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MATEMÁTICAS
CONTENIDO.
1.0 Aritmética 1.1 Números reales 1.2 Divisibilidad 1.3 Operaciones con números racionales 1.4. Razones y proporciones 1.5 Regla de tres 1.6 Tanto por ciento
2.0 Algebra 2.1 Propiedades y definiciones 2.2 Leyes de los signos 2.3 Signos de agrupación 2.4 Evaluación de expresiones algebraicas 2.5 Lenguaje algebraico 2.6 Leyes de los exponentes 2.7 Operaciones Algebraicas 2.8 Radicales 2.9 Productos notables 2.10 Factorización
3.0 Ecuaciones
3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita 3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incógnitas 3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
4.0 Algebra de Funciones
4.1 Dominio y rango 4.2 Funciones y relaciones 4.3 Funciones logarítmicas y exponenciales
5.0 Geometría Euclidiana
5.1 Ángulos complementarios y suplementarios 5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa
6.0 Trigonometría
6.1 Teorema de Pitágoras 6.2 Funciones trigonométricas 6.3 Identidades trigonométricas
7.0 Recta
7.1 Distancia entre dos puntos 7.2 Punto medio del segmento de recta 7.3 Pendiente de la recta 7.4 Ecuación de la recta 7.5 Paralelismo y perpendicularidad
8.0 Circunferencia
8.1 Forma canónica 8.2 Forma general
9.0 Parábola
9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen
10.0 Elipse 10.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 10.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen
11.0 Hipérbola
11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen 11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen
12.0 Ecuación general de segundo grado
12.1 Identificación de cónicas
13.0 Cálculo Diferencial 13.1 Funciones y límites 13.2 Derivadas algebraicas 13.3 Derivadas trigonométricas 13.4 Derivadas logarítmicas 13.5 Derivadas exponenciales 13.6 Derivadas implícitas 13.7 Interpretación física y geométrica de la derivada 13.8 Máximos y mínimos
14.0 Cálculo Integral
14.1 Integral inmediata 14.2 Integral definida 14.3 Aplicación de integral definida (área bajo la curva) 14.4 Método de integración por cambio de variable 14.5 Método de integración por partes
• Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3
• Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.
Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120
m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60 m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840
Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120
M.C.D.= 3(3) = 9 M.C.D. = 5(3) = 15
1.3. Operaciones con números racionales:
Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores. Ejem:
Ejem:
Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador. Ejem:
Ejem:
División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador. Ejem:
Ejem:
Potencia y Raíz
Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, según su exponente. Ejem:
Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice, se obtiene el valor que esta dentro del radical. Ejem:
Ejem:
1.4 Razones y Proporciones Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue: Ejem:
Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue: Ejem: donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios.
1.5 Regla de Tres Regla de tres directa ó Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días?
Regla de tres inversa ó Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo.
Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días?
1.6 Tanto por Ciento Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo. Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fracción o por un decimal equivalente. Ejem: 18% 0. 33.5% 0.
Cálculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal. Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655
También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa. Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8%
Ejem: Hallar el número del cual 4590 es el 60%
También se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:. Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión?
c) A, E, F, H, J, M, P, Q, S, T d) A, B, D, F, H, J, K, L, O, T
e) A, C, F, I, N, P, Q, R, S, T
12. Encuentra el m.c.m. y M.C.D. de los siguientes números
a. 120, 60, 30 b. 48, 24, 12, 6 c. 35, 70, 5 d. 15, 30, 45 e. 25, 30, 70
a) a: 60 y 30, b: 12 y 6, c: 35 y 70, d: 30 y 45, e: 70 y 25
b) a: 120 y 60, b: 48 y 24, c: 5 y 70, d: 45 y 30, e: 25 y 70.
c) a: 60 y 120, b: 24 y 48, c: 5 y 35, d: 15 y 30, e: 70 y 5
d) a: 120 y 30, b: 48 y 6, c: 70 y 5, d: 90 y 15, e: 1050 y 5
e) a: 30 y 120, b: 6 y 24, c: 70 y 35, d: 15 y 45, e: 1050 y 25
13. ¿El resultado de la operación es?
a) b) c) d) e)
14. ¿El resultado de la operación es?
a) b) c) d) e)
15. ¿El resultado de la operación es?
a) b) c) d) e)
16. ¿Al simplificar la expresión se obtiene?
