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2º de bachillerato Matemáticas II
- Tema 4. Geometría en el espacio - Vectores. Bloque 2 - Geometría en el espacio
- Geometría en el plano
- Vectores en el espacio
- Operaciones con vectores
- 3.2. Suma de vectores
- 3.3. Opuesto de un vector
- 3.4. Resta de vectores
- 3.5. Producto de un vector por una constante
- Sistema de referencia
- 4.1. Componentes (o coordenadas) de un vector
- 4.2. Módulo de un vector
- Operaciones con vectores usando componentes
- 5.1. Suma, resta y opuesto de vectores
- 5.2. Producto de un vector por una constante
- 5.3. Suma de un punto más un vector
- componentes 6. Estudio de la dependencia e independencia lineal de vectores mediante sus
- Aplicaciones de los vectores
- 7.1. Punto medio de un segmento
- 7.2. Condición de puntos alineados
- Producto escalar de 2 vectores
- 8.1. Interpretación geométrica
- 8.2. Expresión analítica del producto escalar
- 8.3. Aplicaciones del producto escalar
- Producto vectorial de 2 vectores
- 9.1. Expresión analítica del producto vectorial
- 9.2. Propiedades del producto vectorial
- 9.3. Aplicaciones del producto vectorial
- Producto mixto de 3 vectores...................................................................
- 10.1. Expresión analítica del producto mixto
- 10.2. Aplicaciones del producto mixto.......................................................
- Ejercicios
- Una de vectores: ¿”dirección” prohibida o “sentido” prohibido? ...........................
- Tema 5. Rectas y planos en el espacio. ...........................................................
- Ecuación de la recta en el espacio
- Ecuación del plano en el espacio
- 2.1 Vector normal del plano
- 2.2 Ecuación del plano dado su vector normal y un punto
- Posiciones relativas
- 3.1 Posiciones relativas de 2 planos
- 3.2 Posiciones relativas de 2 rectas
- 3.3 Posiciones relativas de 1 plano y 1 recta
- Ejercicios
- Tema 6. Geometría métrica en el espacio. .......................................................
- Ángulos
- 1.1 Ángulo de dos rectas
- 1.2 Ángulo de dos planos
- 1.3 Ángulo de recta y plano
- Distancias
- 2.1 Distancia entre dos puntos
- 2.2 Distancia de un punto a una recta
- 2.3 Distancia de un punto a un plano
- 2.4 Distancia entre dos rectas
- 2.5 Distancia entre dos planos
- 2.6 Distancia entre recta y plano
- Áreas y volúmenes
- 3.1 Cálculo de áreas de triángulo y rectángulo
- 3.2 Cálculo de volúmenes de tetraedros y paralelepípedos
- Proyecciones
- 4.1 Proyección ortogonal de un punto sobre un plano
- 4.2 Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
- 4.3 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
- Ejercicios. ...............................................................................................
- Geometría en el espacio en pruebas EBAU de ESPAÑA ........................................
- Geometría del espacio en pruebas EBAU de Murcia ............................................
- Orientaciones EBAU. Bloque de Geometría.
Tema 4. Geometría en el espacio - Vectores.
1.Geometría en el plano
En cursos pasados estudiamos la geometría del plano, con los siguientes elementos fundamentales:
‐ Punto : Posición en el plano. Para representarlo algebraicamente utilizamos letras mayúsculas, por ejemplo hablamos de un punto A , y se caracteriza mediante dos valores que denominamos x e y , representados por el par ordenado: ( x , y ). y que llamamos coordenadas del punto. ‐ Vector (o vector libre) : Viene dado por un par de valores llamados componentes (o coordenadas) del vector que escribimos como ( v v 1 , 2 ). Lo caracteriza su módulo, dirección y sentido. ‐ Recta : figura en el plano que únicamente tiene longitud, no tiene anchura ni profundidad. Se suele representar con una letra minúscula, habitualmente r , y se define a partir de un punto P (^) xP , yP y un vector vr ( v 1 (^) , v 2 ). Se puede expresar con las ecuaciones: o Vectorial:( x y , ) xP , yP ( v v 1 , 2 )
o Paramétricas:^1 2
p p
x x v y y v
o Continua: 1 2
x x (^) p y yp v v
o General o implícita: A x B y C 0
o Punto-pendiente: 2 1
( (^) p , (^) p ) p p
Punto P x y v y^ y^ m x^ x pendiente m v
En la imagen vemos el punto A , de coordenadas (2, 1), el vector v , de componentes (2, – 1), y la recta r , de ecuación^1 2
y x .
