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ADE: Bolet´ın do Tema 5
- Consideremos a funci´on f (x, y) = x^2 + 2xy + y^2. Determina o conxunto de nivel 4 de f. Se a 2 R, ¿est´an os puntos (0, 2 a) e (a, a) no mesmo conxunto de nivel de f?
- Representa as curvas de nivel das funci´ons f (x, y) = x y, g(x, y) = yex.
- Calcula as derivadas parciais de primeira orde das funci´ons
a) z = x^2 2 xy + 3y b) z = x^4 3 x^2 y^2 + y^4 c) z =
p x^2 + y^2 d) G(↵, ) = ln(↵ ) e) z = arctg
y x f)^ (r, t) = sen(r^ ^2 t) g) f (x, y, z) =
p x^2 + y^2 + z^2 h) w = (^) x+xyy+z i) f (x, y, z) = ln
p x^2 + y^2 + z^2
k) w = p^1 1 x^2 y^2 z^2
l) w = sen(x + 2y + 3z) m) f (x, y) = xy
n) f (x, y) = x^2 sen
(^) y x
n)˜ z = x
(^2) +2y 2 x^2 y^2 o)^ m(a, b) =^
2 b a+b
- Calcula o valor m´aximo da derivada direccional das funci´ons que seguen, no punto que se especifica:
a) f (x, y, z) = xy^2 z^2 , en (2, 1 , 1). b) f (x, y) = ln
p x^2 + y^2 , en (1, 2). c) f (x, y, z) = xeyz^ , en (2, 0 , 4).
- Calcula a ecuaci´on do plano tanxente no punto ( 1 , 1 , 0) ´a superficie z = x^3 + 2xy^2 + 2y^2 + x.
- Sexan f (x, y) = (x^4 + xy^3 , x^2 y^2 3 x^2 ) e g(x, y) = (x cos y, x sen y, x cos y sen y). Obt´en as matrices xacobianas de f e g nos puntos (1, 1) e (⇡, ⇡ 2 ), respectivamente.
- Calcula as matrices xacobianas das seguintes funci´ons:
a) f (x, y, z) =
z arctg(x + y), (^) x (^2) +zy 2
b) H(r, s) =
(^) r s , e
rs,
p r^3 s, 4 r
c) (↵, ) =
5 ↵, cos(↵^2 )
- Consideremos as funci´ons f : R^2! R^2 e g : R^2! R dadas por f (x, y) = (sen(x + y), x^2 + 1) e g(x, y) = exy^ + x + y. Obt´en a matriz xacobiana de g f no punto (0, 0).
- Sexan f : R^2! R^3 e g : R^3! R^3 , f (x, y) = (x^2 , xy, x^3 ) e g(x, y, z) = (x z^2 , 2 x^2 y, xyz). Obt´en a matriz xacobiana de g f no punto ( 1 , 1).
- Sexan g, h : R! R, k : R^2! R e F : R^3! R diferenciables. Calcula as derivadas parciais de f nos
seguintes casos:
a) f (x, y) = g(x)h(y) b) f (x, y) = g(x) c) f (x, y) = F (g(y), h(x), k(x, y)) d) f (x, y) = k(y, x)
- Sexa F : R^2! R unha funci´on diferenciable. Calcula as derivadas parciais das seguintes funci´ons:
a) f (x, y) = F (F (x, y), 1 + x) b) f (x, y) = F (x^2 , y + F (x, y))F (x, y)
c) f (x, y) = F (xy, eF^ (2x, y)) d) f (x, y) = (F (y + x, x), sen(F (1, y)))
- Sexan f : R^2! R e g : R! R diferenciables. Calcula as derivadas parciais de
a) F (x, y, z) = z^3 f (x, y) b) F (x, y) = f (xy, y^3 ) c) F (x, y) = exy^ + f (x^2 + y, x y ) d) F (x, y) = f (y + g(y), x^3 y^2 )
e) F (x, y, z) = g
sen
x^2 y exyz
f) F (x, y) = f (cos(2 y), x^2 g(y))
- Calcula @ @xz e @ @zy , se z ven definida impl´ıcitamente, nos seguintes casos:
a) x cos 3z z y = 0 b) ln x^2 z + ey^ z^2 = 0 c) ln(xz) + y^2 zt^2 = 0 d) xyez^ + z cos(x^2 + y^2 ) = 0
- Calcula as matrices hessianas das funci´ons que seguen:
a) f (x, y, z) = xyz b) f (x, y, z) = e x^ sen yz c) f (x, y, z) = (^) y+xz d) f (x, y) = x tg y e) f (x, y, z) = 4z x sen y f) f (x, y, z) = ln (^) y xz
- Sexa f (x, y, z) = (x^2 y^2 + ez^ , xz^3 ). Obt´en Df (0, 1 , 0) e Dij fk(0, 1 , 0), i, j = 1, 2 , 3 e k = 1, 2.
