0) i
D = ( 0, x , 0), amb 0 < x < 3.
a) Comproveu que el volum del tetraedre és donat per l’expressió ( ) ( 2 )
V x = − x + x.
b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest volum màxim.
NOTA : Podeu calcular el volum del tetraedre de vèrtexs A , B , C i D amb l’expressió
det , ,
AB AC AD
96) PAU 2016 Sèrie 5 Qüestió 3: Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu els màxims relatius, mínims relatius i els punts d’inflexió de la funció
f x = 2 x^3^ − 9 x^2 + 12 x − 4.
b) Expliqueu raonadament que si f ( x )és una funció amb la derivada primera contínua en l’interval
[ a b , ]^ i satisfà que^ f^ '^ ( a^ )>^0 i^ f^ '^ ( b )^ <^0 , aleshores hi ha, com a mínim, un punt de l’interval
( a b ,^ )en què la recta tangent a la gràfica de^ f^ ( x^ )en aquest punt és horitzontal.
SOLUCIONARI :
1) PAU 1999 Sèrie 1 Problema 1:
Donada la funció ( )
f x x
x
a) Estudieu-ne la continuïtat.
Evidentment l’únic punt on podem tenir problemes de continuïtat és quan el denominador de la fracció
sigui zero. És a dir, en el punt x 0^ =^4.
Estudiem per tant la continuïtat de la funció f^ ( x )^ en el punt x 0^ =^4.
D’entrada ja sabem que la funció serà discontinua perquè en aquest punt no existeix. És a dir, ∃ f ( 4 ).
A més:
4 (^ ) 4
lim lim 4 4 4 0
x x 4 4 4 0 0
f x x f
→ → x
−^ −
ℝ té^ una
discontinuïtat de tipus salt infinit o asimptòtica en el punt x 0^ =^4
Podem calcular també, tot i que no cal, els límits laterals en aquest punt, aleshores obtenim que:
( ) ( ) 4
3.99 1600 lim
x
f − f x
→
≃ − → = −∞i^ ( ) ( ) 4
4.01 1600 lim
x
f + f x
→
Per tant f continua en ℝ −{ } 4 i en el punt x 0 = 4 presenta una discontinuïtat de salt infinit o
asimptòtica.
b) Estudieu-ne els intervals de creixement i decreixement i els màxims i mínims locals.
Evidentment hem de derivar la funció.
2
2 2 2
16 0 4 16 1^164
x x
f x x f x
x x x x
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2
x x x x^ x^ x
x x x
− + − −^ −
Calculem els punts on s’anul·la la derivada:
( )
( )
( )
2 (^ )
x x x
f x x x
x x
Finalment fem la taula d’intervals de creixement i decreixement de la funció tenint en compte els punts on s’anul·la la derivada i també els punts on aquesta no existeix.
Notem que (^) ( )
( )
( )
2
x x
f x
x
existirà sempre menys quan s’anul·li el denominador, per tant, sempre
excepte en el punt x 0^ =^4
Interval ( −∞,0 ) 0 ( 0,4) 4 ( 4,8) 8 ( 8, +∞)
Signe de
f ' ( x )
Monotonia
de f ( x )
M ∃ m
