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Matemáticas
- Fundamentos de algebra
Formulas sucesiones aritméticas
Diferencia n-termino Suma de los n primeros términos
Formulas sucesiones geometricas
Razón Suma de los n primeros terminos
Suma de todos los términos
n-termino
Productos notables
Propiedades inecuaciones Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Problema 1
La suma de 6 números impares consecutivos es igual a 120. Encontrar dichos números. Problema 2 Sea la sucesión 12, 6, 3, 1.5…… Determine la suma de todos sus elementos. Problema 3
Si = , calcular el valor de.
Problema 4
La fracción se puede expresar como una fracción parcial de la forma. Halle el valor de A+B.
Problema 5
Sea la ecuación , donde la suma de sus raíces es igual a -0.5 y el producto de sus raíces es -5. Halle los valores de b y c
Problema 6
Halle el conjunto solución de la inecuación |x−1|<2x− 3
2. PROPOSICIONES
3. FUNCIONES
Dominio y rango de una función
El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.
Restricciones en el dominio de funciones
Sea f(x), g(x) y h(x) funciones de variable real, pude darse los siguientes casos
a. , entonces g(x) debe ser diferente de 0
b. , si k es un numero natural entonces g(x) debe ser mayor que 0
c. , f(x) debe ser mayor que 0
d. Si existen varias condiciones, estas se intersecan.
Conceptos de funciones
Función Inyectiva
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y) , x = y.
Anotación : Una función es inyectiva si es estrictamente decreciente o creciente. También si al trazar una línea horizontal, la recta no toca en ningún punto 2 veces a la función
Función sobreyectiva
Una función f (de un conjunto A a otro B ) es sobreyectiva si para cada y en B , existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y , en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Anotación: Una función es sobreyectiva cuando el conjunto de llegada es igual al rango de la función. Si no se especifica, se sobreentiende que el conjunto de llegada son los números reales por lo que faltaría verificar el rango de la funcion para determinar si es sobreyectiva.
Función biyectiva
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Operaciones entre funciones
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g , a la función definida por
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g , como la función
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g , y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f , el producto del número por la función es la función definida por
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Hay que distinguir entre la función inversa, f −^1 (x), y la inversa de una función:
La inversa de la función f(x) = x + 4 es
La función inversa de f(x) = x + 4 es f –1(x) = x – 4 porque la composición de las dos funciones es la función identidad
g ∘ f = g[f(x)] = g(x + 4) = x + 4 – 4 = x
Cálculo de la función inversa
1 Se escribe la función con x e y. 2 Se despeja la variable x en función de la variable y. 3 Se intercambian las variables.
Propiedades logaritmos y exponenciales
- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
- vCambio de base:
Problema 2 Si la gráfica adjunta corresponde a la de una función de R en R : Determine el valor de verdad de cada proposición: a) La función no es par, ni impar. b) La función es creciente en el intervalo (-2,4). c) No es cierto que, la función es inyectiva o sobreyectiva. d) La función es monótona en todo su dominio.
Problema 3
Si ;.Especifique el dominio y rango de f -
Problema 4
Determine los valores de x que satisfagan la ecuación.
Problema 5
Si a,b son soluciones de la ecuación , determine a+b.
Problema 6 Sea la expresión. Su valor es:
Problema 7 Halle los valores de las restantes funciones trigonométrica, si , con en el tercer cuadrante.
4. TRIGONOMETRÌA
