Propiedad Conmutativa y Distribuida en Algebra, Monografías, Ensayos de Matemáticas

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MATEMATICA (51)

Tutoría 2020

Teoría Básica

Ciclo Básico Común - Universidad de Buenos Aires

0.1. Propiedad conmutativa y distributiva

Vamos a hablar de dos propiedades vitales para el trabajo en matematica sin entrar mucho en detalle y enfocando desde un punto de vista practico con el objetivo de centrar el trabajo en la resolucion de ejercicios, aunque se recomienda estudiar las bases para un correcto progreso en la materia.

0.1.1. Propiedad Conmutativa

En pocas palabras es la propiedad que nos permite cambiar elementos de lugar sin que esto afecte al resultado nal, vamos a denir dos valores (a y b) y una operacion generica entre ellas (x), la propiedad conmutativa se cumple si:

(a)x(b) = (b)x(a)

La suma y el producto poseen esta propiedad, y podemos demostrarlo de la siguiente manera:

a + b = b + a

Si le damos valor a = 2 y b = 3:

2 + 3 = 3 + 2 5 = 5

Si lo hacemos con el producto, funciona igual:

(a)(b) = (b)(a)

Con numeros:

(2)(3) = (3)(2) 6 = 6

Ahora bien, a diferencia de la suma y el producto, la resta y la division no cumplen con esta propiedad. Demostraremos el caso de la resta y el de la division queda a cargo del alumnos.

(a) − (b) = (b) − (a)

Con numeros:

(2) − (3) = (3) − (2) − 1 6 = 1

0.1.2. Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva nos habla sobre el producto y los binomios, se nos presenta en los casos de forma:

a(b ± c)

Aqui, lo que podemos decir es que el valor a afecta a ambos terminos del binomio, por lo cual dicha expresion es equivalente a:

(a)(b) ± (a)(c)

0.2. Suma de fracciones

Para sumar fracciones entre si cuando tiene mismo denominador no hace falta mas que sumar los numeradores tanto si son solo números o expresiones.

Ejemplo:

Ejemplo:

x + 1 x + 5

6 x x + 5

x + 1 + 6x x + 5

7 x + 1 x + 5 Para sumar fracciones entre si cuando tienen distinto denominador podemos aplicar denominador común o bien multiplicar los denominadores entre si y lue- go multiplicar los denominadores con los numeradores de forma cruzada

Ejemplo:

Ejemplo:

x + 1 x + 2

x + 1 4

(x + 1).(4) + (x + 1).(x + 2) (x + 2)

x^2 + 7x + 6 4 x + 8 Una manera de sistematizar la suma o resta es con la siguiente formula:

a b

c d

(a)(d) ± (c)(b) (b)(d)

Ejercicios propuestos:

x 4

2 x 5

5 x 7

x 25

x + 1 x

x + 1 x

x − 1 5 x

x + 1 x^2

x − 1 5 x

x + 1 x^2

x − 1 5 x + 1

x + 1 x^2

x − 1 5 x + 1

x − 10 2 x + 1

0.3. Casos de factoreo indispensables

0.3.1. Factor común

Cuando vemos una expresión cualquiera que contenga términos semejantes de cualquier clase nosotros podemos agrupar esos términos convirtiendo la ex- presión en una multiplicación.

Por ejemplo, 2 x + 2 esta expresión tiene en todos sus términos un 2, por lo que se puede reescribir como 2(x + 1)

Lo que se hace realmente es dividir todos los términos por el termino co- mún 2 x + 2 ⇒ 22 x + 22 y como aparecieron esos divisores hay que agregar algo para compensar, si se agrega una multiplicación vemos que al distribuir queda compensado 2( 22 x + 22 ) ahora eliminamos la información que esta de mas sim- plicando las fracciones y nos queda 2(x + 1).