En este capítulo y los siguientes ampliaremos esos elementos hacia las tres dimensiones, generalizando los conceptos anteriores y añadiendo otros nuevos
2.Vectores en el espacio
Un vector fijo en el espacio es un segmento orientado que viene determinado por un par de puntos, el origen A y el extremo B.
Los elementos de un vector son los siguientes:
‐ Módulo: Es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector será un número positivo, a excepción del vector nulo, que tendrá módulo cero. ‐ Dirección: Es la dirección de la recta que contiene al vector o cualquier recta paralela a ella. Dos vectores tendrán la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
3.4. Resta de vectores
Restar un vector es lo mismo que sumar el vector opuesto.
u v u v
3.5. Producto de un vector por una constante
Dada una constante k y un vector u , su producto es otro vector con la misma dirección, el mismo sentido si k > 0 o sentido contrario si k < 0, y cuyo módulo es k veces el módulo del vector (^) u.
4.Sistema de referencia
Un sistema de referencia en el espacio de dimensión tres es
un par formado por un punto fijo O y una base B u v w , , .
Se escribe R^ O ,^^ u v w , ,
Un sistema de referencia nos permite asociar a cada punto del espacio P un vector OP , llamado vector de posición del punto. Las coordenadas del punto P serán las coordenadas del
vector OP respecto de la base B u v w , , .
El sistema de referencia canónico en el espacio de dimensión tres es aquel cuyo punto fijo es el origen de coordenadas
O (0, 0 , 0) y cuya base B i j k , , está formada por vectores
de módulo 1 y perpendiculares entre sí.
Lo representamos por R O , i j k , ,
4.1. Componentes (o coordenadas) de un vector
Consideramos el sistema de referencia canónico R^ O ,^ ^ i j k ,^ , .
Dados dos puntos A (a 1 ,a 2 ,a 3 )y B (b 1 ,b 2 ,b 3 ), sus vectores de posición son OA ( a 1 (^) , a 2 (^) , a 3 ) y
OB (b , b , b ) 1 2 3 , entonces las componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen: AB OB OA ( b 1 , b , b 2 3 ) (a 1 ,a ,a 2 3 ) (b 1 a 1 , b 2 a , b 2 3 a 3 )
Ejemplo : Los puntos de coordenadas (4, 8, 7), (9, 2, 7) y (4, 8, 10) se dibujan como sigue:
4.2. Módulo de un vector
Dado el vector v v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , el módulo de v viene dado por la siguiente expresión: v v 1^2 v 2 (^) 2 v 32 resultado de aplicar el teorema de Pitágoras en tres dimensiones.
Ejemplo : Calcula las componentes y el módulo de un vector de origen A=(-2, 3, 7) y extremo B=(0, 2, 4). Las componentes del vector AB son: AB OB OA (^) 0, 2, 4 (^) 2,3,7 (^) (^) 2, 1, (^3)
El módulo del vector AB es AB 02 1 2 3 2 10
5.Operaciones con vectores usando componentes
A partir de ahora se supone que se ha fijado el sistema de referencia canónico:
5.1. Suma, resta y opuesto de vectores
Dados dos vectores en el espacio u ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) y v ( v v 1 , 2 (^) , v 3 ):
Su suma es otro vector u v cuyas componentes son: u v ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) ( v v 1 , 2 (^) , v 3 (^) ) ( u 1 (^) v 1 (^) , u 2 (^) v 2 (^) , u 3 (^) v 3 ) El opuesto del vector v es:
v ( u u 1 , 2 , u 3 ) ( u 1 , u 2 , u 3 )
En un trípode o caballete de pintor, si consideramos cada pata como un vector en qué posición son independientes y en cual dependientes las tres patas o vectores? ¿plegado o desplegado?
Ejemplos :
- ¿ (^) u (1, 2, 3), (^) v (3, 0, 1)y (^) w (3, 6, 7)son linealmente dependientes o independientes? Planteamos el determinante formado por las componentes de los tres vectores:
1 2 3 3 0 1 6 54 ( 42 6) 0 3 6 7
Por lo que el rango de la matriz de las componentes es menor que 3, y los vectores del sistema son linealmente dependientes.
