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LÓGICA PROPOSICIONAL
- EJERCICIOS RESUELTOS -
- Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela: ¬p ˄ q
b. Ni vi la película ni leí la novela: ¬p ˄ ¬q
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela: ¬(p ˄ q)
d. Vi la película aunque no leí la novela: p ˄ ¬q
e. No me gusta trasnochar ni madrugar: ¬p ˄ ¬q
f. O tu estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: p ˅ q
g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: ¬p →→→→ ¬q
h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento: p ˄ (q ˅ r)
i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: (p ˄ q) ˅ r)
j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras
violaciones de los derechos civiles: p →→→→ (¬q ˄ ¬r)
k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura:
p ↔ q
l. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las
seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:
p →→→→ q, r →→→→ q |- (p ˅ r) →→→→ q
- Simboliza:
a. Si p, entonces q: p →→→→ q
b. No es el caso que p y q: ¬(p ˄ q)
c. p solamente si q y no-r: p ↔↔↔↔ (q ˄ ¬r)
d. p o no-q: p ˅ ¬q
e. Si p y q, entonces no-r o s: (p ˄ q) →→→→ (¬r ˅ s)
f. Si p, entonces q, y si q, entonces p: (p →→→→ q) ˄ (q →→→→ p)
g. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r: (p ˄ q) →→→→ r, p |- q →→→→ r
h. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t:
(p ˄ q) →→→→ r, (r ˄ s) →→→→ t |- (p ˄ q ˄ s) →→→→ t
- Formaliza las siguientes proposiciones:
a. No es cierto que no me guste bailar. [p: me gusta bailar]. ¬(¬p)
b. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. [p: me gusta bailar. q: me gusta leer
libros de ciencia ficción]. p ˄ q
c. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. [p: los
gatos de mi hermana sueltan pelo. q: me gusta acariciar los gatos ]. ¬p → →→
→ q
d. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida
extraterrestre. [p: ver un marciano con mis propios ojos. q: creer en los
extraterrestres ]. p ↔↔↔↔ q
e. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.
[p: salir a dar un paseo. q: estudiar como un energúmeno]. p ˅ q
f. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una
regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. [p: los elefantes vuelan. q:
los elefantes tocan el acordeón. r: estar loco. s: internar en un psiquiátrico ].
( p ˅ q ) →→→→ ( r ˄ s)
g. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo
que ir a trabajar. [p: ir de vacaciones. q: no hacer nada. r: tener tiempo. s: ir a
trabajar ]. ( r ˄ ¬s ) → →→
→ ( p ˅ q )
- Enlaza cada proposición con su formalización:
“Llueve” = p , “Hace sol” = q
1 Llueve y hace sol 5A ¬ p
2 Llueve y no hace sol 3B p ∨∨∨∨ q
3 Llueve o hace sol 1C p ∧ ∧∧
∧ q
4 Si no llueve, hace sol 2D p ∧∧∧∧¬ q
5 No es cierto que llueva 6E ¬ ¬ p
6 No es cierto que no llueva 7F q ↔ ↔↔
↔ ¬ p
7 Hará sol si y sólo si no llueve 4G ¬ p →→→→ q
- Enlaza cada proposición con su formalización:
Otorga, ordenadamente, variables proposicionales a las diferentes oraciones de cada caso.
1
Si escoges tus deseos y tus miedos, no existirá para tí
ningún tirano. (Epicteto)
3A p ∧∧∧∧ q
2
Quién tiene un porqué para vivir puede soportar cualquiera
cómo. (Nietzsche)
5B ¬p →→→→ ¬q
3
El mundo entero es un escenario y todos los humanos
somos unos actores. (Shakespeare)
2C p →→→→ q
4
Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa;
cuando uno la tiene, la muerte es demasiado. (Céline)
4D (¬p → →→
→q) ∧ ∧∧
∧ (p → →→
→¬q)
5
Ojos que no ven, corazón que no siente. 1E (p∧∧∧∧q) →→→→ ¬r
- Formaliza las siguientes proposiciones:
“Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si
estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no
habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los
seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no
podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.”
p: justificar hechos por su tradición.
q: ser inofensivo.
r: ser respetuoso con los seres vivos.
s: ser respetuoso con el medio ambiente.
t: tener problemas.