Esto mismo también puede ocurrir con variables y números, por ejemplo en la expresión 2 x^2 + 4x se ve que ambos términos comparten la variable (x) y ade- mas ambos coecientes son múltiplos de 2, por lo que podemos extraer ambos 2 x( 2 x 2 2 x +^

4 x 2 x )^ Una vez que hicimos esto simplicamos y nos queda la expresión factorizada 2 x(x + 2)

Ejercicios propuestos:

1. Factorizar f (x) = 3x − 3
2. Factorizar f (x) = 6x + 9
3. Factorizar f (x) = 3x^2 − 6 x + 9
4. Factorizar f (x) = 4x^2 − 7 x
5. Factorizar f (x) = 4x^5 + 2x^4 − x^2 − 7 x
6. Factorizar f (x) = 4x^5 + 4x^4 − 4 x^2

0.4. Cuadrado de Binomio

Hay que distinguir bien dos expresiones, que parecen lo mismo, pero no lo son, las mismas son (a + b)^2 y a^2 + b^2. Es facilmente demostrable que la potencia no distribuye con respecto de la suma, por lo cual decir que las expresiones son equivalentes es caer en un error. Primeramente ofreceremos un ejemplo practico dando valores a = 2 y b = 3 para demostrar que no se cumple la igualdad entre expresiones.

(a + b)^2 = a^2 + b^2 (2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 (5)^2 = 4 + 9 25 6 = 13

Ahora bien, para trabajar con expresiones del tipo (a + b)^2 y (a − b)^2 , vamos a tratarlas como las potencias que son y aplicar la propiedad distributiva para llegar al desarrollo del binomio.

(a + b)^2 (a + b)(a + b) a^2 + ab + ba + b^2

Sabemos que ab y ba son la misma expresion ya que el producto cumple con la propiedad conmutativa, asi que los podemos escribir como ab y ab o ba y ba, lo cual nos permite sumarlos y nos da como resultado la formula general:

a^2 + 2ab + b^2

Aplicamos lo mismo para el otro binomio:

(a − b)^2 (a − b)(a − b) a^2 − ab − ba + b^2 a^2 − 2 ba + b^2

Ahora bien, vamos a aplicar esto en un binomio donde tenemos una constante y una variable, como por ejemplo (2 + x)^2. Planteamos que:

(2 + x)^2 (2 + x)(2 + x) 22 + 2x + 2x + x^2 4 + 4x + x^2

Ejercicios propuestos:

1. Desarrollar (x + 2)^2
2. Desarrollar (x − 5)^2
3. Desarrollar (2x − 5)^2
4. Desarrollar (2x + 8)^2
5. Desarrollar (− 2 x + 8)^2
6. Desarrollar (− 5 x − 3)^2

0.5. Fracciones y Decimales.

Como sabemos, las fracciones pertenecen al conjunto de los números ra- cionales (Q), las cuales, son simplemente la división entre dos valores enteros (pertenecientes al conjunto Z), así, toda fracción tiene forma:

a b

donde a, b ∈ Z y b 6 = 0

Si efectuamos la división, que plantea la fracción, obtendremos otra expresión, la cual es en forma de numero, el cual puede ser entero (sin desarrollo decimal) o no y tener desarrollo decimal. Por ejemplo:

1 2

Así 0 , 5 es un numero con desarrollo decimal que es equivalente a

Si bien el numero 1 por ejemplo se considera un numero entero, podemos escribir su desarrollo decimal , el cual es 1 , 000 ..., obviamente, esto no nos cambia nada, pero podemos ver que a partir del conjunto Q todo valor tiene decimal, aunque no nos sirva el verlo.