- ¿ u (1, 2, 3), v (3, 0, 1)y w (2, 2, 2)son linealmente dependientes o independientes? Planteamos el determinante formado por las componentes de los tres vectores: 1 2 2 3 0 2 12 36 (12 12) 24 0 3 6 2
Por lo que el rango de la matriz de las componentes es 3, y los vectores del sistema son linealmente independientes.
- ¿ (^) u (1, 2, 3), (^) v (3, 0, 1), (^) w (2, 2, 2)y (^) t ( 1, 0, 2)son linealmente dependientes o independientes? En este caso no podemos plantear directamente el determinante, sino que debemos plantear la matriz del mismo: 1 2 3 3 0 1 2 2 2 1 0 2
Es una matriz de dimensión 4x3, su rango nunca puede ser 4, luego son linealmente
dependientes.
3 vectores de 3 o más de 3 SIEMPRE serán linealmente dependientes.
- ¿ u ( 2, 1, 3)y v (2, 1, 1)son linealmente dependientes o independientes? En este caso no podemos plantear directamente el determinante, sino que debemos plantear la matriz del mismo: 2 1 3 2 1 1
^ tiene rango 2, pues hay un menor de orden 2 con determinante no nulo. Por tanto es un sistema de vectores linealmente independientes.
Dos vectores u ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) y v ( v v 1 , 2 (^) , v 3 )son linealmente dependientes si sus coordenadas son proporcionales, es decir, si son paralelos. 1 2 3 1 2 3
u u u v v v
Ejemplo : Comprueba si los vectores u ( 2, 1, 3)y v (4, 2, 6) son paralelos. (^2 1 3) 0, 4 2 6
Luego son paralelos.
Un vector en el espacio define una dirección (una recta)
Dos vectores en el espacio pueden ser paralelos y definir una única dirección (recta) Dos vectores en el espacio pueden no ser paralelos, definen dos direcciones distintas y constituyen un plano.
Tres vectores en el espacio pueden ser paralelos todos ellos y definir una única dirección (una recta) o ser 2 paralelos y uno no paralelo volviendo a definir dos direcciones distintas y constituir un plano (los tres vectores están en dicho plano) o ser no paralelos entre si y por tanto definir 3 direcciones distintas formando un tetraedro.
7.Aplicaciones de los vectores
7.1. Punto medio de un segmento
Dados dos puntos del espacio A (a 1 ,a 2 ,a 3 )y B (b 1 ,b 2 ,b 3 ), el punto medio del segmento AB es: 1 1 ,^2 2 , 3 3 AB 2
a b a b a b PM
Ejemplos :
- Dados los puntos A (4, 2,6)y B (3, 8 ,5) calcula el punto medio del segmento AB :
Solución :
PM
- Dados los puntos A(–3, 5, 11) y B(3, 5, – 1):
3 (3,5, 1) a, b, a, b,
a b c a b c
a a^ a
NB AN c c
a b b b b N c c c c
^
^ ^
^
7.2. Condición de puntos alineados
Se dice que tres puntos A (a 1 ,a 2 ,a 3 ), B (b 1 ,b 2 ,b 3 )y C (c 1 ,c 2 ,c 3 )en el espacio están alineados
si los vectores AB y AC son proporcionales, es decir: 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
b a b a b a c a c a c a
En el plano se pueden dibujar los puntos y comprobarlo visualmente. En el espacio la representación en papel es difícil y recurriremos al cálculo numérico.
Ejemplos :
- Comprueba si los puntos A (3, 2,1), B (4, 4, 2) y C (4, 1, 6) están alineados. Determino los vectores AB (^) 4 3, 4 2, 2 (^1) (^) 1, 2, (^3) y
AC (^) 4 3, 1 2, 6 (^1) (^) 1, 3, 5
¿^1 2 1 3 5
^
? Son todos los cocientes distintos, aunque bastaría con que
fuesen distintos dos de ellos. Los puntos no están alineados.
- Comprueba si los puntos A (3, 2,1), B (4, 4, 2) y C (6, 8, 8) están alineados. Determino los vectores AB (^) 4 3, 4 2, 2 (^1) (^) 1, 2, (^3) y
AC (^) 6 3, 8 2, 8 (^1) (^) 3, 6, (^9) ¿^1 2 3 6 9
^
? Si, Todas valen 1/3. Los puntos están alineados.
- Calcula m y n para que los puntos P(7, – 1, m), Q(8, 6, 3) y R(10, n, 9) estén alineados.