¬q: ser bárbaro. (= no ser inofensivo)
u: ser digno de nuestro tiempo.
p → →→
→ [ ( q ˄ r ˄ s) → →→
→ ¬t ] ˄ [ (¬q ˅ ¬( r ˅ s ) → →→
→ ( ¬p ˅ ¬u ) ]
- Analiza el siguiente enunciado y señala cuáles de las siguientes
formalizaciones son adecuadas o equivalentes:
Pienso, luego soy. (Descartes)
- p →→→→ q 2. p ↔↔↔↔ q 3. ¬p →→→→ ¬q 4. ¬q →→→→ ¬p 5. ¬(p ∧∧∧∧¬q) 6. ¬(¬p v q)
- Formaliza las siguientes proposiciones y confecciona su tabla de verdad:
O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.
p q r ( p ˄ q ) ˅ r
( p ˄ q ) ˅ r
p = estar seguro.
q = decir la verdad.
r = mentir como un bellaco.
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
- Construye las tablas de verdad de:
a. ¬p ˄ q p q ¬ p ˄ q
1 1
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 0 0
1 1 1
1 0 0
b. ¬p ˄ ¬q p q ¬ p ˄ ¬ q
1 1
1 0
0 1
0 0
0 0 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
c. (p ˅ ¬q) ˅ p p q (p ˅ ¬q) ˅ p
1 1
1 0
0 1
0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
c. p ↔↔↔↔ ¬p P p ↔↔↔↔ ¬ p
1
0
1 0 0 1
0 0 1 0
d. (p ↔↔↔↔ ¬q) ˄ (p ˅ ¬q) p q (p ↔↔↔↔ ¬q) ˄ (p ˅ ¬q)
1 1
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1
e. (p ↔↔↔↔ ¬q) ˅ (p ˅ ¬q) p q (p ↔↔↔↔ ¬q) ˅ (p ˅ ¬q)
1 1
1 0
0 1
0 0
1 0 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
f. (¬p ˅ q) ↔ (↔ (↔ (↔ (p →→→→ q) p q (¬p ˅ q) ↔↔↔↔ ((((p →→→→ q)
1 1
1 0
0 1
0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0
- Formaliza el siguiente enunciado. ¿Cuántas variables tiene la tabla? ¿Es una
tautología?
“Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto; y si te quedas
paralizado del susto, entonces no puedes sino apelar a su bondad y así no ser engullido.
Por lo tanto, si un animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás
engullido.”
p = se enfada un animal fabuloso
q = quedarse paralizado del susto
r = apelar a su bondad
s = ser engullido
( p →→→→ q ) , [ q →→→→ (r ˄ ¬ s )] |- p →→→→ (r ˅ s )
{( p →→→→ q ) ˄ [ q →→→→ (r ˄ ¬ s )]} →→→→ [ p →→→→ (r ˅ s )]
p q r s {( p →→→→ q ) ˄ [ q →→→→ (r ˄ ¬ s )]} →→→→ [ p →→→→ (r ˅ s )]
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
- Confecciona las tablas de verdad de las siguientes proposiciones. ¿Son
tautologías? ¿Pueden ser probadas?
a. ( p ˄ q ) →→→→ [ ¬( ¬p ˅ ¬q ) ]
p q ( p ˄ q ) →→→→ [ ¬( ¬p ˅ ¬q ) ]
1 1
1 0
0 1
0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 1
b. ( p →→→→ q ) ↔↔↔↔ [ ¬( p ˄ ¬q ) ]
p q ( p →→→→ q ) ↔↔↔↔ [ ¬ ( p ˄ ¬q ) ]
1 1
1 0
0 1
0 0
1 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1
p →→→→ q, p →→→→ ( q →→→→ r), q →→→→ ( r →→→→ s ) |- p →→→→ s
- Formaliza el siguiente argumento.