- Estudia cales das seguintes funci´ons son homox´eneas e determina o seu grao de homoxeneidade.
a) f (x, y, z) =
p x
p y
p z
x + y + z
b) f (x, y, z) = k
(xyz)^3
x^2 + y^2 + z^2
x
y
z
, k 2 R
c) f (x, y) =
p xy^3 ln
x + y
x
d) f (x, y, z) = (axk^ + byk^ + czk)m, a, b, c, k, m 2 R
Cuesti´ons tipo test
- Sexa f : R^2! R, f (x, y) = x^2 + y. Se v = ( p^1 2
, p^1 2
), ent´on:
a) Dvf (0, 1) = (0, 1). b) Dvf (0, 1) = 2x + 1. c) Dvf (0, 1) = p^1 2
. d) Dvf (0, 1) = p^1 2
- Sexa f (x, y) = y^2 cos x, a ecuaci´on do plano tanxente ´a gr´afica de f no punto (0, 1 , f (0, 1)) ´e:
a) z = 0. b) 2y z 1 = 0. c) 2y z = 0. d) x + 2y z 1 = 0.
- O plano tanxente no punto ( 1 , 1 , 3) ´a superficie definida pola ecuaci´on z = x^4 + 2x^2 y^2 x y ´e:
a) 9x 3 y + z + 9 = 0. b) 9x 3 y + z 3 = 0. c) 9x 3 y + z = 0. d) 9x 3 y + z 9 = 0.
- Se f ´e a funci´on dada por f (x, y) =
2 y+ln x y , p´odese asegurar que:
a) D 1 f (x, y) = (^1) x. b) D 2 f (x, y) = y^ ln 2 x.
c) rf (1, 1) = (1, 2). d) ningunha das respostas anteriores ´e correcta.
- Se f ven dada por f (x, y) = y^2 cos (x/y) + y^2 x, ent´on:
a) D 2 f (x, y) = 2y cos (x/y) + x sen (x/y) + 2y. b) D 2 f (x, y) = 2y (cos (x/y) + 1). c) D 1 f (x, y) = y^2 sen (x/y) 1. d) ningunha das respostas anteriores ´e correcta.
- Se f (x, y, z) =
y ln z
x
, ent´on:
a)
@f @x
(x, y, z) =
x^2
. b)
@f @z
(x, y, z) =
xz
. c)
@f @y
(x, y, z) = 1. d)
@f @z
(x, y, z) =
1 ln z x^2
- Sexan f : R^3! R e g : R! R^3 funci´ons diferenciables tales que f (1, 2 , 1) = 0, M Xg(0) = (3, 4 , 1)t^ e M Xf (1, 2 , 1) = ( 1 , 1 , 1). Ent´on:
a) M X(g f )(1, 2 , 1) = ( 3 , 3 , 3) b) M X(f g)(0) = (1, 2 , 1) c) M X(g f )(1, 2 , 1) = 0 d) Ningunha das afirmaci´ons ´e correcta.
- Sexa f : R^2! R unha funci´on diferenciable. Se F (x, y) = x^2 f (y, x), ent´on:
a) D 1 F (x, y) = x^2 D 2 f (y, x). b) D 2 F (x, y) = x^2 D 2 f (y, x). c) D 1 F (x, y) = 2xf (y, x) + x^2 D 2 f (y, x). d) ningunha das respostas anteriores ´e correcta.
- Sexa f : R^2! R una funci´on diferenciable. Si F (x, y) = f (xy, f (x, y)), ent´on:
a) D 1 F (x, y) = D 1 f (xy, f (x, y))(y + D 1 f (x, y)).
b) D 2 F (x.y) = D 1 f (xy, f (x, y))x + D 2 f (xy, f (x, y))D 2 f (x, y).
c) D 2 F (x, y) = D 2 f (xy, f (x, y))D 2 f (x, y).
d) D 1 F (x, y) = D 1 f (xy, f (x, y)).
- Sexa f : R^2! R una funci´on diferenciable tal que rf (1, 0) = (1, 1). Se g(x) = f (x, 1 x) ent´on:
a) g^0 (1) = 1. b) g^0 (1) = 2. c) g^0 (1) = (1, 2). d) g^0 (1) = 0.
- Se f : R^2! R ´e diferenciable e homox´enea de grao 2, ent´on
a) D 1 f (1, 0) = 0 b) D 11 f (1, 0) = D 1 f (1, 0) c) D 22 f (0, 1) = D 2 f (0, 1) d) D 2 f (0, 1) = 0
- Sexa f : R^2! R diferenciable e homox´enea de grao 1. Ent´on:
a) 4f (2, 2) = 2f (1, 1) b) f (2, 2) = 2 f (1, 1) c) 2D 1 f (2, 0) = 2 f (2, 0) d) D 1 f (3, 3) = 3 D 1 f (1, 1)
- Se f : R^2! R ´e homox´enea de grao 3:
a) f (3x, 3 y) = 3f (x, y) b) f (3x, 3 y) = f (x, y) c) f (x^3 , y^3 ) = 3f (x, y) d) Nada do anterior.