PQ = (^) 1, 7, 3 – m (^) , QR 2, n – 6, 6 P, Q y R están alineados si PQ y QR son vectores de componentes proporcionales: (^1 7 6 14 ) (^1 7 3 2 ) (^2 6 6 1 36 6 2 ) 2 6
m n^ n n n m m m
Luego m = 0 y n = 20.
Ejercicios
- Calcula las componentes y el módulo de un vector de origen A (1, 1, 2) y extremo B(3, 1, - 4).
- Dados los puntos P (2, 2, 3) , Q (1, 0, 5) y R (- 2, 3, 4) y los vectores v (1, 1, 3), w (0, 2,1)^ calcula, indicando si el resultado es punto o vector: a) QP b) 3 v^^ ^2 w c) v^ RP d) P^ v e) R + PQ + w
- Dados los vectores u (1, 3,5), v ( 6, 3, 0) y w (7, 2, 1)calcula: a) 3 u 2 v 5 w b)^2 u^ ^2 v^ ^2 w c) (^3) u 2 v 3 w d) 3 u (^2) v w
- Dados los puntos A (0, 2, 6) y B (4, 8, -4), determina el punto medio del segmento AB.
- Comprueba si los puntos A (3, 2, 1), B (4, 4, 2) y C (4, 1, 3) están alineados.
- Determina si son linealmente independientes o no los conjuntos de vectores siguientes: a) u (1, 2, 0), v (3, 0, 1) y w (4, 2, 7). b) u (1, 2, 0) y v (2, 4, 0). c) u (1, 2, 0), v (4, 1, 3), w (4, 2, 7) y x 0, 0,1
Soluciones :
- AB (2,0, 6); AB 40 2. a) Vector QP (^) 1, 2, (^2) b) Vector 3 v 2 w (3,1,7) c) Vector (-3,0,4) d) Punto=(3,1,6) e) Punto (-3,-1,7) 3. a) (50,-5,10) b) (28,-8,8) c) (60,-21,12) d) (1,- 14,17) 4. PM(2,3,1) 5. No están alineados. 6. a) L. Independientes (mismo plano) b) L. Dependientes (paralelos) c) Linealmente dependientes (>3)
8.Producto escalar de 2 vectores
El ángulo que forman dos vectores libres es el menor de los ángulos que forman dos de sus representantes con un origen común.
Dados dos vectores u y v , se llama producto escalar de u y v , y se denota por u · v , al número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. u · v u · v ·cos (^) u , v
Ejemplo : Dados los vectores (^) u (1, 3, 0), v (1,1, 1) , que forman un ángulo de 43’1 , calcula su producto escalar.
forman un ángulo obtuso (forman un ángulo entre 90o^ y 180o).
8.2. Expresión analítica del producto escalar
Consideramos el sistema de referencia canónico en el espacio de dimensión tres:
Sean dos vectores u ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) y v ( v v 1 , 2 (^) , v 3 ), el producto escalar de u y v es igual a u · v ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) ·( v v 1 , 2 (^) , v 3 (^) ) u 1 (^) · v 1 (^) u 2 (^) · v 2 (^) u 3 (^) · v 3
Ejemplo : a) Dados los vectores^ u (3, 2, 4 ) y v ( 1,3,7) calcula su producto escalar. u v · (3, 2, 4 · ) ( 1, 3, 7 ) 3·( 1 ) 2·3 ( 4 7 )· 3 6 28 25 Podemos afirmar que estos vectores forman un ángulo entre 90º y 180º (obtuso).
b) Dados los vectores^ u (3, 2, 4 ) y v ( 1,3,7) calcula su producto^ escalar. u v · (3, 2, 4 · ) ( 1, 3, 7 ) 3· ( 1 ) 2·3 4 7· 3 6 28 31 Podemos afirmar que estos vectores forman un ángulo entre 0º y 90º (agudo).
c) Dados los vectores (^) u (3, 2, 3 ) y v ( 1,3 , 1 ) calcula su producto escalar. u v · (3, 2,3 · ) ( 1, 3, 1 ) 3·( 1) 2·3 3 · (^) (^1) 3 6 3 0 Podemos afirmar que estos vectores forman un ángulo de 90º , son vectores ortogonales o perpendiculares.
8.3. Aplicaciones del producto escalar
Ángulo entre dos vectores
A partir de la definición del producto escalar, tenemos: · · · cos , cos , · ·
u v u v u v u v u^ v u v
Esto nos permitirá determinar el ángulo formado por 2 vectores a partir de su producto escalar y sus componentes.