0.6. Tipos de Decimales.

Así tenemos varias categorías dentro de este conjunto:

1. Numero entero: aquellos valores que no tienen desarrollo decimal (o sea que es 0 ), como el 1
2. Numero decimal exacto: aquellos valores que tienen desarrollo decimal, pero que a partir de un valor comienzan a dar 0 , como el 1 , 1 , el cual se puede escribir como 1 , 1000 ... pero como son todos 0 no nos es relevan- te (esto se debe a que la división de la que proviene ya no es necesario continuarla).
3. Numero decimal periódico puro: aquellos valores que tienen desarrollo de- cimal, y que comienzan a repetir un ciclo de números eternamente, como el 1 , 111 ... en este caso, el 1 se repite eternamente, se puede escribir como 1 ,

1 para simplicar la lectura, dado que el valor que se repite es el 1 , si fuera por ejemplo 1 , 121212 ... se escribe 1 ,

12 ya que lo que se repite es el

13. Numero decimal periódico mixto: aquellos valores que tienen desarrollo decimal, y que comienzan a repetir un ciclo de números eternamente pero tienen una parte que no se repite, como el 1 , 1222 ... en este caso, el 2 se repite eternamente pero no así el 1 , se puede escribir como 1 , 1

2 para simplicar la lectura, dado que el valor que se repite es el 2 , si fuera por ejemplo 1 , 12343434 ... se escribe 1 , 12

34 ya que lo que se repite es el 34.

0.8. Conceptos a tener en cuenta.

Las inecuaciones o desigualdades se dan siempre que tengamos dos elementos donde uno es mayor o menor que el otro (son desiguales). Para la igualdad, usamos el simbolo =, el cual indica que en un termino hay una magnitud que es igual a otra. Por ejemplo, para decir que 1 es igual a 1 , escribimos:

1 = 1

Ahora, cuando las cantidades son deiguales, usamos otros simbolos. Para que nos entendamos, siempre leeremos las cosas de izquierda a derecha y en caso que haya una variable, la misma la ubicaremos a la izquierda con el n de simplicar la lectura. Para expresar que una cantidad es mayor que otra usamos el simbolo >. Por ejemplo, si queremos decir que el 2 es mayor que el 1 , escribimos:

2 > 1

Para decir lo contrario (que el 1 es menor que el 2 ) escribimos al revez, dando vuelta el signo y nos queda <.

1 < 2

Ahora bien, las cantidades no siempre son solo mayores o solo menores, en oca- ciones, pueden ser menores o iguales cuyo simbolo es el mismo de mayor, pero con un agregado (≥) y mayores o iguales cuyo simbolo es (≤), esto lo usare- mos mayor mente con valores desconocidos (variables) para construir problemas.

Si decimos por ejemplo:

La cantidad de personas que puede haber en un aula es como maximo 100 personas.

La cantidad maxima de personas tiene que ser menor o igual a 100, pero como no sabemos el numero exacto, le damos valor variable y la restringimos a menos o igual que 100:

x ≤ 100

Asi, cualquiera que lo lea, puede entender que la capacidad no puede superar al 100 , ya que si hay 101 personas, la condicion no secumple, dado que nos queda:

101 ≤ 100

y eso es falso.

0.9. Resultados posibles.

De una inecuacion, obtendremos conjuntos de soluciones expresados en forma de intervalo. Aunque antes de hablar de intervalos vamos a ubicar elementos en la recta numerica. En cualquier lugar de la recta, podremos ubicar a los elementos mayores que un punto, a la derecha del punto y los elementos menores a la izquierda.

Sabiendo esto, si denimos que nuestro n es 1 y se nos pide que expresemos los valores mayores que 1 , podemos decir que va a ser del 1 hacia la derecha y como no se nos da un tope, lo llevamos al innito (∞), el resultado nos queda como:

(1; +∞)

Ahora bien, ese es el resulado, pero vamos a pasar la operacion que hicimos a una inecuacion para poder entender de donde sale. Si lo analizamos, se nos pide que expresemos los valores mayores que 1 esto quiere decir que el valor que buscamos es un valor variable, al cual podemos llamar "x", y este "x"tiene que ser mayor que 1 y antes vimos como armar dicha expresion:

x > 1

Ahora, teniendo el conjunto solucion y la inecuacion que genera dicha solucion, vamos a comprobar que ambas cosas sean coherentes. Para eso, vamos a tomar un valor cualquiera del intervalo (1; +∞) y vamos a darle dicho valor a la variable. Para que funcione, dicho valor deberia cumplir con la inecuacion, en caso contrario, esta mal planteada la solucion o la condicion. Para nuestra prueba vamos a tomar el 2 que se encuentra en el intervalo y aplicarlo en la inecuacion.