Todo número entero o es primo o es compuesto.
Si es compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos,
entonces es divisible por ellos.
Pero si un número entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por
la unidad, y consiguientemente, también divisible por números primos.
Por tanto, todo número entero es divisible por números primos.
p = ser primo.
q = ser compuesto.
r = producto de factores primos.
s = ser divisible por factores primos.
t = ser divisible por sí mismo.
u = ser divisible por la unidad.
p ˅ q, ( q →→→→ r ) ˄ ( r →→→→ s ), [ ( p →→→→ ¬q ) ˄ ( t ˄ u ) ] →→→→ r |- ( p ˅ q ) →→→→ s
- Halla las tablas de verdad de los siguientes argumentos.
a. (p ˄ q ) -> r, p ˄ ¬r |- ¬q
b. (p ˅ q) -> r ˄ s, ¬r |- ¬s →→→→ ¬q
a
p q r [( p ˄ q ) →→→→ r ˄ ( p ˄ ¬ r ] →→→→ ¬ q
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0
b
p q r s [( p ˅ q ) →→→→ r ˄ s ˄ ¬ r ] →→→→ (¬ s →→→→ ¬ p)
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0
- Formaliza los siguientes enunciados, indicando qué enunciado simple
corresponde a cada variable que uses.:
a. Si no hay ruidos y no estás sordo, entonces debes oírme. (¬p ∧∧∧∧ ¬q) →→→→ r
b. Iré al cine o al teatro, si me invitas. r →→→→ (p ∨∨∨∨ q)
c. En el caso de que venga Cipriano, vendrán Fulgencia y Eustaquia.
p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)
d. Si hay guerra, no crecerá el paro ni la inflación. p →→→→ (¬q ∧∧∧∧ ¬r)
*Nótese que esto NO es lógicamente equivalente a p →→→→ ¬(q ∧∧∧∧ r)
e. Juan debe declarar y ser sincero, o no debe declarar. (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ¬p
f. Federico se irá a las Fiji o a las Seychelles si y sólo si le toca la lotería y no se
arruina en la ruleta. (p ∨∨∨∨ q) ↔↔↔↔ (r ∧∧∧∧ ¬s)
g. El Hombre Lobo es un invento, y si lo mismo ocurre con Papá Noel, entonces los
niños son engañados. p ∧∧∧∧ (q →→→→ r)
*Nótese que esto NO es lógicamente equivalente a (p ∧∧∧∧ q) →→→→ r
h. Cuando la bolsa baja mucho, entonces es conveniente comprar; y cuando la bolsa
sube mucho, también es conveniente comprar. (p →→→→ q) ∧∧∧∧ (r →→→→ q)
i. Aumentará la inflación y disminuirá el paro, sólo si se fabrica moneda o hay guerra.
(p ∧∧∧∧ q) ↔↔↔↔ (r ∨∨∨∨ s)
cuatro ángulos rectos, los cuadrados no tienen cuatro ángulos rectos. Por tanto los
rombos no tienen cuatro ángulos rectos.
p: un triángulo tiene tres ángulos
q: un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos
r: su suma vale dos ángulos rectos
s: los rombos tienen cuatro ángulos rectos
[ ( p →→→→ q ) ∧∧∧∧ ( p ∧∧∧∧ r ) ∧∧∧∧ ( s →→→→ ¬q ) ] →→→→ ¬s
d. Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la vez, entonces la vida está llena
de frustraciones y no es un camino de rosas.Si se es feliz, no se puede tener todo.