a) b) c) d) e)
17. ¿Al simplificar la expresión se obtiene?
a) b) c) d) e)
18. La expresión es equivalente a:
a) b) c) 12 d) e)
19. La expresión es igual a:
a) b) c) d) e) x
20. Si tenemos en que inciso encontramos una expresión igual.
a) b) c) d) e)
21. La expresión es igual a:
a) b) c) d) e)
22. Al simplificar la raíz cuadrada de 160 encontramos que es igual a:
a) b) c) d) e)
23. Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto da 18 ¿Cuál es el valor de x?
a) El doble de 18 b) El cuadrado de 18 c) El tercio de 18 d) La mitad de 18 e) La potencia cuarta de 18
24. Un agricultor cosecho en su parcela la producción de naranja, obteniendo un total de 3200 costales con un peso de 40 kg.
cada uno ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción?
) a) b) b) c) d) e)
25. Si se vende un caballo en $84, ganando $18,¿Cuánto había costado?
a) b) c) d) e)
26. Dos hombres realizan una obra por $60 y trabajan durante 5 días. Uno recibe un jornal de $4 diarios. ¿Cuál es el jornal del
otro? a) $10 b) $12 c) $14 d) $ 8 e) $
27. De la central camionera parten diariamente 725 autobuses con 42 pasajeros cada uno. Si durante 15 días se mantuvo la
misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha central? a) 456,570 b) 654,750 c) 564,750 d) 456,750 e) 456,
28. Rosa tiene una tienda de mascotas y vende perritos, hay 15 french que cuestan $380 c/u, 10 rot wailler que cuestan $275 c/u,
5 cocker spanish que cuestan $315 c/u. ¿Cuánto ganaría si vende 3 cocker y 8 french?, y ¿Cuánto ganaría si vendieran todos los perritos? a) $3985, $10,025 b) $3654, $10,00 c) $3645, $10,055 d) $3456, $10,250 e) $3564, $10,
29. Julio compró 25 pelotas de $14 c/u, 13 camioncitos de $12.50 c/u y 12 muñecas de $10 c/u, pagó con dos billetes de $
¿Cuánto fue el total pagado por los juguetes y cuanto le dieron de cambio? a) total $367.50, cambio $632.50 b) total $632.50, cambio $367. c) total $512.50, cambio $487.50 d) total $487.50, cambio $512. e) total $650.00, cambio $ 350.
30. Un depósito cilíndrico para almacenar agua, mide 45 m. de altura y de radio de su base es igual a 2 m. ¿Cuántos litros de
agua aproximadamente se requieren para llenar a su máxima capacidad el depósito? a) 655,486 b) 565,487 c) 565,684 d) 56,846,767 e) 556,846,
31. Un atleta camina en la 1ra. hora km., en la 2da. hora km ,en la 3ra. hora km y en la 4ta. hora.. ¿Cuál es la longitud total
recorrida? a) b) c) d) e)
32. Toño compro una caja de galletas que contiene 20 paquetes con 6 galletas c/u , invito a sus amigos Julian, Paco y Judith les
dio igual cantidad de paquetes él se quedó con 30 galletas ¿Cuántos paquetes le dio a cada uno? a) 5 paquetes b) 4 paquetes c) 6 paquetes d) 7 paquetes e) 8 paquetes
33. La proporción equivalente a 72:18 es:
a) 64:16 b) 65:13 c) 57:45 d) 34:68 e) 30:
34. 666 minutos es ______________ que 1/14 de semana, 666 horas es____________ que 28 días
a) más tiempo – menos tiempo b) menos tiempo – más tiempo c) menos tiempo – menos tiempo d) más tiempo – igual tiempo e) más tiempo – más tiempo.
35. Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor?
a) $8,884.50 b) $12,366.66 c) $12,370.00 d) $12,785.00 e) $13,660.
UNIDAD 2. ALGEBRA
2.1 Propiedades y Definiciones Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base ó literal y exponente.
Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes. Ejem: es semejante a Ejem: es semejante a
Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera: Monomio = un solo término Ejem: Binomio = dos términos Ejem: Trinomio = tres términos Ejem: Polinomio = 2 ó más términos Ejem:
2.2 Leyes de los signos
Suma y Resta :
Ejem: Ejem: Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem: Ejem: Ejem:
Multiplicación y División :
Ejem: Ejem: Ejem: Ejem:
2.3 Signos de Agrupación
Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son: Paréntesis Corchete Llave
Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.