2 > 1

Podemos leer que dice que 2 es mayor que 1 , por lo cual, sabemos que corrobora y por lo tanto, estan bien denidos los elementos.

Ahora bien, de una inecuacion podemos tener intervalos abiertos:

(−∞; n) o (n; ∞)

O intervalos cerrados:

(n; m)

Esto depende de la inecuacion o sistema con que estemos trabajando. Usualmente cuando hablemos de una sola condicion vamos a hablar de intervalos abiertos, como es el caso del ejemplo anterior. Cuando hablemos de varias condiciones, hablaremos de intervalos cerrados o abiertos dependiendo del caso. Si retomamos el ejemplo del aula, la solucion del mismo es:

Ahi podemos ver que despejar la suma o resta no modica ya que el resultado verica de igual modo.

Ahora vamos a vericar con el producto y el cociente de la misma forma. Si en ambos terminos multiplicamos por 2, nos queda:

2 a > 2

Cuyo conjunto solucion es nuevamente (1; +∞), al despejar la variable nos que- da:

a > 1

Y vemos que no altera, por lo tanto, despejar cociente y producto por valores positivos, no altera.

Por ultimo vamos a vericar con el producto y el cociente por valores negativos de la misma forma. Si en ambos terminos multiplicamos por − 2 , nos queda:

− 2 a > − 2

Cuyo conjunto solucion es (−∞; 1) (al mismo lo podemos obtener de forma intuitiva o al reemplazar la variable por valores), al despejar la variable nos queda:

a > 1

Si vemos la solucion que nos queda, notamos que es (1; +∞), por lo cual, vemos que es necesario modicar algo para que la solucion cambie. El cambio que podemos hacer (ya que cambiar los signos de los numeros no es posible dado que cambiarian sus propiedades) es el de la orientacion de la desigualdad. Si lo efectuamos, nos queda:

a < 1

Haciendo este cambio, vemos que nos queda como solucion (−∞; 1). Por lo tanto, cuando se deban despejar variables que esten afectadas por ope- raciones como producto y cociente de valores negativos, para resolver, se debe invertir el signo de la desigualdad.

0.11. Cociente por Variable.

Cuando se nos presenta una operacion como esta: 1 x

NO podemos "pasar"la variable de termino, ya que desconocemos el signo de la misma (se aplica para cociente y producto por variable, por lo cual se ve afectado por el tema de los signos que exploramos antes). Para resolver este tipo de ejercicio, lo que vamos a hacer es juntar todo en un termino.

1 x

1 − x x

Aqui lo que tenemos que ver es lo que se nos pregunta, lo cual en palabras es "¾para que valores el cociente es mayor a cero?"para responder a esto, vamos a analizar que pasaria en el caso de un cociente de forma

a b

Para este caso, como el cociente debe ser mayor a cero, sabemos que hay dos posibilidades, las cuales son:

+a +b

−a −b

Lo cual, podemos traducir en que numerador y denominador deben ser.

a > 0 b > 0

a < 0 b < 0

Los cuales van a ser primer y segundo caso respectivamente. Ahora, para plan- tear el primer caso, lo vamos a hacer en forma de dos inecuaciones simples en lugar de una division, planteando: Primer caso:

A > 0 ∧ B > 0 :

1 − x > 0 ∧ x > 0 −x > − 1 ∧ x > 0 x < 1 ∧ x > 0

Su solucion es (0; 1) y su solucion graca es:

Ahora, planteamos el segundo caso

A < 0 ∧ B < 0 :

1 − x < 0 ∧ x < 0 −x < − 1 ∧ x < 0 x > 1 ∧ x < 0

Su solucion es ∅ y su solucion graca es: