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EJERCICIOS POLINOMIOS PILDORA 4
Tipo: Apuntes
1 / 10
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¡No te pierdas las partes importantes!
Monomios y polinomios. Suma, resta y producto de polinomios. Igualdades notables. División entera de
polinomios. División mediante la Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio. Factorización. Fracciones
algebraicas. Simplificación.
La suma (resta) de polinomios es otro polinomio resultado de sumar (restar) todos los términos del
mismo grado.
Para sumar dos polinomios, se escriben uno a continuación del otro, intercalando entre ambos el signo
de la adición (o sustracción), y se reducen los símbolos semejantes:
o Ejemplo:
3 2
Px x x x
4 2
Qx x x x
3 2 4 2
Px Qx x x x x x x
4
3
2
4
3
2
o Ejemplo:
4
3
4
3
2
4
3
2
4
3
2
Para calcular el producto de dos polinomios hay que ir multiplicando cada término del primer polinomio
por cada término del segundo polinomio. Por último, se reducen los términos semejantes en el resultado
obtenido.
o Ejemplo:
2
Px x Qx x
3 2
Px Qx x x x
o Ejemplo:
2
Px x x Qx x
3 2 2 3 2
P x Qx x x x x x x x x
polinomios, ya que:
1 Q ( x ) Q ( x )
P ( x ) Q ( x ) S ( x ) P ( x ) S ( x ) Q ( x ) S ( x )
Lo más eficiente para efectuar la potencia de un polinomio es separarla en productos de la misma base e
ir ejecutándolos iterativamente aplicando la propiedad asociativa:
o Ejemplo : ( 3 𝑥
3
2
3
3
2
3
2
3
2
6
5
3
4
2
3
2
9
8
7
6
5
4
3
2
Hay ciertas potencias de binomios que aparecen con frecuencia, por lo que se gana en eficiencia si se
aprende la fórmula del resultado. Son las llamadas “igualdades notables”:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
o Ejemplo:
2
o Ejemplo
2
2
2
Como ves, no es necesario que en la igualdad notable la variable x esté multiplicada por 1 para aplicar la
fórmula.
el cociente más el resto”
o En el caso particular en que el resto fuese cero, es decir, que la división fuese exacta,
tendríamos que:
P(x) = Q(x) C(x)
o Sean ( ) 3 5 3 , ( ) 1
4 2 2
Px x x x Qx x Para dividir un polinomio por otro
(ordenados ambos según los grados de x) se divide el primer término del dividendo
4
x por el primero del divisor (
2
x ) y el resultado es el primer término del cociente
2
3 x ). Se multiplica entonces este por todo el divisor y el producto se resta del
dividendo, obteniendo así el primer dividendo parcial. La operación se repite hasta
obtener un dividendo parcial con un grado inferior al del divisor, que será el resto de la
operación.
1 0 - 3 2
1
1
1 0 - 3 2
1 1
1
1 0 - 3 2
1 1
1 1
1 0 - 3 2
1 1 1 - 2
1 1 - 2 0
2
polinomio es 0.
es divisible entre 𝑥 − 𝑎, 𝑎 es raíz de 𝑃(𝑥).
o Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del
polinomio.
o Todo polinomio que no tenga término independiente tiene por raíz 𝑥=0.
Esta primera propiedad es en la que nos basamos para el uso de la Regla de Ruffini para el cálculo
de las raíces de un polinomio.
o Ejemplo: Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥
3
− 3 𝑥 + 2 el mismo polinomio que en el ejemplo anterior. Entonces
sabemos que:
o 𝑥 = 1 es raíz del polinomio, ya que es divisible entre 𝑥 − 1.
o El valor numérico del polinomio en 𝑥 = 1 es 0: 𝑃
3
o Una de las soluciones de la ecuación 𝑥
3
− 3 𝑥 + 2 = 0 es 𝑥 = 1.
o Las raíces enteras de 𝑃(𝑥) son divisores de 2: 1 , − 1 , 2 , − 2. Esto nos da una idea e cuáles
pueden ser, y comprobarlo: 𝑃
= 0 → 𝑆í; 𝑃
𝑃( 2 ) = 4 → 𝑁𝑜; 𝑃(− 2 ) = 0 → 𝑆í
Aplicando la propiedad de que las raíces enteras del polinomio están entre los divisores del término
independiente, podemos utilizar la regla de Ruffini para probar con ellas buscando cuáles nos conducen a
que el último número de la tabla (el resto) sea 0. Esas serán las raíces del polinomio.
o Ejemplo: Siguiendo con el polinomio anterior, 𝑃(𝑥) = 𝑥
3
Por lo tanto, las raíces del polinomio son 1
y − 2. Observa: SIN cambiar el signo
se conoce como “factorización racional”, que termina cuando los factores del polinomio son
irreducibles en el campo de los números reales.
posibles (recuerda que si 𝑎 es raíz de un polinomio, (𝑥 − 𝑎) es un factor del polinomio)
Para factorizar un polinomio seguiremos los siguientes pasos:
2
1
2
), donde 𝑥
1
y 𝑥
2
son soluciones de la ecuación 𝑎𝑥
2
enteras hasta llegar a un polinomio de grado 2.
o Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 2 𝑥
5
4
3
2
4
3
2
1
Curso básico de Matemáticas y Estadística (del Bachillerato al Grado), Cámara A., Garrido R., Tolmos,
P. , Marcos M.A. Editorial Delta.
1
Esquemas cedidos por Manuel Llorens,Colegio Montpellier de Madrid.