Ejem: Ejem:
Ejem:
Inverso : Cambiar signo de exponente Ejem: Ejem:
Unitario : Siempre es igual a uno Ejem: Ejem:
2.7 Operaciones algebraicas
Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos semejantes. Ejem: Sumar &
Ejem: Restar de
Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue:
Monomio por monomio Ejem:
Monomio por polinomio Ejem:
Ejem:
Polinomio por polinomio Ejem:
División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue:
Monomio entre monomio Ejem: Ejem:
Polinomio entre monomio Ejem:
Polinomio entre polinomio Ejem:
Θ
2.8 Radicales
Propiedades de los radicales: Índice = potencia :
Ejem: Ejem:
Índice ≠ potencia : Ejem: Ejem:
Multiplicación con mismo índice:
Ejem: Ejem:
Ejem:
Multiplicación con diferente índice:
Ejem:
Ejem:
Raíz de una raíz :
Ejem: Ejem:
División con índices iguales : Ejem: Ejem: División con índices diferentes : Ejem:
Ejem: Ejem: Ejem:
Operaciones con números imaginarios
Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
2.9 Productos Notables
Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
• Binomio al cuadrado
• Binomios conjugados
• Binomios con término común
• Binomio al cubo
Binomio al cuadrado Regla:
Ejem: Ejem:
Binomios conjugados Regla:
Ejem: Ejem:
Binomios con término común Regla:
Ejem:
Ejem:
Binomio al cubo Regla:
Ejem:
Ejem:
2.10 Factorización
Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
• Factor común
• Diferencia de cuadrados
• Trinomio cuadrado perfecto
• Trinomio de la forma
• Trinomio de la forma
Factor común Regla: Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido
Ejem: Ejem:
Diferencia de cuadrados Regla:
Ejem: Ejem:
Trinomio cuadrado perfecto Regla: Comprobación: 2ab = 2ab
Ejem: Ejem:
Comprobación Comprobación 2x(3) = 6x
Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla:
Ejem: Ejem:
Reactivos Unidad 2:
1. Al simplificar se obtiene:
a) b) c) d) e)
2. Al simplificar se obtiene:
a) b) c) d) e)
3. Al simplificar se obtiene:
a) b) c) d) e)
4. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión: cuando?
a) b)^ b) c) d)
5. Al evaluar de la expresión: , se obtiene:
a) b) c) d) e)
6. Al evaluar de la expresión: , se obtiene:
a) b) c) d) e)
7. Escoja la opción en que la frase: “La mitad de a aumentada con el producto 25 veces b” está escrita correctamente en
notación matemática. a) b) c) d) e)
8. El perímetro de una habitación rectangular es igual a la suma del doble del largo y del doble del ancho.¿Cual expresión
matemática corresponde a esta afirmación? a) b) c) d) e)
9. El promedio de bateo (b) de un jugador de béisbol es igual al numero de hits (h) dividido entre el número de veces oficiales
que batea (ba) a) b) c) d) e) b
10. Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, sus exponentes se:
a) Se suman b) Se restan c) Pasan igual d) Se dividen e) Se multiplican
11. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma algebraica?
a) b) c) d) e)
12. El resultado de sumar es:
a) b) c) d) e)
13. Al sumar se obtiene:
a) b) c) d) e)
14. Al restar se obtiene:
a) b) c)
d) e)
15. Al restar se obtiene:
a) b) c) d) e)
16. De se obtiene:
a) b) c) d) e)
17. De la suma de restar la suma de se obtiene:
a) b) c) d) e)
18. El producto de se obtiene:
a) b) c) d) e)
19. El resultado de es:
a) b) c) d) e)
20. El producto de es:
a) b) c) d) e)
21. El resultado de multiplicar es:
a) b) c) d) e)
22. El producto de es:
a) b) c) d) e)
23. Al multiplicar se obtiene:
a) b) c) d) e)
24. ¿Cuál es el área de un local rectangular que quieren rentar si el ancho mide y el largo?
a) b) c)
d) e)
25. ¿Cuál es el área de un rectángulo, si su ancho es y su largo es?
a) b) c) d) e)
26. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide?
a) b) c) d) e)
27. Al dividir se obtiene:
a) b) c) d) e)