Vectores ortogonales
Dos vectores u y v son ortogonales cuando determinan un ángulo de 90o, es decir, son perpendiculares. Y por tanto, cosα 0, es decir, su producto escalar es 0.
u v si y solo si u · v 0
Ejemplo :
Calcula un vector ortogonal al vector u (^) 3, 2, 1.
Llamemos a dicho vector v. Para que u y v sean perpendiculares se debe verificar que u · v 0. Como hay muchos vectores ortogonales a u , pongamos a las dos primeras coordenadas de v unos valores cualesquiera, por ejemplo v 1, 2, k . Y planteemos la ecuación: u · v (^) 3, 2,1 · 1, 2, (^) k (^) 3 4 k 0 k 1 Un vector ortogonal a u (^) 3, 2, 1 es v 1, 2, 1
9.Producto vectorial de 2 vectores
Se llama producto vectorial de (^) u y v , y se denota por (^) u v , a otro vector con las siguientes características: Módulo : u · v · sen u , v . Dirección : es la perpendicular a ambos vectores. Sentido : es el de avance de un sacacorchos (o tornillo) que gira del primero al segundo vector del producto (regla de Maxwell).
9.1. Expresión analítica del producto vectorial
Sean u ( u u 1 , 2 (^) , u 3 (^) ) y v ( v v 1 , 2 (^) , v 3 )dos vectores expresados en el sistema de referencia canónico en el espacio, el producto vectorial de u y v se puede expresar mediante el siguiente determinante:
1 2 3 ^2 3 3 2 ^ ^3 1 1 3 ^ ^1 2 2 1 1 2 3
i j k u v u u u u v u v i u v u v j u v u v k v v v
Ejemplo : a) Halla el producto vectorial de los vectores u (3,1,0) y v ( 1, 4, 2).
vértice concreto. Área de ABCD BC BA CB CD DA DC
Área de un triángulo Dado un triángulo ABC , el área viene dada por la siguiente expresión
AB AC
Área de ABC
Ejemplo : Halla el área del triángulo de vértices A (^) 1, 2, 3 , B (^) 1, –2, 1 y C 2, 1, – 4.
Consideramos dos vectores con origen A y extremos B y C respectivamente.
AB
AC
El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de ambos vectores. Calculamos el producto vectorial:
(^0 4 2 28 2) 4 2 26 2 4 26, 2, 4 1 1 7
i j k AB AC i j k i i j k El área del triángulo se obtiene:
(^262) 2 ^242 756 3 21 13, 2 2 2
AB AC
Área de ABC u
10. Producto mixto de 3 vectores
Dados tres vectores (^) u , v y w , se llama producto mixto de (^) u , v y w , y se denota por u (^) , v , w al número que se obtiene al calcular el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. u (^) , v , w u · v w
Ejemplo :
Calcula el producto mixto de los vectores u (^) 1, 3, (^2) , v 1, 0, 4 (^) y w (^) 2, 1, (^5) .
Primero calculamos el producto vectorial de v w :
1 0 4 8 (5 4 ) (^4 3) 4,3, (^1) 2 1 5
i j k v w j k j i i j k
El producto escalar de u y v w será el producto mixto pedido: u (^) , v , w u · v w (^) 1,3, 2 · (^) 4, 3, (^1) 4 9 2 7
10.1.Expresión analítica del producto mixto
Consideramos el sistema de referencia canónico en el espacio y tres vectores u , v y w de componentes u (^) u , 1 u 2 (^) , u 3 (^) , v (^) v , 1 v 2 (^) , v 3 (^) y w w , 1 w (^) 2 , w 3 . El producto mixto u^ , v , w se puede expresar mediante el siguiente determinante: 1 2 3 1 2 3 1 2 3
u , ,
u u u v v v w w
v w w
Ejemplo : Calcula el producto mixto de los vectores u (^) 1, 3, (^2) , v 1, 0, 4 (^) y w (^) 2, 1, (^5) . Ya sabemos que vale 7, pero tenemos una nueva forma de obtener este valor, usando los determinantes. 1 3 2 1 0 4 24 2 (15 4) 26 19 7 2 5
u v w
10.2. Aplicaciones del producto mixto
Volumen de un paralelepípedo
Sea el paralelepípedo definido por los vectores AD AC y AD , , entonces su volumen viene dado por el valor absoluto del producto mixto de los 3 vectores:
Volumen del paralelepipedo ^ AB , AC , AD