Por consiguiente, la vida está llena de frustraciones.
p: se puede ser rico
q: se puede ser dichoso
r: la vida está llena de frustraciones
s: es un camino de rosas
{ [ ¬( p ∧ ∧∧
∧ q ) → →→
→ ( r ∧ ∧∧
∧ ¬s ) ] ∧ ∧∧
∧ ( q → →→
→ ¬p ) } → →→
→ r
e. La vida no tiene cosas así de fuertes o yo te puedo contar cómo es una llama por
dentro. Si yo te puedo contar cómo es una llama por dentro, entonces pienso
entregarte mi tiempo y pienso entregarte mi fe. No es cierto que piense entregarte mi
tiempo y piense entregarte mi fe. Por lo tanto, la vida no tiene cosas así de fuertes.
p: tener la vida cosas así de fuertes.
q: contar cómo es una llama por dentro
r: entregarte mi tiempo
s: entregarte mi fe
{ ( ¬p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ [ q →→→→ ( r ∧∧∧∧ s ) ] ∧∧∧∧ ¬( r ∧∧∧∧ s ) } →→→→ ¬p
f. Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si y sólo si estudio y hago todos
los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios, así que Dios no quiere
que apruebe lógica.
p ≡ aprobaré lógica
q ≡ D quiere que apruebe lógica
r ≡ estudio
s ≡ hago todos los ejercicios
[(q →→→→ p) ∧∧∧∧ [p ↔↔↔↔ (r ∧∧∧∧ s)] ∧∧∧∧ ¬s] →→→→ ¬q
g. Si el euro está fuerte, el petróleo está barato pero las exportaciones resultan
caras. Si Europa se endeuda o la economía no crece, el petróleo no estará
barato. La economía crece si y sólo si ni las exportaciones resultan caras ni la
inflación aumenta. Por tanto, si la inflación aumenta, el euro no está fuerte.
p ≡ euro está fuerte
q ≡ petróleo está barato
r ≡ exportaciones caras
s ≡ E se endeuda
t ≡ economía crece
u ≡ inflación aumenta
([p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)] ∧∧∧∧ [(s ∨∨∨∨ ¬t) →→→→ ¬q] ∧∧∧∧ [t ↔↔↔↔ (¬q ∧∧∧∧ ¬u)]) →→→→ (u →→→→ ¬p)
h. Habrá inflación, a menos que se moderen los precios y los salarios. Siempre que
se moderan los salarios pero no los precios, si el Gobierno no interviene ocurre
que el consumo interno disminuye y la economía se ralentiza. Por tanto, cuando
no se moderan los precios, es necesario que el Gobierno intervenga para que la
economía no se ralentice.
p ≡ hay inflación
q ≡ moderan precios
r ≡ moderan salarios
s ≡ gobierno interviene
t ≡ consumo disminuye
u ≡ economía ralentiza
([p ∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧ r)] ∧∧∧∧ [(r ∧∧∧∧ ¬q) →→→→ (¬s →→→→ (t ∧∧∧∧ u))]) →→→→ [¬q →→→→ (¬s →→→→ u)]
Formalizaciones equivalentes:
[p ∨ (q ∧ r)] ≡ [¬(q ∧ r) → p] ≡ [¬p → (q ∧ r)]
[(r ∧ ¬q) → (¬s → (t ∧ u))]) ≡ [(r ∧ ¬q ∧ ¬s) → (t ∧ u))])
[¬q → (¬s → u)] ≡ [¬q → (¬u → s)]
Hay otras posibilidades, pero estas formalizaciones son las más naturales.
- Haz la tabla de verdad completa de la siguiente fórmula y determina si es
tautológica, indeterminación o contradictoria:
a. [ p ↔↔↔↔ ( q ∨∨∨∨ r ) ] ↔↔↔↔ ¬ ( ¬ [ p →→→→ ( ¬ r →→→→ q ) ] ∨∨∨∨ [ ¬ ( ¬ q ∧∧∧∧ ¬ r ) →→→→ p ] )
[p ↔↔↔↔
(q ∨∨∨∨
r)] ↔↔↔↔
¬ ( ¬ [p →→→→
( ¬ r →→→→
q)] ∨∨∨∨
[ ¬ ( ¬ q ∧∧∧∧
¬ r) →→→→
p])
